线性代数-第二章.ppt

第二章矩阵 湖北经济学院 线性代数 一 考试要求 1 理解矩阵的概念 了解三角形矩阵 对角矩阵 数量矩阵 单位矩阵的定义及性质 了解对称矩阵 反对称矩阵及正交矩阵等特殊矩阵的定义及性质 2 掌握矩阵的线性运算 掌握矩阵的乘法及其运算规律 掌握矩阵转置的性质 了解方阵的幂 掌握方阵的行列式的性质及方阵乘积行列式的性质 3 理解逆矩阵的概念 掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件 理解伴随矩阵的概念 会用伴随矩阵求逆矩阵 4 了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念 理解矩阵秩的概念 会用初等变换求逆矩阵和一般矩阵的秩 5 了解分块矩阵的概念 掌握分块矩阵的运算法则 特别要掌握分块矩阵的理论应用 二 基本内容 矩阵的定义 方阵列矩阵行矩阵 两个矩阵的行数相等 列数也相等时 就称它们是同型矩阵 同型矩阵和相等矩阵 零矩阵单位矩阵 交换律 结合律 矩阵相加 运算规律 数乘矩阵 矩阵相乘 运算规律 n阶方阵的幂 方阵的运算 方阵的行列式 运算规律 转置矩阵 一些特殊的矩阵 对称矩阵 反对称矩阵 对角矩阵 上三角矩阵 主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三角矩阵 下三角矩阵 主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三角矩阵 伴随矩阵 定义 逆矩阵 相关定理及性质 矩阵的分块 主要目的在于简化运算及便于论证 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似 分块矩阵 2初等变换的定义 换法变换 倍法变换 消法变换 三种初等变换都是可逆的 且其逆变换是同一类型的初等变换 反身性 传递性 对称性 13矩阵的等价 三种初等变换对应着三种初等矩阵 14初等矩阵 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 初等变换和初等矩阵的关系设是一个矩阵 对施行一次初等行变换 相当于在矩阵的左边乘以相应的阶初等矩阵 对施行一次初等列变换 相当于在矩阵的右边乘以相应的阶初等矩阵 即 左边乘 右边乘 经过初等行变换 可把矩阵化为行阶梯形矩阵 其特点是 可画出一条阶梯线 线的下方全为0 每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的行数 阶梯线的竖线 每段竖线的长度为一行 后面的第一个元素为非零元 也就是非零行的第一个非零元 例如 15行阶梯形矩阵 对行阶梯形矩阵再进行初等列变换 可得到矩阵的标准形 其特点是 左上角是一个单位矩阵 其余元素都为0 例如 16矩阵的标准形 定义 17矩阵的秩 定义 一 矩阵的运算 二 逆矩阵的运算及证明 四 矩阵的分块运算 典型例题 三 有关矩阵A 的运算及证明 五 矩阵的秩的求法及证明 六 用初等变换法解题 一 矩阵的运算 例1判断下列命题是否正确 解 由此得 例2 一个重要技巧 例3设 解 设则 注意其技巧 类似 1 设 求 本题中 故 类似的有 2000 例4 1989 例5 1991 例6 1999 例7 2003 例8 1992 例9 2005 均为3维列向量 记矩阵 如果 那么 提示 答案 2 例10设 其中为三阶可逆矩阵 则 提示 因为 注意此题技巧 n阶方阵A可逆 存在n阶方阵B 使得AB BA E A可表示为一些初等矩阵的乘积 1 n阶方阵A可逆的充要条件 二 逆矩阵的运算及证明 2 关于逆矩阵的公式 为可逆方阵 3 矩阵求逆的方法 1 当是低阶矩阵时 可以利用伴随矩阵法 2 当的阶数时 一般可采用初等变换法 行初等变换 列初等变换 注意用初等行变换求逆矩阵时 必须始终用行变换 其间不能作任何列变换 同样地 用初等列变换求逆矩阵时 必须始终用列变换 其间不能作任何行变换 3 零元素较多时用分块矩阵求逆 通常在已知条件为矩阵等式时应用 4 求出使AB E成立的B B即为 5 公式法 例10已知 求 方法1伴随矩阵法 同理求出 方法2 用初等行变换 构造矩阵 初等行变换 用初等变换求逆矩阵 往往比用伴随矩阵求逆要简单 准确 特别是当阶数较高时 例11已知 求 分块矩阵求逆 同一个矩阵 可以根据其特点 从不同角度分块求逆 例12 1994 设 其中求 例13 1991 设n阶矩阵A B满足A B AB 1 证明 A E为可逆矩阵 其中E为n阶单位矩阵 2 已知 求矩阵A 提示 AB A B E E A E B E E 例14 1999 已知AB B A 其中 注意此处技巧 类似1 2005 设 均为阶矩阵 为阶单位矩阵 若 则为 提示 先解出 及故 注意此处技巧 L 类似2 2003 设 均为三阶矩阵 是三阶单位矩阵 已知 则 解 例15 1992 