高数导数的应用习题及答案

一、是非题：精品资料 函数fx在a,b上连续，且fafb，则至少存在一点a,b ，使 f0 错误不满足罗尔定理的条件。若函数fx 在x0 的某邻域内处处可微，且fx00 ，则函数fx 必在x0 处取得3极值错误驻点不一定是极值点，如：yx， x0是其驻点，但不是极值点。若函数fx 在x0 处取得极值，则曲线yfx 在点x0 , fx0处必有平行 于 x 轴的切线错误曲线yx 3 在 x0点有平行于x 轴的切线，但x0不是极值点。函数yxsinx 在,内无极值正确y1cos x0 ，函数 yxsinx 在,内单调增，无极值。若函数fx在a,b内具有二阶导数， 且 fx0, fx0 ，则曲线 yfx 在a,b内单调减少且是向上凹 正确二、填空：设fx2a ln xbx2x （ a,b1为 常 数 ） 在 x11, x22 处 有 极 值 ， 则 a（）， b（）36afx2bxx1 ，当 x1a1, x22 时，21a2b10 ，24b10 ，解之得 a, b36函数fxfxln x211x21 的极值点是（x0）2x ，令 fx0 ，得 x0。又 x0， fx0 ；x0， fx0 ，函数 fxln x21 在 x0取得极小值。曲线fxx 3x 的拐点是（0,0）3fx2x 21 ， fx4 x ，令 fx0 ，得 x0 。又 x0， fx0 ； x0 ， fx0 ，函数 fxxx 的拐点是0,0。曲线fxln x 的凸区间是（0,）11fx， fxx， 使 fx 2x 无意义的点为x0 。当 x0时， fx0 ，曲线 fxln x 的凸区间是0,。若limeaxb1 ，则 a（1）， b（1）x0 sin 2 x2lime axblimeaxb1lime axb1，即 limeaxb1x0 sin 2 xx02 x2 x0x2x0x又当 x0 时， ex1 x ，a1, b1 。三、选择填空：下列函数中，在区间1,1上满足罗尔定理条件的是（c）xa. fxeb. g xln xc. h x1x 2d. k xxsin 1x0x0x0 fxex 在端点的值不相等；g xln x在区间1,1上不连续；对 k xx sin 1x0x0 在 xx00不可导；h x1x 2 在区间1,1上满足罗尔定理的条件。c 是正确的。罗尔定理的条件是其结论的（a ）a充分条件b必要条件c充要条件函数fx3x221x0x11x在区间0,2上（a）a满足拉格朗日定理条件b不满足拉格朗日定理条件2 lim3x1 ， lim11， lim fx1f 1x1 02x1 0 xx1函数 fx在 x1连续，函数fx在0,2上连续。f13x 22x 1x x 11， f11 xx 1112xx 1函数 fx在 x1可导，函数fx在0,2上可导。函数 fx在 0,2上满足拉格朗日定理条件，因而a 是正确的。设fx在 x0 有二阶导数，fx00 ，fx00 ，则 fx在 x0 处(a)a不能确定有无极值b有极大值c有极小值设函数fx在0,a具有二阶导数， 且 xfxfxfx0 ，则x在 0, a内是（ a ）a单调增加的b单调减少的fxxfxfxxfx x 20 （xfxfx0 ）在 0,ax内是单调增加的，因而a是正确的。函数fx的连续但不可导的点（d）a一定不是极值点b一定是极值点c一定不是拐点d一定不是驻点四、 计算题： lim xsin xx0 xtanxlimxsin xlim1cosxx2lim2x2lim21解x0 xtan xx0 1sec2 xx0tan2 xx0x222 lim 1cos2 xxx0x 1e1c o2sxs i2 nxx2l i mxl i ml i m1解x0x1ex0 xxx0 xxx lim11x0xe1xxx11解l i me1xe1xe1x1xl i mxl i m2l i ml i mx0xe1x0 xe1x0xx0 2 xx02 x2 lim xln sin xx0x0x0ln sin xcot xx 2x2解x0x0limx ln sin xlim1lim1limtan xlim0x0x limx sin xxx2x01x 2122x2x1x1limlimlim1x212解原式x01x21x0x2x0 lim xxxsin x sin x1s i nxxs i nxxl i ml i msi nx1解xxs i nxx1x1 xln 1x1 lim2x0xx1 x1 xlimln1x1limln1xx解x0x2x1xln1xxx0x2ln1x11x0xlim2limx02xlimln1xlimx1x02xx0 2x2 limln 1x2x0xlimln1xlimx解x0x2x0 x2limx0 0ln xln 1xlimln xln1xlimx ln xlimln x1limx0解x00x00x001x00110 求函数 y3 x321x的极值xx2解定义域为 r对函数两边取自然对数得（不妨设0x1）ln y1 ln x2 ln(1x)331 y12y3x3(x1)yy123 x31x 23x113x所以3x13(x1) 3x(x1)33x23 1x令 y0 ，得x； x 30 ， x1 为不可导点列表x(,0)01(0,)311(,1)331(1,)f ( x)不存在0不存在f ( x)拐点极大值极小值所以极大值为1y()3 4，极小值为y(1)0 3311 若直角三角形的一直角边与斜线之和为常数，求有最大面积的直角三角形1解设两直角边分别为x 、 y ，则面积sxy （ x20, y0 ）设常数为 c 由cxx2y2 ，得 xc2y22cc2y 2所以 sy （ 0yc ） 4cc3 y 2s，令 sc3 y20 ，得yc，所以 xc44c44c33驻点唯一，故当两直角边分别为cc，时直角三角形的面积最大3312 求乘积为常数a0 ，且其和为最小的两个正数解设其中一正数为x 、则另一正数为a ；设这两个正数之和为s xasx（ x0 ） xs1a ， 令 s x20 ，得 xa驻点唯一，故当两个正数均为a 时其和为最小13 设圆柱形有盖茶缸v 为常数，求表面积为最小时，底半