数值分析作业答案

第 2 章 插值法1、当 x=1，-1， 2 时， f(x)=0， -3，4，求 f(x)的二次插值多项式。（1） ）用单项式基底。（2） ）用 lagrange插值基底。（3） ）用 newton 基底。2证明三种方法得到的多项式是相同的。解：（ 1）用单项式基底-可编辑修改 -设多项式为 : p( x)a0a1 xa x2 ，所以： a1x00xx111111221x116x12421x22x2f ( x0 )x00x2a0f ( x1 )x11x2f ( x2 )x221x00xx221x11x21x2201131142411111114763124xx210111121311f (x0)01x00xx2222a11f (x1)11x11xx11f (x2 )21x221119362124002114421101111xf ( x )1xxa1xf ( x )1xx1x2f ( x2 )1x2x00113111255661112412422所以 f(x)的二次插值多项式为：p( x)73 x325 x26（ 2）用 lagrange插值基底l 0 ( x)( x(x0x1 )( xx1 )( x0x2 )x2 )( x1)(x2)(11)(12)1l ( x)(xx0 )(xx2)(x1)(x2)( x1x0 )(x1x2 )(11)(12)l ( x)( xx0 )(xx1 )( x1)(x1)22(xx0 )(x2x1)( 21)(21)lagrange插值多项式为：l2 (x)f (x0 )l 0 ( x)f ( x1)l1 (x)f ( x2 )l 2 ( x)0(3)1 ( x61)( x2)41( x31)(x1)5 x263 x723所以 f(x)的二次插值多项式为：l2 (x)73 x325 x26(3) 用 newton 基底:均差表如下：xkf(xk)一阶均差二阶均差10-1-33/2247/35/6newton 插值多项式为：n2 ( x)f ( x0 )f x0 , x1 ( xx0 )f x0 , x1 , x2 ( xx0)( xx1)03 ( x1)25 ( x61)(x1)5 x263 x723所以 f(x)的二次插值多项式为：n2 (x)73 x325 x26由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。6、在4x4 上给出f (x)ex 的等距节点函数表，若用二次插值求ex 的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h 应取多少？ 解：以 xi-1 ,xi,xi+1 为插值节点多项式的截断误差，则有r2 (x)1 f(3!)(xxi 1)(xxi )(xxi 1),( xi1, xi 1 )式中 xi 1xh, xi 1xh.1121e42r ( x)e4max( xx)(xx )(xx)e4h3h36xi 1 xi 1ixi 1i 1633934令 eh 310 6 得 h0.0065893插值点个数14(4)n11216.81217是奇数，故实际可采用的函数值表步长h4(4)n1812160.0065798、 f ( x)x7x 43 x1 ，求f 20 ,21 ,27 及f 20 ,21 ,28 。解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：f x0 , x1 , xn f (n ) (),n! a,b所以有：f 20 ,21 ,27 f (7 ) ()7!7!17!f 20 ,21,28 f ( 8) ()008!8!215、证明两点三次hermite 插值余项是r3 (x)f (4) ()( xx ) 2 ( xxk 1 )/ 4!,( xk, xk 1 )k并由此求出分段三次hermite 插值的误差限。证明：利用 xk， xk+1 上两点三次 hermite 插值条件h 3 (xk )f ( xk ), h 3 ( xk 1 )f (xk 1 )h 3 (xk )f(xk ), h 3( xk 1 )f ( xk 1 )2知 r3 ( x)f ( x)h 3 (x) 有二重零点 xk 和 k+1 。 