线性代数与解析几何-序言.ppt

1 线性代数与空间解析几何 哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲 2007 9 国家精品课 2 线性代数与解析几何 序言 学时60学时 4学分 共15周课成绩平时 20 期中 30 期末 50 3 一 教学内容线性代数 抽象 为了解决多变量问题形成的学科 代数为几何提供了便利的研究工具 几何为代数提供了直观想象的空间 解析几何 直观 4 二 课程特点 内容抽象概念多 符号多计算原理简单但计算量大证明简洁但技巧性强应用广泛 5 掌握三基 基本概念 定义 符号 基本理论 定理 公式 基本方法 计算 证明 提前预习 体会思路多动手 勤思考 深入体会思想方法培养 自学能力 独立分析问题能力和独立解决问题的能力 三 学习方法 6 1 线性代数与空间解析几何 习题解答哈工大数学系编 偏工 教材科有 2 线性代数与空间解析几何学习指导 俞正光 清华 等编 科学出版社 3 线性代数复习指导 恩波组编 胡金德 清华 国家行政学院出版社 4 代数与几何考研辅导 答疑室BX215 四 教学参考书 7 1 上课关手机 不迟到 2 答疑时间 每周二 四11 50 13 30 答疑地点 BX215 3 交作业时间 周一至周五9 00 16 00 交作业地点 BX215 程老师 每章结束后一周内以班为单位上交 使用作业本 写上学号 五 教学要求 8 线性代数与空间解析几何 第一章n阶行列式 哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲 2007 9 9 本章主要内容 行列式的定义行列式的性质行列式的计算Cramer法则 10 设二元线性方程组为 1 1n阶行列式 1 1 1二阶和三阶行列式 其中 行列式是一种算式 是根据线性方程组求解的需要引进的 也是一个基本的数学工具 有很多工程技术和科学研究问题的解决都离不开行列式 11 对方程组用加减消元法求出解 此解不易记忆 因此有必要引进新的符号 行列式 来表示解 如果定义二阶行列式如下 对角线法则 12 当系数行列式D0时 则方程组有唯一解 其解可表示为 13 解 则方程组的解为 例1求解方程组 由于 14 如果定义三阶行列式如下 对角线法则 那么对三元一次方程组 在系数行列式D0时 方程组有唯一解 其解可表示为 15 其中 例2 16 问题1 怎样定义n阶行列式 定义由1 2 n组成的有序数组称为一个n阶 全 排列 一般记为 例如自然数1 2 3的排列共有六种 例如12 n是一个n阶排列 叫自然排列 1 1 2全排列的逆序数 对换 17 在一个排列中 如果一个大 数排在小数的前面 则称这两个数构成一个逆序 一个排列的逆序总数称为逆序数 表示为 如果 为偶数 则称为偶排列 为奇数 则称为奇排列 定义 如果 18 例3 因为 所以23541是一个奇排列 例4 19 对换 在一个排列中互换两个数位置的变动 其它数不动 对换改变排列的奇偶性 需要进行2s 1次相邻对换 证 1 相邻对换 2 不相邻对换 定理1 所以对换改变排列的奇偶性 20 奇排列s个 偶排列t个 1 2 对换 1 2 对换 证 全部n 2 阶排列中奇偶排列各占一半 定理2 21 用排列观点总结三阶行列式 1 1 3n阶行列式的定义 22 定义 记一阶行列式 n阶行列式定义 23 由个元素组成 为n 项代数和 每项为取自不同行列的n个元素之积 行按自然顺序取时 每项符号由列标排列的奇偶性决定 归纳如下 注用定义只能计算一些简单的行列式 24 证明对角形行列式 上 下 三角形行列式都等于其主对角元素的乘积 即 例5 25 以下三角行列式为例来证明 先决定所有可能的非零项 其次决定非零项的符号 证 26 其中 表示此处元素可以是任意的数 例6 27 这个行列式的值一般并不等于 当n 4 5时 当n 6 7时 问题2 如何决定下面一般项的符号 注意 28 根据这个结论 也可以把行列式表示为 行列式还有其它的定义方式一般行列式不用定义来求值主要利用行列式性质求值 注 29 定义 为D的转置行列式 转置 行列互换值不变 即 1 