自考概率论与数理统计(经管类)

、综合测试题概率论与数理统计（经管类）综合试题一（课程代码4183 ）一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1. 下列选项正确的是(b).a. ababb. ( ab)babc. ( a-b )+b=ad.abab-可编辑修改 -2. 设p( a)0, p( b)0，则下列各式中正确的是(d).a. p(a-b)=p(a)-p(b)b.p(ab )=p(a)p(b)c. p(a+b)=p (a )+p(b)d. p(a+b)=p(a)+p(b)-p(ab )3. 同时抛掷 3 枚硬币，则至多有1 枚硬币正面向上的概率是(d).a. 1 8b. 1 6c. 1 4d. 1 24. 一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3 ，4，5 顺序的概率为(b).a. 1 120b. 60c. 1 5d. 1 25. 设随机事件 a，b 满足 ba ，则下列选项正确的是(a).a. p( ab)p( a)p(b)b. p( ab)p( b)c. p(b | a)p( b)d. p( ab)p( a)6. 设 随 机 变 量x的 概 率 密 度 函 数 为f(x) ， 则f(x) 一 定 满 足(c).a. 0f ( x)1b. f (x)连续c. f( x)dx1d. f()17. 设离散型随机变量x 的分布律为p( xk)b ,k 2k1,2,. ，且b0 ，则参数b的值为(d).a. 1 2b. 1 3c. 1 5d. 18. 设随机变量 x, y 都服从0, 1 上的均匀分布，则e ( xy ) =(a).2a.1b.2c.1.5d.09. 设总体 x 服从正态分布， ex1, e( x)2 , x 1, x 2 ,.,x 10 为样本，则样本110均值xx i10 i 1(d).a. n (1,1)b. n (10,1)c. n (10, 2)d. n (1, 1 )10210. 设总体 xn (,),( x , x , x ) 是来自 x 的样本，又 ?1 xax1 x123是参数的无偏估计，则 a = (b).12342a. 1b.14c. 1 2d. 1 3二、填空题（本大题共15 小题，每小题2 分，共 30 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11. 已知p(a)1, p(b)2, p(c)1 ，且事件a,b,c 相互独立，则事件 a，b，334c 至少有一个事件发生的概率为5.612. 一个口袋中有 2 个白球和 3 个黑球，从中任取两个球， 则这两个球恰有一个白球一个黑球的概率是 0.6 .13. 设随机变量 x 的概率分布为x0123pc2c3c4cf ( x) 为 x 的分布函数，则 f (2)0.614.设x服 从 泊 松 分 布 ， 且ex.3 ， 则 其 概 率 分 布 律 为p( xk)3k e 3 , k k !0,1,2.15. 设随机变量 x 的密度函数为f ( x)2e 2 x , x 0,x0,则 e(2x+3) =04.16. 设二维随机变量 (x, y)的概率密度函数为f (x, y)x2 y 21 e2,2(x, y) .则(x, y)关于 x 的边缘密度函数1x2f x ( x)e 2 (x).217. 设随机变量 x 与 y 相互独立，且p( x1 )0.5, p(y21)0.3, 则p( x1 , y21) =0.15.18. 已知 dx4, dy1,x ,y0.5 ，则 d(x-y)=3.19. 设 x 的期望 ex 与方差 dx 都存在，请写出切比晓夫不等式2p( xex )dx , 或 p(xexdx.1220. 对敌人的防御地段进行100 次轰炸，每次轰炸命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，方差为 2.25 ，则在 100 轰炸中有 180 颗到 220 颗炮弹命中目标的概率为0.816.(附：0 (1.33)0.908 )21. 设随机变量 x 与 y 相互独立，且 x5xf(3 ，5 ）.3y2 (3), y2 (5) ，则随机变量22. 设总体 x 服从泊松分布 p(5) ， x 1 , x 2 , x n 为来自总体的样本，x 为样本均值，则 e x5.23. 设总体 x服从0,上的均匀分布 ,(1, 0, 1, 2, 1, 1)是样本观测值 ,则的矩估计为 2 .24. 