洛必达法则解决问题

洛必达法则简介：精品资料法则 1若函数 f(x)和 g(x) 满足下列条件：(1)limfxxa0及 lim gx0 ；xa(2) 在点 a 的去心邻域内，f(x)与 g(x)可导且 g(x) 0 ；fx(3) liml ，xa gxfx那么limxa gxfx= liml 。xa gx法则 2若函数 f(x)和 g(x) 满足下列条件：(1) lim fxx0 及 lim gx0 ；x(2) a0 ， f(x)和 g(x) 在, a与a,上可导，且g(x) 0；fx(3) limxgxfxl ，那么limxgxfx= liml 。xgx法则 3若函数 f(x)和 g(x) 满足下列条件：(1)limxaf x及 limxag x；(2) 在点 a 的去心邻域内，f(x)与 g(x)可导且 g(x) 0 ；(3) limfxxa gxl ，那么limfxxa gx= limfxl 。xa gx利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1将上面公式中的x a， x 换成 x + ， x -， xa， xa洛必达法则也成立。2洛必达法则可处理00 ， 0， 1 ，000， 0 ，型。003在着手求极限以前，首先要检查是否满足0 ， 0，1 ， 0 ，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数f (x)ex1xax 2 。（ 1 ）若 a0 ，求f ( x)的单调区间；（ 2 ）若当 x0 时 f ( x)0 ，求 a 的取值范围原解：（ 1） a0 时，f (x)ex1x ， f( x)ex1 .当 x(,0) 时，f (x)0 ；当 x(0,) 时，f (x)0 .故f ( x)在 (,0) 单调减少，在(0,) 单调增加（ ii）f ( x)ex12axx由（ i）知 e1x ，当且仅当x0 时等号成立 .故f (x)x2ax(12a) x ，1从而当 12a0 ，即a时，2f (x)0 ( x0) ，而f (0)0 ，于是当 xx0 时，f (x)0.x1由 e1x( x0) 可得 e1x(x0) .从而当a时，2f (x)ex12a(e x1)e x (ex1)(ex2a) ，故当 x(0,ln 2a) 时，f (x)0 ，而f (0)0 ，于是当 x(0,ln 2 a) 时，f ( x)0 .综合得 a 的取值范围为, 1 2原解在处理第（ii）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解 :（ii）当 x0时，f ( x)0 ，对任意实数a, 均在f ( x)0 ；当 x0时，x2f ( x)0 等价于 aex1x3xxx令 gxex1(x0), 则 g(x)xe2ex2xx，令 h xx2x2 x0，2xxx则 hxxeexeex1 ， hxxe0 ，知 hx在0,上 为 增 函 数 ，hxh00 ； 知 h x在0,上 为 增 函 数 ，h xh 00 ；gx0 ， g(x) 在0,xx上为增函数。由洛必达法则知，lim ex1elimxlim e1 ，2x0x1故 a21x02 xx022综上，知 a 的取值范围为,。22（ 2011 年全国新课标理）已知函数，曲线yf ( x) 在点 (1, f (1)处的切线方程为x2 y30 。（ ）求 a 、 b 的值；ln xk（ ）如果当 x0 ，且 x1 时，f ( x)x1x，求 k 的取值范围。原解：（ ）f (x)( x1 xln x)b22(x1)x1f (1)1,由于直线x2 y30的斜率为，且过点 (1,1)，故2f (1)1 , 即2b1,ab1 ,解得 a1 ， b1 。（ ）由（ ）知22f (x)ln x1 ，所以x1xln xk1(k1)(x21)f ( x)(x1x)1x2(2ln x) 。x考虑函数h(x)2ln x(k1)( x21) ( x0) ，则h( x)( k1)(x221) 2x。xx（ i）设 k0 ，由h( x)k( x21)( x x21)2知，当 x1 时，h(x)0，h（ x）递减。而h(1)0 故2当 x(0,1)时，h( x)0 ，可得1h( x)0 ；1x1当 x（ 1 ， +）时， h（ x）0从而当 x0, 且 x1 时， f（ x） -（1ln x+x1xk） 0 ，即 f（ x）xln xk+.x1x（ ii ） 设0k0, 故 h1（ x）0,而 h（1） =0 ，故当 x（ 1 ，1）时， h（ x）0 ，可得k1h（ x） 0, 而 h（ 1 ）=0 ，故当 x（1 ，+）时， h（ x） 0 ，可得1h（ x）0, 与题设矛盾。x 2综合得， k 的取值范围为（-， 0原解在处理第（ii）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：2 x ln x另解：（ ii）由题设可得，当x0, x1 时， k h1 =0h x在0,上为增函数h 1 =0当 x(0,1) 时， h x0 ，当 x（ 1 ， +）时， h x0当 x(0,1) 时， gx0 ，当 x（ 1， +）时， gx0gx在 0,1 上为减函数，在1,上为增函数由洛必达法则知lim gx2limx ln x212lim1ln x12110x1x 1 1xx 12x2k0 ，即 k 的取值范围为（-， 0规律