设r3 ( x)k (x)( xx )2 (xxk 1 )k确定函数 k(x):当 xxk 或 xk+1 时 k(x)取任何有限值均可；当 xxk , xk1 时， x(xk , xk1 ) ，构造关于变量t 的函数g(t )f (t )h 3 (t )k( x)( xx)2 ( xxk 1k)2显然有g( xk )0, g( x)0, g(xk 1 )0g (xk )0, g( xk 1 )0在xk,xx,xk+1 上对 g(x)使用 rolle 定理，存在1(xk , x) 及2( x , xk1 ) 使得g (1 )0, g (2 )0在(xk ,1 ) ， (1,2 ) ， (2 , xk1 ) 上对g ( x) 使用 rolle 定理，存在k1( xk ,1 ) ，k 2(1 ,2 ) 和k 3 (2 , xk1 ) 使得g (k 1 )g (k 2 )g (k 3 )0再依次对 g(t ) 和 g(t) 使用 rolle 定理，知至少存在(xk , xk1 ) 使得g ( 4) ()0(4)而 g(t )f ( 4) (t )k ( 4 ) (t)4! ，将代入，得到k(t )1 f (4 ) (),4!( xk , xk 1 )2推导过程表明依赖于xk , xk1 及 x综合以上过程有：r3 ( x)f ( 4) ()( xx ) 2 ( xxk 1 )/ 4!k确定误差限：记 i h ( x) 为f(x) 在 a,b 上基 于等 距 节 点 的 分 段三 次hermite插 值 函 数。xkakh, (k0,1, n), hba n在区间xk，xk+1 上有f (x)i(x)f (4 ) ()( xx ) 2 ( xx)2 / 4!1 max f( 4) (x)max (xx ) 2 (xx) 2h kk 14! a x bxk xkk 1xl 1而最值max (xx ) 2 ( xx)2max s2 (s1) 2 h 41 h4 , (xxsh)xk xkxl 1k 10 s 116k进而得误差估计：f ( x)i(x)1h 4 maxf ( 4) ( x)h384a x b16、 求 一个 次数不高 于 4次 的多 项式p(x)， 使 它满 足p(0)p (0)0 ，p(1)p (1)0 ， p(2)1 。解 ： 满 足h 3 (0)h 3 (0)0 , h 3 (1)h 3 (1)1 的hermite插 值 多 项 式 为( x00, x11)h 3 ( x)1h 3 (x j )a j ( x)j 02h 3 ( x j )j (x)212 x1x010102x 2x3( x1)x010设 p(x)于是h 3 ( x)2ax( x1)2 ，令p(2)1 得 a14p( x)2x 2x31 x 2 ( x41)21 x2 (x 43)2第 3 章 曲线拟合的最小二乘法16、观测物体的直线运动，得出以下数据：i012345时间 t/s00.91.93.03.95.0距离 s/m010305080110求运动方程。解：经描图发现 t 和 s 近似服从线性规律。 故做线性模型 sabt,span1, t，计算离散内积有：1,15126 ，j 01,t5t j0j00.91.93.03.95.014.7t, t5t0j220.92j 01.923.023.925.0253.631, s5sj0j010305080110280t, s5t j sjj 0000.9101.9303.0503.9805.01101078求解方程组得：614.7a28014.753.63b1078a7.855048， b22.253761运动方程为：s7.85504822.253761t2平方误差：52sjs(t j )j 02.110217、已知实验数据如下：i01234xi1925313844yi19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如yabx2 的经验公式，并计算均方差。解：span1, x2，计算离散内积有：1,14125，j 01, x24xj2192j 02523123824425327x2 , x24xj254314384444727769932.349.073.397.8271.44194j 01, y4yj19.0j0x2 , y4jjx2 yj 019219.025232.331249.038273.344297.8369321.5求解方程组得：55327a271.453277277699b369321.5a0.972579， b0.05035所求公式为：y0.9725790.05035x2均方误差：1422y( x j )y jj 00.1226第 4 章 数值积分与数值微分1、确定下列求积分公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：（1）h1f ( x)dxaf (h)ha0 f(0)a1 f(h) ；（2）2h1f ( x)dxaf (h)2ha0 f(0)a1 f(h) ；（3）1f ( x)dx1 f (1)2 f(x1)3 f ( x2 ) / 3 ；（4）hf ( x)dxh0f (0)f (h ) / 2ah2 f(0)f (h) 。