2n阶行列式的性质 例如 性质1表明关于行的性质对列也成立 性质1 30 换法 换行 列 换号 即 性质2 31 两行 列 同值为零 即 推论 32 倍法 把行列式的某一行 列 的所有元素同乘以数k 等于用数k乘以这个行列式 即 性质3 33 如果行列式有两行 列 成比例 则该行列式为零 推论1 例如 如果行列式某一行 列 有公因子k时 则该公因子k可以提到行列式符号的外面 推论2 34 分拆 如果行列式某行 列 的所有元素都是两数之和 则该行列式为两个行列式之和 即 性质4 35 36 例如 37 消法 将行列式的某一行 列 的各元素乘以常数加到另一行 列 的对应元素上去 则行列式的值不变 即 性质5 38 总结行列式性质 性质1 性质2 推论 性质3 推论 性质4 性质5 换行 列 变号 两行 列 同 值为零 某行 列 乘数k kD 两行 列 成比例 值为零 D可按某行 列 分拆成两行列式之和 D某行 列 乘数k加至另行 列 行列式值不变 转置 换法 倍法 消法 39 计算 例7 解通过行变换将D化为上三角行列式 40 41 设有四阶行列式 则展开式中x4的系数是 A 2 B 2 C 1 D 1 解含x4的项只有一项 例8 1 4321 a14a23a32a41 2x4 42 已知 计算 例9 43 解 由性质4 44 45 下面讨论将n阶行列式转化为n 1阶行列式计算的问题 即 1 3行列式展开定理 定义在给定的n阶行列式中 把元素 所在的i行和j列的元素划去 剩余元素 记作 而元素的代数余子式记作 构成的n 1阶行列式称为元素的余子式 46 47 在行列式 中 例10 48 若D的第i行元素除外都是零 引理 则 行 列 的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和 即 定理3 n阶行列式等于它的任意一 49 50 n阶行列式 则 定理4 51 证 及降阶法将G按j行展开有 由 52 1 定义法 利用n阶行列式的定义计算 2 三角形法 利用性质化为三角形行列式来计算 3 降阶法 利用行列式的按行 列 展开性质对行列式进行降阶计算 4 加边法 升阶法 5 递推公式法 6 归纳法 总结n行列式的计算方法 53 计算n阶行列式 行和相同 例1 54 解 55 56 计算n阶行列式 两道一点 例2 解 57 计算n 1阶行列式 爪形 其中 例3 58 解 59 当全不为零时 60 证明n阶 三对角 行列式 例4 其中 61 对行列式阶数n用数学归纳法证明 n 2时 结论成立 证 n 1时 结论成立 62 则对于n阶行列式按第一行展开有 设n 1 n 2时结论成立 63 证明范德蒙 Vandermonde 行列式 例5 64 用数学归纳法证明 证 n 2时 结论成立 假设对n 1阶行列式结论成立 下证n阶成立 从第n行开始 每一行减去前一行的x1倍 目的是把第一列除1以外的元素都化为零 然后按第一列展开 并提取各列的公因子 可以得到 65 66 或者利用递推公式 由上述递推结果即可得到结论 67 1 4克莱姆 Cramer 法则 Cramer法则 如果n元线性方程组 的系数行列式不等于零 1 定理5 下面给出利用n阶行列式求解方程个数与未知量个数都是n而且系数行列式不为零的线性方程组的求解公式 68 即 则方程组 1 只有唯一解 且其解为 69 其中是把的的第j列各元素依次换成方程组 1 右端的常数项所得到的n阶行列式 即 70 如果n元齐次线性方程组的系数行列式不等于零 即 推论1 则此方程组只有唯一零解 即 71 如果n元齐次线性方程组 推论2 有非零解 则系数行列式等于零 即 72 求解线性方程组 例1 线性方程组的系数行列式 解 所以方程组有唯一解 73 所以方程组的唯一解为 74 典型例题 75 练习 1 76 不计算行列式值 利用性质证明 证令 4 77 78 因此有 注的系数为1 79 计算行列式的值 5 80 解 81 计算行列式 6 82 解 此行列式用加边法计算 即 83 84 85 已知 计算 1 7 2 86 解 3 25 87 分析 a相当于第2行的元素乘上的第4行的代数余子式 根据行列式的