线性代数与解析几何-第五章-线性方程组.ppt

1 线性代数与空间解析几何 哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲 线性方程组 2007 9 第五章 2 齐次方程组非齐次方程组方程组在几何中的应用 本章的主要内容 3 阵 5 1齐次线性方程组 5 1 1齐次线性方程组的表示形式 4 即 5 只有零解的充要条件 无穷多解的充要条件 解的性质及解集合的结构 求解方法 齐次方程组的内容 6 证AX 0有非零解 x1 1 x2 2 xn n 0有非零解 A的列向量组 1 2 n线性相关 r A r 1 2 n n 设阶矩阵 则齐次性方程组AX 0有非零解 r A n AX 0只有零解 r A n 定理5 1 5 1 2齐次线性方程组有解的条件 AX 0只有零解 x1 1 x2 2 xn n 0只有零解 A的列向量组 1 2 n线性无关 r A r 1 2 n n 7 若有非零解 这些解具有哪些性质 解集合的整体结构如何 问题 也是AX 0的解 由是AX 0的解 即 性质1 也是AX 0的解 性质2 由是AX 0的解 即 k 5 1 3齐次方程组解的性质及结构 8 AX 0的解集合构成向量空间 记为N A 称其为AX 0的解空间 定理5 2 若AX 0有非零解 则这些解的任意线性组合仍是解 所以必有无穷多个解 由性质1 2可知解集合对线性运算是封闭的 所以得到如下结果 其中P为可逆矩阵 注AX 0与PAX 0是同解方程组 9 则称为AX 0的基础解系 定义r A r n 若AX 0的一组解为 1 线性无关 2 AX 0的任一解都可由这组解线性表示 称 的通解 为AX 0 其中k1 k2 kn r为任意常数 且满足 10 定理5 3设 任一基础解系中均含有n r解向量 为N A 的一个基 即 1 若则AX 0没有基础解系 2 若则AX 0有基础解系 且 dim N A 证 N A 0 2 1 则AX 0没有基础解系 求基础解系的方法 11 1 不妨设A的前r个列向量线性无关 C为行阶梯形矩阵 行最简 12 得同解方程组CX 0 即 2 前r个变量为基本未知量 其余的n r个变量为自由未知量 令 13 3 代入同解的方程组CX 0中得 从而得到AX 0的n r个解为 14 且线性无关 15 下证线性相关 令 则 所以线性相关 于是可由线性表示 所以是N A 的一个基 dim N A 即 16 为方程组AX 0的基础解系 其中为任意常数 AX 0的通解为 故 17 1 是解 2 线性无关 3 n r A 个 2 求通解的三步 行阶梯形或行最简形 写出同解方程组CX 0 3 写出通解 2 求出CX 0的基础解系 1 1 基础解系的三要素 总结 其中为任意常数 18 求下列方程组的基础解系 解 用初等行变换化系数矩阵为阶梯形 例1 19 得同解方程组为 20 令 代入上述方程组解得基础解系为 21 设A B都是n阶矩阵B 0且B的每一列都是方程组AX 0的解 则 A 0 例2 22 例3 若 讨论t满足什么条件时 解 是 的解 且也是4个 只须证 线性无关 23 线性无关 即 所以当t 1时 24 例4 已知n阶矩阵A的各行元素之和均为零 且R A n 1 求线性方程组AX 0的通解 解由R A n 1知AX 0的基础解系有一个非零解向量 又 即 为所求通解 k为任意常数 25 5 2非齐次线性方程组 26 5 2 1非齐次线性方程组的表示形式 称为的导出组 2 27 28 何时方程组有解 有唯一解 无穷多解 解的性质及解集合的结构 求解方法 非齐次线性方程组的内容 29 AX b有解 x1 1 x2 2 xn n b有解 b可由A的列向量 1 2 n线性表示 1 2 n与 1 2 n b等价 r 1 2 n r 1 2 n b 定理5 4 5 2 2非齐次线性方程组有解的条件 得出定理 30 若解不唯一 这些解具有哪些性质 解集合的整体结构如何 问题 性质1若 1 2是AX b的解 A 1 b A 2 