解：（1）hf ( x)dxa 1 f (h)ha0 f(0)a1 f (h) ；将 f ( x)1,x, x2 分别代入公式两端并令其左右相等，得a 1ha 1a00 a0a1ha1h1dxhhh2h xdx0h2 aa0h2 ahx2dx2 h3101h3解得。所求公式至少具有2 次代数精确度。又由于hh4hh故f ( x)dxf (h)f (0)f ( h)具有 3 次代数精确度。h333（ 2）2hf (x)dxa 1 f (h)a0 f (0)a1 f (h)f ( x)1, x, x2 分别代入公式两端并令其左右相等，得2 ha 1a0a11dx4h2h2hha 10a0ha12hxdx0(h)2 a22h1a00h a12 hx2dx132 hx32h163h3解得： a1a18h, a令 f (x)x3 ，得32 h02hx3dx4h308h32 h(h)38h35h30令 f (x)x，得42 h4x52hx dx564h58h35(h)48h3h42 h16h3故求积分公式具有3 次精确度。（ 3）11f ( x)dx f (1)2 f ( x1 )3 f ( x2 ) / 3当 f (x)1 时，易知有11f (x)dx f (1)2 f ( x1 )3 f ( x2 ) / 3令求积分公式对f (x)x, x2 准确成立，即11xdx012x13x21x2 dx则解得23x1 x212x213x22130.2898979x10.6898979或0.5265986x20.1265986将 f (x)x代入已确定的积分公式，则311f (x)dx f (1)2 f ( x1 )3 f (x2 ) / 32 h故所求积分式具有2 次代数精确度。（ 4）hf (x)dxh0f (0)f (h) / 2ah 2 f(0)f (h)当 f (x)1, x 时，有h1dxh11 / 202ah 00hxdxh00h / 2ah211故令 f( x)x2 时求积公式准确成立，即h x2dxh00h2 / 2ah2 02h解得 a1 。1234将 f (x)x , x代入上述确定的求积分公式，有hhx414x3 dxh0h 3 / 2h2 03h2 0012hhx515x4dxh0h 4 / 2h2 04h4 0012故所求积公式具有3 次代数精确度。2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：1（ 1）0 49xdx, n8; x21（ 2）xdx, n4;（ 3）64sin 20d,n6解（ 1）复化梯形公式， h1887thf (0)22k 1f ( xk )f (1)0.1114024复化辛普森公式， h18h77s8f6(0)4kf ( x0k1 )42k 1f ( xk )f (1)0.1115718（2） ） h2 ， t4hf (1)232k 1f ( xk )f (9)17.3060005h33s4f (1)46kf ( x0k1 )42k 1f (xk )f (9)16.7237505（3） ） h， t636hf (0)252k 1f (xk )f ()1.0356841 6h55s6f (0)46kf ( x0k1 )42k 1f (xk )f ()1.0357639 65、推导下列三种矩形求积公式：bf ( x)dxabf ( x)dxa(ba)(ba)f ( a)f ( a)f () 2f ()2(ba) 2 ；(ba) 2 ；babf()3f (x)dx(ba) f ()(ba)。a224解：（ 1）左矩形公式，将f(x)在 a处展开，得f ( x)f (a)f ()( xa ),(a, x)两边在a,b上积分，得bbbf ( x)dxf (a)dxfa aab()( xa)dx(ba)f (a)f ()( xa)dxa由于 x-a 在a,b上不变号，故由积分第二中值定理，有(a, b)b bf ( x)dx(ba) f (a)f ()( xa)dxaa从而有bf ( x)dxa(ba) f (a)1 f ()(ba)2 ,( a, b) 2（2） ）右矩形公式，同（ 1），将 f（x）在 b 点处展开并积分，得bf ( x)dxa(ba) f (a)1 f ()(ba)2 ,( a, b) 2（3） ）中矩形分式， 将f (x)在 ab 处展开，得2f ( x)f ( ab)f ( ab)( xab)f()( xab 2(a,b) ,2222两边积分并用积分中值定理，得bf (x)f ( ab)(ba)f ( abb)( xab)dx1b f()( xab)2 dxa22a22 a2f ( ab )(ba) 2bf()(xa2ab ) dx 2f ( ab )(ba)1f()(ba) 3,(a,b)2246、若分别使用复合梯形公式和复合辛普森公式计算积分i1 ex dx ，问区间 0,10应分多少等份才能使截断误差不超过110 5 。