排列组合问题的类型及解答策略

排列组合问题，联系实际， 生动有趣， 但题型多样， 思路灵活， 不易掌握。 实践证明， 备考有效的方法是题型与解法归类，识别模式， 熟练运用。 本文介绍十二类典型排列组合问题的解答策略，供参考。一、相邻问题捆绑法例 1 6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（）种a. 720b. 360c. 240d. 120解： 因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法；甲、乙两人之间有种排法。由分步计数原理可知，共有=240种不同排法，选c。评注： 从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。二、相离问题插空法例 2要排一张有6 个歌唱节目和4 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）解： 先将 6 个歌唱节目排好，其不同的排法为种；这 6 个歌唱节目的空隙及两端共 7 个位置中再排4 个舞蹈节目，有种排法。由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种。评注： 从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。 此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。三、定序问题缩倍法精品资料例 3信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3 面红旗、 2 面白旗，把这 5 面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是 （用数字作答）。解： 5 面旗全排列有种挂法，由于3 面红旗与2 面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10 （种）。评法： 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。四、标号排位问题分步法例 4 同室 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（）a. 6 种b. 9 种c. 11 种d. 23 种解： 此题可以看成是将数字1， 2， 3， 4 填入标号为1 ， 2， 3 ，4 的四个方格里， 每格填一个数， 且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1 填入 2 至 4 号的 3个方格里有种填法； 第二步把被填入方格的对应数字，填入其它3 个方格， 又有种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有 1 种填法。 故共有 33 1=9 种填法，而选 b 。评注： 把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。五、有序分配问题逐分法例 5 有甲、乙、丙三项任务，甲需由2 人承担，乙、丙各需由1 人承担，从10人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法共有（）种a. 1260b. 2025c. 2520d. 5040解： 先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下8 人中选 1 人承担乙项任务，最后从剩下7 人中选 1 人承担丙项任务。 根据分步计数原理可知，不同的选法共有=2520 种，故选c。评注： 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步下量分组法求解。六、多元问题分类法例 6 由 数字0， 1 ， 2， 3 ， 4， 5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）a. 210个b. 300 个c. 464 个d. 600 个解： 按题意个位数只可能是0， 1， 2 ， 3 ， 4 共5 种情况，符合题意的分别有，个。合并总计，共有=300 （个），故选b。评注： 元素多， 取出的情况也多种，可按结果要求， 分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。另解： 先排首位，不用0 ，有种方法；再同时排个位和十位，由于个位数字小 于十位数字，即顺序固定，故有种方法；最后排剩余三个位置，有种排法。故共有符合要求的六位数=300 （个）。七、交叉问题集合法例 7 从 6 名运动员中选出4 名参加 4 100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？解： 设全集 u=6 人中任取4 人参赛的排列 ，a= 甲跑第一棒的排列， b= 乙跑第四棒的排列 ，根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有=252 （种）。评注： 某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数的公式：来求解。八、定位问题优限法例 8 计划展出10 幅不同的画，其中1 幅水彩画、 4 幅油画、 5 幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有 （）a.b.c.d.解： 先把3 种品种的画看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，则油画与国画有种放法。再考虑油画之间与国画之间又可以各自全排列。故总的排列的方法为种，故选d 。评注： 所谓“优限法”，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑。九、多排问题单排法例 9两排座位，第一排有3 个座位，第二排有5个座位，若8 名学生入座（每人一座位），则不同的坐法种数为（）a.b.c.d.解： 此题分两排坐，实质上就是8 个人坐在8 个座位上，故有种坐法，所以选d。评注： 把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑。十、至少问题间接法例 10从 4 台甲型和5 台乙型电视机中任意取出3 台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（）种a. 140b. 80c. 70d. 35解析： 在被取出的3 台中，若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合题意，故符合题意的取法有=70 种，选 c 。评注： 含“至多”或“至少”的排列组合问题，通常用分类法。本题所用的解法是间接法，即排除法（总体去杂），适用于反面情况明确且易于计算的情况。十一、选排问题先取后排法例 11四个不同的小球放入编号为1 ， 2， 3， 4 的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有 种（用数字作答）。解： 先从四个小球中取两个放在一起，种不同的取法；再把取出的两个小球与 另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有种不同的放法。依据分步计数原理，共有种不同的方法。评注： 这是一道排列组合的混合应用题目，这类问题的一般解法是先取（组合） 后排（排列）。本题正确求解的关键是把四个小球中的两个视为一个整体，如果考虑不周，就会出现重复和遗漏的错误。十二、部分符合条件淘汰法例 12四面体的顶点及各棱中点共有10 个点，在其中取4 个不共面的点，不同的取法共有（）a. 150种b. 147 种c. 144 种d. 141 种解： 10 个点中取4 个点共有种取法，其中同一侧面内的6 个点中任取4 个点必共面，这样的面共有4 个；又同一条棱上的3 个点与对棱的中点也四点共面，共有6 个面；再各棱中点共6 个点中，取四点共面的平面有3 个。故符合条件4 个点不共面的取法共有=141 （种