b A 1 2 A 1 A 2 b b 0 1 2是AX 0的解 性质2若 是AX 0的解 是AX b的解 A A A 0 b b 是AX b的解 5 2 3非齐次方程组解的性质及结构 注非齐次方程组有解的条件下 有两种情况 31 证 1 又因为 1 的解唯一 由性质2知 2 有唯一 定理5 5 两个以上不同的解 则由性质1知 2 有非零 解 这与r A n矛盾 故 1 只有唯一解 32 2 又因为 1 有无穷多解 由性质2知 2 有非零 r A n 所以 2 有无穷多解 由性质2知 1 有无穷多解 注当A为方阵时AX b有唯一解 33 1 AX b与PAX Pb是同解方程组 其中P为可逆矩阵 2 用初等行变换求解不妨设前r列线性无关 增广矩阵 求AX b的解 34 其中所以知 时 原方程组无解 时 原方程组有唯一解 时 原方程组有无穷多解 通解为 为 2 的基础解系 为任意常数 的特解 为 1 35 预习非齐次方程组的解法及几何应用 Bye 36 5 2非齐次线性方程组 37 复习 设阶矩阵 则 1 AX 0只有零解 r A n AX 0有非零解 r A n 38 1 AX b与PAX Pb是同解方程组 其中P为可逆矩阵 2 用初等行变换求解不妨设前r列线性无关 求AX b的解 r A r 39 其中可知 时 原方程组无解 时 原方程组有唯一解 时 原方程组有无穷多解 通解为 为 2 的基础解系 为任意常数 的特解 为 1 40 求下列方程组的通解 解 用初等行变换化增广矩阵为行最简形 例1 故有无穷多解 41 导出组的基础解系为 同解方程组为 导出组有自由未知量x3 x4 x5 在非齐次方程组中 令x3 x4 x5 0 求出一个特解 42 原方程组的通解为 为任意常数 43 设X1 X2 Xt是非齐次线性方程组AX b 0的解向量 证明X0 k1X1 k2X2 ktXt当k1 k2 kt 1时 是AX b的解 当k1 k2 kt 0时 是AX 0的解 证AX0 A k1X1 k2X2 ktXt k1AX1 k2AX2 ktAXt k1b k2b ktb k1 k2 kt b 例2 当k1 k2 kt 1时 AX0 b当k1 k2 kt 0时 AX0 0 故 44 已知线性方程组A4 4X 0有基础解系 则该方程的一个特解是 例3 解设 45 解系线性表示 所以不是解 应选 B 故可由线性表示 所以是该 方程组的一个解 不能由基础 46 由此可见 非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭 只有组合系数的和等于1的时候 解向量组的线性组合才是解 是的解 且满足 设A是4阶方阵 0 是4 1矩阵 试求方程组的通解 例4 47 解 先求的一个特解 再求的一个基础解系 48 且线性无关 所以 的一个基础解系 故 原方程组的通解为 为任意常数 49 例5 判断下列命题是否正确 1 若AX 0只有零解 则AX b有唯一解 答 错 因r A n r A n r Ab 2 若AX 0有非零解 则AX b有无穷多解 答 错 因r A n r A r Ab 3 若AX b唯一解 则AX 0只有零解 答 对 r A r Ab n 50 5 若r A r m 则AX b必有解 答 对 r A r m r Ab 6 若r A r n 则AX b必有唯一解 答 错 A为m n 当m n时 可以r Ab n 1 4 若AX 0有非零解 则ATX 0也有非零解 答 错 A为m n r A m n r AT m 这时ATX 0只有零解 例如A为3 4 R A 3 4 r AT 3 m 51 5 3方程组的几何应用 52 矩阵的秩及方程组的理论可以用来讨论几何空间中的平面 直线的位置关系 1 两个平面的位置关系 不全为0 53 此时方程组有无穷多解 有一个自由未知量 可求出通解为 即 t为任意常数 为直线的参数方程 注特解代表交线上的一个点 导出组的基础解系代表交线的方向向量 54 2 三个平面的位置关系 三平面重合 方程