设总体x n(,2 ) ，其中22 已知，样本x1 , x 2 , x n 来自总体 x，0x 和s2分别是样本均值和样本方差，则参数的置信水平为 1-的置信区间为x0 u ，x0 u. n2n225. 在单边假设检验中， 原假设为h 0 :0 ，则备择假设为h :0.三、计算题（本大题共2 小题，每小题 8 分，共 16 分）26. 设 a，b 为随机事件， p( a)0.3, p(b | a)0.4, p( a | b)0.5 ，求 p( ab ) 及p( ab) .解： p(ab)=p(a)p(b a)=0.3 0.4=0.12由 p( a b)=0.5得 p（ ab ）=1-0.5=0.5而 p(a b)=p（ ab）=p( b)0.120 .5=0.24从而 p(a+b)=p(a)+p(b)p(ab)=0.3+0.24-0.12=0.4227. 设总体xf ( x)exx0，其中参数0 未知，( x 1 , x 2 , x n )0其它是来自 x 的样本，求参数的极大似然估计 .解：设样本观测值xi0 ， i=1， 2，n则似然函数 l()=nnx ix i =ni1i=1取对数 ln 得： ln ln （l）=nlnnx i ，令d ln （l） n=nxi =0i 1di 1=n解得的极大似然估计为?=n1 .xx ii 1四、综合题（本大题共2 小题，每小题 12 分，共 24 分）28. 设随机变量x 的密度函数为f ( x)1 x,02x2，求： (1)x 的分布函数 f(x)；(2)p(1x0,其它1 ) ；(3) e (2x+1)及 dx .2解：（ 1）当 x0 时， f（ x）=0x当 0x2 时， f（x）=(t) dtx 1tdt1 x2-0 24当 x2时，（fxx）=2 1tdt=tdt+（ t）dt=2 1x0dt=1-0 20 220， x0所以， x的分布函数为： f（x）=1 x2 ,0x24（ 2） p(-1x1 )= f1 f（ -1 ）= 11, x20= 1 .（）22161611或 p(1x1 ) =2 （ t）dt=2 1 tdt= 1210216（ 3）因为ex=x（x）dx= 12 x 2dx= 4 ， ex 2 =x 2（ x） dx 12 x 3dx=2所以， e（2x+1）= 2 ex20111 ;3320dx =ex 2(ex )22929. 二维离散型随机变量 (x,y)的联合分布为xy0122100.20.1010.20.10.4(1)求 x 与 y 的边缘分布； (2) 判断 x 与 y 是否独立 ? (3) 求 x 与y 的协方差cov ( x ,y) .解：（ 1）因为p( xp(y0)0.3, p(x0)0.4, p(y1)0.71)0.2, p(y2)0.4x01p0.30.7所以边缘分布分别为：y012p0.40.2（2） ）因为p(x0,y而0.4p( x0) p(y0)0.30.40.12 ,p ( x0,y0)p( x0,y0) ,所以 x 与 y 不独立；（ 3）计算得： ex=0.7 ， ey=1 ，e(xy)=0.9所以c(xy )e (xy )exey0.90.70.2五、应用题（ 10 分）30. 已知某车间生产的钢丝的折断力 x 服从正态分布 n(570, 82).今换了一批材料，从性能上看，折断力的方差不变 .现随机抽取了 16 根钢丝测其折断力， 计算得平均折断力为 575.2 ，在检验水平 0.05 下，可否认为现在生产的钢丝折断力仍为 570 ？( u0.0251.96 )2解：一个正态总体，总体方差=8 已知，检验h 0 :=570 对h 1570 .检验统计量为 ux570 n（0，1）816检验水平 =0.05 临界值 u0.0521.96, 得拒绝域： u1.96.计算统计量的值：x =575.2575.2570=2.61.96，所以拒绝h，即认为现在生，02产的钢丝折断力不是570.概率论与数理统计（经管类）综合试题二（课程代码4183 ）一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1. 某射手向一目标射击3 次， ai 表示“第i 次击中目标”，i=1,2,3 ，则事件“至少击中一次”的正确表示为( a).a. a1a2a3b. a1 a2 a3c. a1 a2 a3d. a1 a2 a32. 抛一枚均匀的硬币两次， 两次都是正面朝上的概率为(c).a. 1 2b. 1 3c. 1 4d. 1 53. 设 随 机 事 件 a 与 b相 互 对 立 ， 且p(a)0 ， p(b)0 ， 则 有(c).a. a 与 b 独立b.p( a)p(b)c. p( a)p(b)d. p(a)p( b)4. 