均为阶可逆矩阵 则等于 提示 答案 例16设是阶可逆矩阵 如果中每行元素之和都是3 那么每行元素之和都是 提示 设 那么 答案 例17 均为阶矩阵 且 则下列命题可能错误的是 提示 由得 A与BAB那么且 均可逆 答案 它们的乘积可以交换 例18设阶矩阵 满足关系式则必有 提示 有关系式 是的逆矩阵 它们的乘积可以交换 是的逆矩阵 它们的乘积也可以交换 答案 例19 1991 设 为可逆矩阵 为分块矩阵 则 答案 例20 1990 已知对于阶方阵 存在自然数 使得 试证明可逆 并写出其逆矩阵的表达式 为阶单位矩阵 提示 例21 1988 已知阶方阵满足方程 其中给定 而是阶单位矩阵 证明可逆 并求出其逆矩阵 提示 将矩阵方程化为 例22 2002 设矩阵 则 解 计算后二阶矩阵求逆 三 有关矩阵A 的运算及证明 与A 有关的结论 1 AA A A E 2 3 例23 设A为三阶方阵 且 解 例24 1998 设矩阵 注意 例25 2002 为阶矩阵 分别为 对应的伴随矩阵 分块矩阵则的伴随矩阵 解 无论 是否可逆 成立的形式是相同的 那么 就根据 都是可逆的情况进行推导 进一步推导便得 例26 1988 设是三阶方阵 是的伴随矩阵 的行列式 求行列式的值 提示 变形或者运算后再计算行列式的值 答案 例27 1990 是阶矩阵 是的伴随矩阵 则 答案 例28 1992 已知实矩阵满足条件 1 其中是的代数余子式 2 计算行列式 解 由已知条件 两端同时计算行列式得 那么或者 再将行列式按第一行 或第一列 展开 利用已知条件可得 例29 1993 已知三阶矩阵的逆矩阵试求伴随矩阵的逆矩阵 解 注意 的使用 类似的有 1 1995 设 是的伴随矩阵 则 解 类似 2 1996 设阶矩阵非奇异 是的伴随矩阵 则 提示 由于非奇异 那么非奇异 进而也非奇异 所以 例30已知阶矩阵求中所有元素的代数余子式之和 提示 中所有元素的代数余子式之和等于中所有元素之和 本题中 那么 因此中所有元素的代数余子式之和也等于中所有元素之和 可以通过初等变换法求出 答案 1 例31 1997 设为阶非奇异矩阵 为维列向量 为常数 记分块矩阵其中是的伴随矩阵 为阶单位矩阵 1 计算并化简 2 证明可逆的充分必要条件是 提示 由于非奇异 那么可逆可逆 五 矩阵的秩的求法及证明 例32 1994 设是矩阵 是阶可逆矩阵 矩阵的秩为 矩阵的秩为 则 与的关系依而定 提示 任何矩阵乘以可逆矩阵后 其秩不变 即 例33 1994 设 都是阶非零矩阵 且 则和的秩 A 必有一个等于零B 都小于C 一个小于 一个等于D 都等于 提示 可以反证 假如或的秩等于 那么它是可逆的 由可以推出另一个矩阵为零矩阵 矛盾 答案 和的秩都小于n 或 AB O则r A r B n 例34 1998 已知阶矩阵的秩为 求 提示 由于则 当时 所以 例35 2001 设矩阵 且秩 则 提示 A的行列式值为0 故 例36 2003 设三阶矩阵 若伴随矩阵的秩为1 则必有 A 或 B 或 C 或 D 或 提示 的伴随矩阵的秩为1 则必有的秩等于 由 那么且 需要记住 例37 2007 设矩阵 答案 1 六 用初等变换法解题 1 初等变换和初等矩阵的关系设是一个矩阵 对施行一次初等行变换 相当于在矩阵的左边乘以相应的阶初等矩阵 对施行一次初等列变换 相当于在矩阵的右边乘以相应的阶初等矩阵 2 初等变换不会改变矩阵的秩 3 可逆矩阵可看成是有限个初等矩阵的乘积 注意 例38 均为阶矩阵 且与等价 则不正确的命题是 A 如果 则B 如果 则有可逆矩阵 使C 如果 则是可逆矩阵D 有可逆矩阵与 使 答案 A 例39 2004 设阶矩阵与等价 则必有 A 当时 B 当时 C 当时 D 当时 提示 等价的矩阵的行列式的值同时都等于零或者同时都不等于零 答案 D 例40 2006 设为三阶矩阵 将的第二行加至第一行得 再将的第一列的倍加到第二列得 记则 提示 考虑所对应的初等变换是 将矩阵的第一列的倍加到第二列 或者是将矩阵第二行的倍加到第一行上去 答案 需要记住 类似1 2001 设 其中可逆 则等于 提示 是由交换1 4列和交换2 3列所得到的矩阵 因此 或 求逆并注意到答案 类似2 2004 高数一 二 设A是3阶方阵将A的第一列与第二列交换得B 再把B的第二列加到第三列得C 则满足AQ C的可逆矩阵Q为 A B C D 答案 D依题意有 故 于是 类似3 2005 高数一 二 设A是n阶可逆方阵 交换A的第一行与第二行得矩阵B A B 分别为A B的伴随矩阵 则 A 交换A 的第一列与第二列得B B 交换A 的第一行与第二行得B C 交换A 的第一列与第二列得 B D 交换A 的第一行与第二行得 B 答案 C 不妨考虑A为3阶矩阵 由已知有 又因 故选择C 类似4 1997 高数一 设A是n阶可逆方阵 将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B