2解：由于f (x)exf( x)f (4) ( x), ba1由复合梯形公式的余项有：rnfba h2 f()211e110 51212n2解得 n212.85 可取 n213由辛普森公公式的余项有：rnfba h4f (4) ()1( 1 )4110 528802880n2解得 n3.707 可取 n48、用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过10 5（ 1）21 ex dx；020（ 2）x sinxdx ；30（ 3）x1x2 dx 。htnf (x0 )n 1f ( xn )2f ( xi ), k0解：（ 1） tk(k)24k t(k 1)i 1t (k 1)2nn, k1, 2,3,tk( k)n4k 1t(k )0.77174330.72806990.71351210.71698280.71328700.71327200.71420020.71327260.71327170.71327170( k) 1t(k)2(k )t3tt0(0)nhf (x0 )2n 1f (xn )2i 1f ( xi )14t(0)t (0)t(1) 2nnn412(2)42 t(1)t (1)t2nnn421t3(3)43 t(2)t (2)2 nnn341(2)kt(k )0( k ) 1t03.4513132*10-618.6282830*10-7-4.4469230*10-21(3) (3)18、用三点公式求f (x)1(1x)2 在 x1.0,1.1,1.2 处的导数值， 并估计误差。 的值由下表给出：xf (x0 )12h3 f (x0 )4 f ( x1 )f ( x2 )h 2f(0 )3f (x1)12hf (x0 )f (x1)h 2f( 1)6f (x2 )12hf ( x0 )4 f ( x1)3 f (x2 )h2f(2 )3i(x0 , x2 ), i0,1,2取表中 x1.0,1.1,1.2 ，分别将有关数值代入上面三式，即可得导数近似值。由于 f(i )maxf( x)1.0 x 1.2max1.0 x 1.214!x54!250.75从而可求得误差上限与导数值如下：1.01.11.2f ( x)解：三点求导公式为0.25000.22680.2066x1.01.11.2三点公式-0.247-0.217-0.187误差0.00250.001250.0025理论解-0.25-0.2159594-0.1878287代入数值，解方程，即得( xk ), k0,1, 2 如下x1.01.11.2三点公式-0.247-0.217-0.187误差-0.25-0.2159594-0.1878287理论解-0.25-0.2159594-0.1878287数值积分法 ,令( x)f(x) ，由f ( xk 1 )f ( xk )xk 1( x)dxxk对积分采用梯形公式，得f ( xxk 1xk( x3kx )k 1)f (x )k2(x )k( xk 1)112k(k),k( x , xkk 1)令 k=0,1,得( x )0( x )1122h 2hf (x )1f ( x )0( x )( x )f (x )2f ( x )1同样对f (xk 1)f ( xk1)xk 1xk 1( x)dx有f ( xx)3k 1)f (xk 1)k 1xk 12( xk 1)(x)( xk1k 1x12k 1(k),k( xk1k, x1)从而有( x )0( x )21hf ( x )2f ( x )0第 5 章 解线性方程的直接方法7、用列主元消去法解线性方程组12x118x1x13x2 3 x2 x23x315x315x36并求出系数矩阵a 的行列式的值。123315183115183115771731ab1831150150361861116071731618600226677a18x33, x272266672, x118、用直接三角分解求线性方程组的解。1231 x1 x1 x94561231 x1 x1 x83451 xx2x82123解：由公式u1ia1i (i1,2, n), l i1ai 1 / u11 , i2,3, nuriarir 1lrk uki ,ir , rk 11, n;lir(airr 1l iku kr ) / u rr , irk 11, n;rn 知111456311460452-361315111456100alu41001136045236100131510094bly10y83236189y4154ux011145611xy604513941540015x1227.08, x2476.92, x3177.6912、设 a0.60.50.10.3,计算 a 的行范数，列范数， 2-范数及 f-范数。解 ： anmaxaij1.11 i nj 1n