空间几何向量法之点到平面的距离

空间几何向量法之点到平面的距离1. 要求一个点到平面的距离，可以分为三个步骤：(1) 找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量；(2) 求出该平面的法向量；(3) 求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，这就是该店到平面的距离。精品资料例子： 点 a 到面的距离 dabn n（注： ab 为点 a 的斜向量，n 是面的法向量，点 b 是面内任意一点。）2. 求立体几何体积（向量法） 体积公式：1、柱体体积公式：vs.h2、椎体体积公式：v1 s.h33、球体体积公式：v4r33课后练习题例题：在三棱锥 b acd 中，平面 abd 平面acd ，若棱长 ac=cd=ad=ab=1，且bad=30 0 ， 求点 d 到平面 abc 的距离。要求平面外一点 p 到平面的距离， 可以在平面内任取一点a，则点 p 到平面的距离即为d=| pa|pa| pan | |n | pan |n |2建立如图空间直角坐标系，则a （1 ,0,0 ）， b （3 1 ,0, 1）， c （ 0,3 ,0 ）， d（1 ,0,0)2222ac( 1 ,3 ,0) , ab(3 ,0, 1 ) , dc(1 ,3 ,0)222222xz022设 n =(x,y,z) 为平面的一个法向量，则nab31x2y02nac133y3x, z3x，可取 n(3,1,3)d| dcn|代入|n|33d22得，13391313 ，即点 d 到平面 abc 的距离是39 。1.已知 a(2,3,1) 、b(4,1,2) 、c(6,3,7) 、d(-5,-4,8) 是空间不共面的四点, 求点 d 到平面abc 的距离 .解：设 n(x, y, z) 是平面 abc 的一个法向量，则由n ab0 及 n bc10 ,得2x2yz0 2x2y5z02yx3z2 x3,取 x=3, 得 n(3,2,2) ,于是点 d 到平面 abc 的距离为da nd=n494917=.17172. 已知四边形abcd是边长为4 的正方形， e 、f 分别是 ab 和 ad 的中点， gc 平面abcd ，且 gc=2 ， 求点 b 到平面 efg 的距离 .解： 建立如图 2 所示的空间直角坐标系c-xyz ，则g(0,0,2),e(2,4,0),b(0,4,0), f(4, 2,0)，ge =(2,4,-2),gf =(4,2,-2),be =(2,0,0).设平面 efg 的一个法向量为n(x, y, z) ，则由n ge0 及 n gf2x+4y2z00 ，得4x2y2z0x=y,取 y=1, 得 n(1,1,3), 于是点 b 到平面 efg 的距离为d=be n2=2 11.z3yn11113. 在棱长为 1 的正方体abcd-a 1 b 1 c 1 d 1 中，求点c 1 到平面 a 1 bd 的距离。解：建立如图3 所示的空间直角坐标系d-xyz ，则 a 1 (1,0,1),b(1,1,0),c1(0, 1,1).设平面 a 1 bd 的一个法向量为n(x, y, z) ，则由n da 10 及 ndb0 ，得xz0xy0z=-x y=-x,取 x=-1, 得 n=(-1,1, 1), 于是点 c 1 到平面 a 1 bd 的距离为d=c1d n=n223=.334. 如图 4 ，四面体 abcd中，o、e 分别是 bd 、bc 的中点，ca=cb=cd=bd=2，ab=ad=2 ，求点 e 到平面 acd 的距离 .解：由题设易知ao bd，oc bd ，oa=1 ，oc=3 ，oa 2 +oc 2 =ac 2 ，aoc=90，即 oa oc.以 o 为原点， ob、oc 、oa 所在直线为x、y、z 轴，建立空间直角坐标系o-xyz ，则a(0,0,1),b(1,0,0),c(0,3 ,0),d(-1,0,0), e( 1 ,322,0),ad =(-1,0,-1),ac =(0,3 ,-1),ed =(- 323,-,0).2设平面 acd 的一个法向量为n(x, y, z) ，则由n ad0 及 nac0 ，得xz03yz0x=-zed n3n7y=3 z ,取 z=3 , 得 n =(-3 ,1,3 ),于是点 e 到平面 acd 的距离为d=321.75. 如图，在直三棱柱abc a1b1c 1 中，abc 90，ab bc aa1 2， m、n 分别是a1 c1 、bc 1 的中点()求证： bc 1平面a1b1 c； ()求证： mn平面a1abb 1； ()求三棱锥m bc 1b1 的体积()abc a1 b1 c 1 是直三棱柱， bb1 平面a1b1c 1，b1 ba1b1又 b1c1a1b1，a1b1平面bcc1b1，bc 1a1b1bb 1 cb 2，bc 1b1c，bc1 平面a1b1c()连接 a1b，由 m、n 分别为 a1c1、 bc1 的中点，得mna1b，又 a1b平面 a1 abb 1， mn平面 a1abb 1，mn 平面a1abb 1 ()取 c 1b1 中点 h，连结 mhm 是 a1c1 的中点，mh a1b1，又 a1b1平面bcc 1b1，mh 平面bcc 1b1，mh 是三棱锥m bc 1b1 的高，三棱锥 m bc1b1 的体积 v1s bc1b1mh3114123236. 如图，在三棱柱abca1b1c1中， acbc, abbb1acbcbb12 , d 为 ab 中点，且 cdda1（1） ）求证：bb1平面 abc（2） ）求证：bc1 平面ca1 d(3) 求三棱椎b1 -a 1dc 的体积a1c1b1acdb7. 如图，在棱长为2 的