复杂二次分式函数极值的快速解法

.复杂二次分式函数极值的快速解法在高考中 ,我们经常会碰到二次分式函数问题 ,这类问题通常比较麻烦 , 有时运算量很大 ,很难在短时间内解决 . 所以本文将研究求解二次分式函数单调性 ,值域 ,极值的简便方法 .希望能得到一个极值通用公式 , 以便在考试中套用 ,节约时间 .ax 2bxc;.二次分式函数具有形式yf (x)2(a, b不同时为0) .dxexf我们将要研究它的定义域,值域,单调性 ,极值 .1. 定义域和有界性当方程 dx 2exf0有解 ,设x , x (xx) 是dx 2exf = 0两个根. 则函数定义12122域 xr | xxxx .当 ax 2bxc0, lim或axbxc0, lim.1211xx22xx此时函数无界. 当ax 2bxc =0 且ax 2121122bxc =0 , 函数有界且为常值函数(很少遇到的 情 况 , 比 如yx21x21). 所 以 通 常 当e24 df0, 二 次 分 式 函 数 是 无 界的. xx1 , xx2是函数的渐近线.当 e 24 df0 ,函数定义域为r.函数有界 .2. 单调性 ,极值 ,值域当e 24df0,dx 2exf0,可以将函数化为x的方程ydx 2exf=ax2bxc. 即xdyaxeybfyc0 . 对2于值域中的每一个y,方程都有实数解, 当dya0,0,当dya=0,验证是否有解.这样就可以求出值域.值域的两个端点(方程的两个解)为函数极大值和极小值.但为了计算在2何处取得极值,需将极值代入xdyax eybfyc0 函数解出x,计算可能有点慢 .下文会给出一个简便的计算方法.limxf ( x)aa,根据极值与dd的大小即可判断单调区间. e 24df0 这种情况最多有三个单调区间 .当 e 24 df0 ,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出yr.出现这种情况,求解dx 2exf0 和 ax2bxc0 .分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分式值域 .比如 y1 2 xx2221x1x13x1且x22xx1x2x2x2x取x1, y0,所以函数值域y | y0且y1 .分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例子.3x23x2yx2x5.首先定义域 x |x2x50解得 x | x1121 )x(1121 .分离分子中的二次项得y36 x13.22x2x5令t6x13, xt136.代入得1y3x2x56 x13315113t1213t636t316732tt 236t3167t836t369当t0131267678213629t1367131y367t8336t3692当 67t,t67取等号 , x36t3666当t01131267y367t836782136t369236 29当 67t,t67取等号 , x671336t366函数值域(-,- 31267) ? (31267,+)2121根据 li m3x23x223 ,xxx53- 31267312672121671312167131216262可判断出单调区间增区间(-, 11367),( 11367, 1 121),( 1121 ,+)6622减区间 ( 11367, 1121),( 1121 , 11367 )6226共有 5 个单调区间顺便再算一下函数零点3 x23 x2 =0解得 x = 1333, x = 13331266有了这些信息 ,我们很容易画出函数大致图像通过这样一个例子,我们意识到,如果在考试中碰到这样的函数,分离变量换元的方法计算量 非常大并且需要一定的技巧,浪费了我们很多的时间. 而判别式法只能求极值和值域,对于何处取极值 ,还需将极值代入原函数.对于上面的例子,直接代会函数运算过于复杂对于一些简单二次分式函数,分离变量是可行的,并且非常快 .但是对于像上面这种二次分式函数,我们找到需要一种计算量很小的方法.二次分式函数极值公式很多老师不赞成用导数计算二次分式函数极值.但为了找到一个简便公式,我们必须通过导数来研究二次分式函数.f ( x)ax2dx 2bxcexff (x)(2 axb)( dx 2exf )(ax 2bxc )(2d xe)(dx 2exf ) 2aebdx22afcdxcebf(dx2exf )2我们只关心导数的符号,导数分母是个正数,我们记分子22naebdx2afcdxcebf.函数取极值时f (x)0,即n0.我们只需解方程aebdx2afcdxcebf0 即可得到函数取极值时的x值.为了防止错误,最好验证的得到的x 值是否在定义域内.将方程系数与ax22bxc比较.发现 n 可以写成三阶行列式.dxexf12 xx2nabcdef.这样就很容易记住了.对于上面的例子y3x23x22xx512 xx2, n3321726 x6 x201151解得 x1 =611367, x2 =61367.这种方法比分离变量快多了.要求单调区间 ,由于 n 的符号和f ( x) 相同 ,大致画出yn的图像 ,只需画出开口方向,标出零点和渐近线即可确定单调区间.由此可知二次分式函数最多可有5 个单调区间 .如果要求极值 ,把 x 代入函数21136711367 2f ( 161367 )212251136711367636计算量很大 ,对于 x 很复杂的情况建议用判别式求值域.想到取极值时的x 值可用方程n0表示 ,我们也找到一个关于y 的方程 .ax2y2联立dxbxcexf,消去 x 整理得aebdx22afcdxcebf0e 24dfy24afcd2beyb 24 ac0二次项系数 e24df 和常数项 b24 ac正好为分母和分子的判别式.我们只需特别记住一次项系数4afcd2be .比较ax 22bxc发现这一项也挺好dxexf记的 :二次项系数与常数项系数积的和的4 倍减一次项系数积的两倍对于上面的 例子, 将系数代 入该方程得3 36y2 1 y2 =2解0得y112131267, y2131267.21根据已求出的单调区间, 比 较 ad和极值的大小即可区分极大值和极小值.2我们重新回顾判别式求值域的方法.xdyaxeybfyc02eyb4dyafyc=0的解即为极值.重新整理方程可得b 24 ac4cd2be4 afye 24dfy 2 =0和刚才的到的方程是一样的.说明导数和判别式这两种方法是等价的.在考试中 ,我们碰到的二次分式函数定义域不是根据函数本身的得出的,而是已知条件给定的.在特定的定义域内求解函数值域时,用判别式求解可能会放大值域.但我们能可用判别式求出极值 .再用n=0 和渐近线求出单调区间进而求出值域.下面给出一道有二次分式函数应用的高考例题.x2y2(2013浙江)如图 ,点 p(0,1)是椭圆c1 :2a2 = 1 (ab b0)的一个顶点 , c1 的长轴是2圆 c: x2y2 = 4的 直 径 .l1, l2是 过 点p且 互 相 垂 直 的 两 条 直 线 , 其 中 l1 交 圆c2与a, b两点,l2交椭圆与 c1与另一点 d.(1) 求椭圆c1 的方程 ;(2) 求abc 面积取最大值的直线l1 的方程 ;第一问x2c2 :4y21设 l : ykx1(kr) , l: y1 x112ko 到 ab 距离 d1, ab24d 234k.222k 211kl 代入 c 得x2214x140 设 p( x, y ), d ( x, y )211122k( l2 : xkyk0 套用圆锥曲线硬解定理)8kx1x224kx1x20(形式而已 )| dp |11 ( xx )24 xx21212k2(1k 2 )4(4k 2k2 )=( 套用圆锥曲线硬解定理)4k 22= 81k4k 2s12| dp | ab |1 81k 224k22314k2k2834k 24k2接下来是关键了,用我们