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第4 2节矩阵相似对角化 一 相似矩阵与相似变换的概念 二 相似矩阵与相似变换的性质 三 利用相似变换将方阵对角化 四 小结思考题 一 相似矩阵与相似变换的概念 1 等价关系 二 相似矩阵与相似变换的性质 定理1 设n阶方阵A和B相似 则有 A和B的特征多项式相同 即 注 以上结论其逆不一定成立 推论若阶方阵A与对角阵 相似 求x y 证明 三 利用相似变换将方阵对角化 命题得证 说明 如果的特征方程有重根 此时不一定有个线性无关的特征向量 从而矩阵不一定能对角化 但如果能找到个线性无关的特征向量 还是能对角化 例2判断下列实矩阵能否化为对角阵 解 解之得基础解系 求得基础解系 解之得基础解系 故不能化为对角矩阵 解 解之得基础解系 所以可对角化 注意 即矩阵的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应 四 小结 相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系 它具有很多良好的性质 除了课堂内介绍的以外 还有 相似变换与相似变换矩阵 这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算 其方法是先通过相似变换 将矩阵变成与之等价的对角矩阵 再对对角矩阵进行运算 从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算 相似变换是对方阵进行的一种运算 它把A变成 而可逆矩阵称为进行这一变换的相似变换矩阵 思考题 例1设 1 求A的特征值 2 求 的特征值 3 设B相似于A 求 例 设三阶方阵A
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