垂径定理典型例题及练习

【基础知识回顾】一、 圆的定义及性质：1、 圆的定义： 形成性定义： 在一个平面内， 线段 oa 绕它固定的一个端点o 旋转一周， 另一个端点a 随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段 oa 叫做 描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【名师提醒：1 、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的2、直径是圆中的弦】2 、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、三类3 、圆的对称性： 轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴 中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】二、 垂径定理及推论：1 、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的2 、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的【名师提醒： 1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足： 过圆心 垂直于弦 平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线-可编辑修改 -3、垂径定理常用作计算，在半径r 弦 a 弦心 d 和弦 h 中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：2 、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、 圆周角定理及其推论：1 、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2 、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论 1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧推论 2、半圆（或直弦）所对的圆周角是900 的圆周角所对的弦是【名师提醒：1 、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是2、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】五、 圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角【名师提醒：圆内接平行四边形是圆内接梯形是】1 、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角垂径定理典型例题分析：例题 1、 基本概念1. 下面四个命题中正确的一个是（）a 平分一条直径的弦必垂直于这条直径b平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦c弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心d在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2. 下列命题中，正确的是（）a过弦的中点的直线平分弦所对的弧b 过弦的中点的直线必过圆心c弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心d弦的垂线平分弦所对的弧例题 2、垂径定理1 、 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为 16cm ，那么油面宽度ab 是 cm.2 、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为 cm.3 、如图，已知在o 中，弦 abcd ，且 abcd ，垂足为h ， oeab 于 e ， ofcd 于 f .（1） 求证：四边形oehf 是正方形 .（2） 若 ch3 ， dh9 ，求圆心 o 到弦 ab 和 cd 的距离 .4 、已知： abc 内接于 o， ab=ac ，半径 ob=5cm ，圆心 o 到 bc 的距离为 3cm ，求 ab 的长5 、如图， f 是以 o 为圆心， bc 为直径的半圆上任意一点，a 是的中点， ad bc 于 d，求证： ad=f1bf.2aebdoc例题 3、度数问题1 、已知：在 o 中，弦 ab12cm ， o 点到 ab 的距离等于ab 的一半，求：aob的度数和圆的半径.2 、已知： o 的半径 oa1，弦 ab、ac 的长分别是2 、3 .求bac 的度数。例题 4、相交问题如图，已知 o 的直径 ab 和弦 cd 相交于点e， ae=6cm ， eb=2cm ，bed=30 ，求cd 的长 .ceabod例题 5、平行问题在直径为50cm 的o 中，弦 ab=40cm ，弦 cd=48cm ，且 ab cd ，求： ab 与 cd 之间的距离 .例题 6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦ab，交小圆于c、d 两点，设大圆和小圆的半径分别为a,b .求证： adbda 2b 2 .作业：一、概念题1 下列命题中错误的有（）（ 1）弦的垂直平分线经过圆心（2 ）平分弦的直径垂直于弦（ 3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径a 1 个b 2 个c 3 个d 4 个2 、o 的直径为10 ，弦 ab 的长为 8， m 是弦 ab 上的动点，则om 的长的取值范围是（）（ a） 3om5（ b） 4om5（ c） 3om5（ d ） 4om53. 如图，如果ab 为 o 直径，弦 cdab ，垂足为 e ，那么下列结论中错误的是（）a cedebc bacbadd acad4. 如图，ab 是 o 直径， cd 是 o 的弦， abcd 于 e ，则图中不大于半圆的相等弧有（）对。a 1 对b 2 对c 3 对d 4 对二、垂径定理1 、过 o 内一点 p 的最长弦为10cm ，最短的弦为6cm ，则 op 的长为.2. 在 o中，弦 ab 长为8cm ，圆心到弦ab 的距离为3cm，则 o半径长为cm3. 半径是 5cm 的圆中，圆心到8cm 长的弦的距离是cm4. 如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径oa10m ，桥拱的距度ab16 m ，则拱高cd m.5. 一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽ab24 ，则水管中水深是 cm.6. 如图，o 的直径 cdab，垂足为点e，若 ce2, ed8 ， 则 ab（）a 2b 4c 8d 167. 过 o 内一点 m 的最长的弦长为4cm ，最短的弦长为2cm ， 则 om 的长为（）a. 3 cmb 2 cmc 1d 3cm8. 已知：如图，o 中直径 ab 垂直于弦cd，垂足为e，若 ab10,cd6 ，则 be的长是（）a 1b 2c 3d 49. 已知 o 的弦 ab 长 8cm ，弦心距为3cm ，则 o 的直径是（）a 5cmb 10cmc55 cmd73 cm10 已知 o 的半径为2cm ，弦 ab 长 23 cm ，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（）a 1cmb 2cmc 2 cmd 3 cm11 如图，已知o 的半径为6cm ，两弦ab 与 cd 垂直相交于e ，若ce3cm，de9cm，则 ab（）a 6cmb 33cmc 3cmd 63cm三、度数问题1 、在 o中， ab 是弦， c 是 ab 的中点，延长oc 交 o 于 d 若 occd ，则aob的度数是（）a 90b 100c 120d 60四、相交问题1 、圆的弦与直径相交成30 角，并且分直径为 6cm 和 4cm 两部分，则弦心距为（）a 3b3c 1d 3322五、平行问题1 、 圆的两互相平行的弦长分别18cm 和 24cm ，又两弦之间距离为3cm ，则圆的半径长是cm2 、 在半径为5cm 的圆内有两条互相平行