设随机变量 x 的概率分布为x-101pa0.50.2则 p(1x0)( b).a.0.3b.0.8c.0.5d.15. 已知随机变量 x 的概率密度函数为f (x)ax200x1其他， 则 a =( d).a.0b.1c.2d.36. 已知随机变量 x 服从二项分布，且 ex2.4 ，dx1.44 ，则二项分布中的参数 n , p 的值分别为(b).a. n4，p0.6b. n6，p0.4c. n8，p0.3d. n24 ，p0.17. 设随机变量x 服从正态分布n(1， 4)， y 服从0，4上的均匀分布，则e(2x+y )=(d).a.1b.2c.3d.48. 设随机变量 x 的概率分布为x012p0.60.20.2则 d(x+1)=a.0b.0.36c.0.64(cd.1)9. 设总体x n (1, 4) ，(x 1， x2 ， xn)是取自总体 x 的样本 ( n1) ，1n21n2xx i ， s( xix )分别为样本均值和样本方差，则有(b)n i 1n1 i 1a. xn( 0 , 1)22b. xnx14( 1,)nc. (n1)s( n)d. t n(1 ) s10. 对总体 x 进行抽样， 0，1，2，3，4 是样本观测值，则样本均值x 为(b)a.1b.2c.3d.4二、填空题（本大题共15 小题，每小题2 分，共 30 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11. 一个口袋中有10 个产品，其中5 个一等品， 3 个二等品， 2 个三等品 .从 中 任 取 三 个 ， 则 这 三 个 产 品 中 至 少有 两 个 产 品等 级相 同 的概 率是 0.75 .12.已知 p(a)=0.3 ，p(b)=0.5 ，p(ab)=0.6 ，则 p(ab)= 0.2 .13. 设随机变量 x 的分布律为x-0.500.51.5p0.30.30.20.2f (x) 是 x 的分布函数，则 f (1) 0.8 .14. 设连续型随机变量x f( x)2x,0x 1 ，则期望 ex=2.0,其它315. 设( x ,y)1 ， 0f ( x, y)2x2,0y 1，则p(x+y1) =0. 25.0，其他，16. 设 x n (0 ，4)，则 p| x |20.6826. (1)0.8413)17. 设 dx =4 ，dy =9，相关系数xy0.25 ，则 d(x+y) =16.18. 已知随机变量 x 与 y 相互独立，其中 x 服从泊松分布，且dx =3，y 服从参数=1的指数分布，则e(xy ) =3.19. 设 x 为随机变量，且 ex=0，dx =0.5，则由切比雪夫不等式得p(| x|1) =0.5.20. 设每颗炮弹击中飞机的概率为0.01 ，x 表示 500 发炮弹中命中飞机的炮弹数目，由中心极限定理得，x 近似服从的分布是n(5， 4.95).221. 设总体10x n (0,1), x , x ,., x是取自总体 x 的样本，则x 2 （ 10）.1210i12ni 122. 设 总 体x n (,2 ), x , x,., x是 取 自 总 体x的 样 本 ， 记sn21nn i 1( x ix )2 ，则es 2n12.nn11 exx023. 设总体 x 的密度函数是f ( x)(0) ，(x1，x2 ，xn)0x0是取自总体 x 的样本，则参数的极大似然估计为?= x.24. 设总体x n(,2 ) ，其中2 未知，样本x1 , x 2 , xn 来自总体 x， x 和s2 分别是样本均值和样本方差，则参数的置信水平为1-的置信区间为xs t(n n21),xs t(n1).n225. 已知一元线性回归方程为y?3? x ，且 x2, y5 ，则?1.11三、计算题（本大题共2 小题，每小题 8 分，共 16 分）26. 设随机变量 x 服从正态分布 n(2, 4) ，y 服从二项分布 b(10, 0.1) ，x 与y 相互独立，求d(x+ 3y).解：因为x n（2,4 ）, y b (10,0.1), 所以 dx4, dy100.10.90.9又 x 与y相互独立 ，故d( x3y )dx9 dy48.112.127. 有三个口袋， 甲袋中装有 2 个白球 1 个黑球， 乙袋中装有 1 个白球 2 个黑球，丙袋中装有 2 个白球 2 个黑球.现随机地选出一个袋子， 再从中任取一球， 求取到白球的概率是多少？解： b 表示取到白球，a1 , a2 , a3 分别表示取到甲、乙、丙口袋.由题已知，p( a )p( a )p( a )1 .