线性代数与解析几何.ppt

1 线性代数与解析几何 第二十四讲 哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲 9 2实二次型 第九章二次型与二次曲面 2 1 定义1n个变量x1 x2 xn的二次齐次多项式 称为n元二次型 其中 当系数aij都是实数时 称为实二次型 含有复数时 称为复二次型 本书只讨论实二次型 9 2 1二次型定义及矩阵表示 3 如果将 1 式中的二次型展开 有 2 矩阵形式 4 则二次型可以矩阵乘积形式表述 其中对称矩阵A称为二次型的矩阵 R A 二次型f的秩 5 将三元二次型 例1 写成矩阵形式 解 二次型f的矩阵应为3阶对称阵 3 二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系 6 例2设 写出以A为矩阵的 二次型 解设 7 B CTAC则称A与B合同 9 1 2合同矩阵 化简二次型 矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很类似 合同也是n阶方阵之间的一种等价关系 即 3 合同关系具有三性 自反性 对称性 传递性 1 定义2给定两个n阶方阵A和B 如果 可逆方阵C 使得 8 而对任何实对称矩阵A 存在一个正交阵P 使得PTAP P 1AP 对角阵 所以任何实对称矩阵A都与对角阵合同 4 实对称阵一定与对角阵合同 9 例3与矩阵 既相似又合同的 矩阵是 解 A的特征值为0 3 4 又因为A是实对称阵 所以与A既相似又合同的矩阵是 D 10 9 3化实二次型为标准形 下面研究可以用三种方法化实二次型为标准形 项没有混合项的二次型 注意到二次型的矩阵是实对称矩阵 所以任何实二次型都可通过一个适当的可逆线性变换以化简为只含有平方 11 f XTAX X CY f YT Y A 实对称阵 CTAC 目的 化简 为对角阵 保留性质 C是可逆阵 X CY是可逆变换 C是正交阵 X CY是正交变换 CTAC 是合同 CTAC 是正交合同 对角阵 CTAC f化为标准形 1 问题的提出 12 只含平方项的二次型 对应矩阵 对角阵 秩 非零项个数 3 可逆变换 设C是可逆阵 称变量 之间的变换X CY为可逆线性变换 若C 是正交阵 称上述变换为正交 线性 变换 2 标准二次型 标准形 4 二次型的化简 给定f XTAX经过可逆的线性变换X CY使f YT Y化为标准形 13 定理9 1对任意n元实二次型f XTAX可经过正交线性变换X PY化为标准型 f 1y12 2y22 nyn2其中 1 2 n是A的n个特征值 9 2 1正交变换化实二次型为标准形 思考题 在正交变换下的标准形是否唯一 P是否唯一 不考虑系数次序时是唯一的 但P不唯一 14 变换矩阵P是个正交阵 是由矩阵A的特征向量经过Schmidt正交化得到的 这样正交线性变换X PY得到f的标准形中 平方项的系数恰是A的特征值 注意 对角阵中特征值的顺序和对应的特征向量在P中的排列顺序一致 15 试将下列二次型化为标准形 解 1 二次型f的矩阵为 A的特征多项式为 例4 16 得到A的特征值 3 对特征值 1 5求解方程组 得到基础解系 1 1 1 1 T 2 17 对特征值 2 1求解方程组 得到基础解系 2 1 0 1 T 3 0 1 1 T 将 2 3施行施密特正交化 得到 18 作正交变换X PY 即可得到标准形 为正交阵 19 用正交变换法化实二次型为标准形 无论在理论上还是在实际应用中都是很重要的一种方法 如果不要求给出变换 只想得到标准形 用这种方法特别方便 如果要得到变换公式利用这种方法计算起来就比较繁 而且只适应于实二次型 下面介绍更加简便且对所有二次型都适用的配方法 20 将实二次型化为标准形时 如果不考虑正交变换 用可逆线性变换就可将f化为标准形 那么用配方法就可以实现了 下面通过例子来说明这种方法 例5用配方法将二次型化为标准形 9 2 2用配方法化实二次型为标准形 注 用配方法化实二次型为标准形时 所用的线性变换必须是可逆的 21 令 解 22 则 为所求的标准形 所作可逆变换为 23 也可写成矩阵形式 令 C显然是个可逆矩阵 因此所作可逆线性变换为X CY 使 24 注 1 CTAC C是可逆阵 不唯一 的对角线上不一定是特征值 2 若缺x12项 可先将有平方项的未知数先配方 3 若无平方项且含x1x2项 产生平方项后 按上面方法做 则只需先做 25 9 2 3用初等变换法化实二次型为标准形 下面介绍另外一种利用矩阵初等变换化简二次型的方法 合同变换法 初等变换法其实质是将二次型矩阵通过一连串的合同变换化成与之合同的矩阵 在形式上更为简单的矩阵 可逆阵C可以表成有限个初等矩阵Pi i 1 2 s 的乘积 设C P1P2 Ps 于是 26 利用初等变换与乘初等矩阵的关系 可以得到类似于矩阵求逆过程的一种求标准形的方法 27 将单位阵放在要变换矩阵下面 构成一个2n n矩阵 一次初等列变换 一次同样的行变换 当通过一系列合同变换把A变为对角矩阵 CTAC时 下面的单位阵E就变成了可逆阵C 28 用初等变换法将下列二次型化成标准形 并求可逆线性变换 解因为矩阵A中a11 0 分别将第一行与第二行同时将第一列与第二列互换 使左上角的元素不为0 例6 29 30 作可逆线性变换X CY 则 31 用初等变换法将下列二次型化成标准形 解因为二次型矩阵A中a11 0 利用a11分别将第一行及第一列其余元素都消成0 例7 32 33 作可逆线性变换X PY 则 34 例8设 问A B C哪些相似 哪些合同 解 1 A是对角阵 B是上三角阵 且有3个互异特征值与A相同 所以B可以相似对角阵化为A 即A与B相似 2 因为A是对角阵 所以与A合同的矩阵必是对称阵 而B不是对称阵 A与B不合同 35 3 得 C又是实对