由全概率公式：3123p( b)p( a ) p( ba )p( a )p( ba )p( a )p( ba) = 12111211122333333342四、综合题（本大题共2 小题，每小题 12 分，共 24 分）28. 设连续型随机变量x 的分布函数为f (x)0,2kx ,1,x00x1 ，x1求： (1)常数 k； (2) p(0.3 x0,y0x y时， (x,y)的概率密度 f(x, y)=e.16. 设随机变量 x 的概率分布为-10120.10.20.3kx p则 ex= 1.17. 设随机变量 xf ( x)ex , x0,x0，已知 ex02 ，则=1.218. 已知 cov ( x ,y )0.15, dx4, dy9, 则相关系数x ,y =0.025.19. 设 r.v. x 的期望 ex、方差 dx 都存在，则p (| xex |)21 dx.20. 一袋面粉的重量是一个随机变量，其数学期望为 2(kg) ，方差为 2.25 ， 一汽车装有这样的面粉 100 袋，则一车面粉的重量在 180(kg) 到 220(kg) 之间的概率为 0.816. ( 0 (1.33) 0.908 )21. 设 x 1 , x 2 , x n 是来自正态总体 n (,2 ) 的简单随机样本，x 是样本均值， s 2 是样本方差，则 txs/n t (n1) .22. 评价点估计的优良性准则通常有无偏性、有效性、一致性（或相合性）.23. 设(1, 0, 1, 2, 1, 1) 是取自总体 x 的样本，则样本均值x =1.24. 设总体x n(,2 ) ，其中未知，样本x 1 , x 2 , x n 来自总体 x， x 和2s2 分别是样本均值和样本方差，则参数的置信水平为1-的置信区间为(n1)s2( n2,21)s2.(n1)(n1)12225. 设总体x n (4,2 ) ，其中2 未知，若检验问题为h 0 :4, h 1 :4 ，则选取检验统计量为t = x4.sn三、计算题（本大题共2 小题，每小题 8 分，共 16 分）26. 已知事件 a、b 满足： p(a)=0.8 ，p( b )=0.6 ，p(b|a)=0.25 ，求 p(a|b ).解： p(ab)=p(a)p(b|a)=0.80.25=0.2.p(a b)=p( ab)p( ab)0.20.5.p(b)1p( b)10.627. 设二维随机变量 (x, y)只取下列数组中的值： (0,0), (0,-1), (1,0), (1,1),且取这些值的概率分别为0.1,0.3,0.2,0.4. 求：(x,y)的分布律及其边缘分布律.由题设得， (x, y) 的分布律为：x01p0.40.6x-101y00.30.10100.20.4从而求得边缘分布为：y-101p0.30.30.4四、综合题（本大题共2 小题，每小题 12 分，共 24 分）28. 设 10 件产品中有 2 件次品，现进行连续不放回抽检，直到取到正品为止.求： (1)抽检次数 x 的分布律；(2) x 的分布函数；(3) y =2x+1 的分布律 .解：（1）x 的所有可能值取1，2，3，且p（x=1）= 8 = 4 ， p（ x=2）= 288,p(x=3)=2181 .105所以 x 的分布律为：12348154545x p10945109845（2）当 x1时，f ( x)p(xx)0 ；当 1x2时， f ( x)p(xx)p( x1)45当2x3时，f (x)p(xx)p(x1)p( x2)4445当x3时，f (x)p( xx)p( x1) p( x2) p(x3)1 .所以， x 的分布函数为：f (x)0 ,x14 , 1x2544 ,2x3451, x3（3） ）因为 y=2 x+1,故 y 的所有可能取值为： 3，5，7.且p( y3 )p ( x1 )45p(y5 )p x(2 ) 845p(y7 )p x(3 ) 1.45得到 y 的分布律为：y357p229. 设测量距离时产生的误差x n (0,10 ) （单位： m），现作三次独立测量，记 y 为三次测量中误差绝对值大于19.6 的次数，已知(1.96)0.975 . (1)求每次测量中误差绝对值大于19.6 的概率 p；(2) 问 y 服从何种分布，并写出其分布律；(3) 求期望 ey.解：（1） p(p xp( x1.96)=1-2 (1.96)1c（2）y 服从二项分布 b（3， 0.05 ）.其分布律为：3p( yk)k( 0. 0k5 )( 03 .k9 5 k),0 , 1 , 2 , 3.(3)由二项分布知：ey = np=30.5=0.15.五、应用题（本大题共10 分）30. 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占60% ，乙厂产品占 40% ；甲厂产品的合格品率为 90% ，乙厂的合格品率为95% ，若在市场上买到一只不合格灯泡，求它是由甲厂生产的概率是多少？解：设 a 表示甲厂产品， a表示乙厂产品，b 表示市场上买到的不合格品.由题设知： p( a)0.6, p( a)0.4, p( ba)10.90.1, p( ba)10.950.05.由全概率公式得 :p( b)p( a) p(ba)p(a)p(ba)0. 60. 10. 40. 0 50. 0 8.由贝叶斯公式得，所求的概率为:p( ab)p( a)p( ba)0. 60. 10. 7 5p( a)p( ba)p(a)p(ba)0. 0 8概率论与数理统计（经管类）综合试题四（课程代码4183 ）一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1. 设a，b 为随机事件，且p (a )0，p(b)0 ，则由 a 与b 相互独立不能推出 ().a. p(a+b)= p(a)+p(b)b. p(a|b)=p (a)c. p( b | a)p(b)d. p( ab)p( a) p(b)2.10 把钥匙中有 3 把能打开门，现任取2 把，则能打开门的概率为().a. 2 3b. 3 5c. 15d. 0.53. 设 x 的概率分布为p( xk)kc 1( k k!0,1,.,),0 ，则 c=().a. eb.ec.e1d.e14. 连续型随机变量 x 的密度函数f ( x)kx1,0x2，则 k=().0,其它a. 0.5b. 1c. 2d. -0.55. 二维连续型随机变量(x,y)的概率密度为f ( x, y )2e 2x y ,x0,y0，则0,其它(x,y)关于x的边缘密度f x ( x)().a.2e 2x , x0e 2x , x0b.c. ex , x0d. ey , y00,x00,x00,x00,y06. 设随机变量 x 的概率分布为x012p0.50.20.3则 dx =().a. 0.8b. 1c. 0.6d. 0.767. 设 x n (1,4), y n (1,1) ，且 x 与 y 相互独立，则e(x-y)与 d(x-y)的值分别是().a. 0 ， 3b. -2 ，5c. -2 ，3d.0 ，58. 设随机变量x n b(n,p), n1,2,.,其中 0p1 ，则 lim px nnpx np(1p)n().a. x102t 2xe2 dtb.2t1e2 dt 2c.0122t 2e 2 dtd.2t1e 2 dt 29. 设 样 本 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4来)自 总 体x n (,)， 则x1x 22( x 3x 4 )().a.2 (1)b. f (1,2)c. t(1)d. n (0,1)10. 设样本( x 1, x 2 ,.,x n ) 取自总体 x，且总体均值ex 与方差 dx 都存在，则dx 的矩估计量为().1na. xxib. s21n2( xix )n i 1n1 i 12c. sn1 nn i 1( xix ) 2d. s21nn1 i1( xi1x ) 2二、填空题（本大题共15 小题，每小题2 分，共 30 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11. 设袋中有 5 个黑球， 3 个白球，现从中任取两球，则恰好一个黑球一个白球的概率为.12. 某人向同一目标重复独立射击，每次命中目标的概率为p(0 p1), 则此人第 4 次射击恰好第二次命中目标的概率是.13. 设连续型随机变量x 的分布函数为f (x)11 arctan x ，则其概率密度为2.14. 设随机变量x与 y相互独立，且x n (1,4),y n (1,9), 则随机变量2x+y.15. 设二维随机变量 (x,y)的概率分布为y123x-10.10.2000.10.10.210.200.1则协方差 cov (x,y)=.16. 设 x p (4) (泊松分布 )，1（指数分布），0.3 ，则y e()3x ,yd( xy ) =.17. 设二维随机变量 (x, y) n (,2 ,2 ,0)，则 e(xy2)=.18. 设 随 机 变 量xn(2 ， 4) ， 利 用 切 比 雪 夫 不 等 式 估 计p(| x2 |3).19. 设随