常见的追及与相遇问题类型及其解法

追及与相遇问题追及问题是运动学中较为综合且有实践意义的一类习题，它往往涉及两个以上物体的运动过程，每个物体的运动规律又不尽相同.对此类问题的求解，除了要透彻理解基本物理概 念，熟练运用运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题文中隐含着的重要条件，并尽可能地画 出草图以帮助分析，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景.借助于 v t 图象来分析和求解往往可使解题过程简捷明了.知识要点 ：一、相遇是指两物体分别从相距s 的两地相向运动到同一位置，它的特点是：两物体运动的距离之和等于s，分析时要注意：（1） ）、两物体是否同时开始运动，两物体运动至相遇时运动时间可建立某种关系；（2） ）、两物体各做什么形式的运动；（3） ）、由两者的时间关系，根据两者的运动形式建立s=s 1 +s 2 方程； 二、追及问题（ 1）、追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系。若甲物体追赶前方的乙物体，若甲的速度大于乙的速度，则两者之间的距离。若甲的速度小于乙的速度，则两者之间的距离。若一段时间内两者速度相等，则两者之间的距离。2、追及问题的特征及处理方法： “追及”主要条件是：两个物体在追赶过程中处在同一位置，常见的情形有三种：速度小者匀加速追速度大者,一定能追上，追上前有最大距离的条件：两物体速度，即 v甲v 乙 。精品资料 匀速运动的物体甲追赶同向匀加速运动的物体乙，存在一个能否追上的问题。判断方法是：假定速度相等，从位置关系判断。若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的后方，则追不上，此时两者之间的距离最小。若甲乙速度相等时，甲的位置在乙的前方，则追上。若甲乙速度相等时，甲乙处于同一位置，则恰好追上，为临界状态。解决问题时要注意二者是否同时出发，是否从同一地点出发。 速度大者匀减速运动的物体追赶同向的匀速运动的物体时，情形跟类似。三、分析追及问题的注意点： 追及物与被追及物的速度恰好相等时临界条件，往往是解决问题的重要条件若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。仔细审题，充分挖掘题目中的隐含条件，同时注意vt 图象的应用。例题分析 ：1. 一车处于静止状态, 车后距车 s0 =25m 处有一个人 ,当车以 1m/s 2 的加速度开始起动时,人以 6m/s 的速度匀速追车,能否追上 ? 若追不上 ,人车之间最小距离是多少?2. 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以m/s 的加速度开始行驶，恰好此时一辆自行车以m/s 速度驶来，从后边超越汽车试求：汽车从路口开动后，追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？最远距离是多少？经过多长时间汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？3. 公共汽车从车站开出以4m/s 的速度沿平直公路行驶，2s 后一辆摩托车从同一车站开出匀加速追赶，加速度为2m/s 2。试问（1） ）摩托车出发后，经多少时间追上汽车？（2） ）摩托车追上汽车时，离出发点多远？（3） ）摩托车追上汽车前，两者最大距离是多少？4、火车以速度v1 匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距s 处有另一火车沿同方向以速度v2 做匀速运动，已知v1 v2 司机立即以加速度a 紧急刹车，要使两车不相撞，加速度a 的大小应满足什么条件？5、某人骑自行车以4m/s 的速度匀速前进，某时刻在他前面m 处以 10m/s的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机，而以m/s2 的加速度减速前进，求：自行车未追上前，两车的最远距离；自行车需要多长时间才能追上汽车6. 某人骑自行车以8m/s 的速度匀速前进，某时刻在他前面8m 处以 10m/s的速度同向行驶的汽车开始关闭发动机，而以m/s 2 的加速度减速前进，求：自行车未追上前，两车的最远距离；自行车需要多长时间才能追上汽车课后练习：1、 一列快车正以20m/s 的速度在平直轨道上运动时，发现前方 180m 处有一货车正以6m/s 速度匀速同向行驶，快车立即制动，快车作匀减速运动，经40s 才停止，问是否发生碰车事故？（会发生碰车事故）2、 同一高度有ab 两球， a 球自由下落5 米后， b 球以 12 米/秒竖直投下，问b 球开始运动后经过多少时间追上a 球。从 b 球投下时算起到追上a 球时， ab 下落的高度各为多少？（ g=10m/s2 ）（ 2.5 秒； 61.25 米）3、 如图所示， a 、b 两物体相距7 ，物体 a 在水平拉力和摩擦力作用下，正以1 4m/s 的速度向右运动，而物体 b 此时的速度 10 /， 由于摩擦力作用向右匀减速运动，加速度 a 2m/s2 ，求， 物体 a 追上 b 所用的时间。（ 2.67 s）4、 羚羊从静止开始奔跑，经过50m 能加速到最大速度25m/s ，并能维持一段较长的时间； 猎豹从静止开始奔跑，经过60 m 的距离能加速到最大速度30m/s ，以后只能维持此速度 4.0 s. 设猎豹距离羚羊xm 时开时攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0 s 才开始奔跑， 假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x 值应在什么范围？解析：先分析羚羊和猎豹各自从静止匀加速达到最大速度所用的时间，再分析猎豹追上羚羊前，两者所发生的位移之差的最大值，即可求 x 的范围。 设猎豹从静止开始匀加速奔跑60ms1达到最大速度用时间t2 ，则1 t1t1v2，2s1 v1260304s羚羊从静止开始匀加速奔跑s250m 达到最大速度用时间t1 ，则v2tt222，2s2 v2250254 s猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，则猎豹减速前的匀速运动时间最多4s ，而羚羊最多匀速3s 而被追上，此x 值为最大值，即x=s 豹 s 羊=（60 304）（ 50 253） =55m ，所以应取x55m 。5、 高为 h 的电梯正以加速度a 匀加速上升， 忽然天花板上一颗螺钉脱落螺钉落到电梯底板上所用的时间是多少？精品资料解析：此题为追及类问题，依题意画出反映这一过程的示意图，如图2 27 所示这样至少不会误认为螺钉作自由落体运动，实际上螺钉作竖直上抛运动从示意图还可以看出，电梯与螺钉的位移关系：s 梯一 s 钉= h式中 s 梯 vt 十? at2， s 钉 vt?gt2精品资料可得 t=2h / ga错误：学生把相遇过程示意图画成如下图，则会出现s 梯 s 钉= h式中 s 梯 v0t 十?at2 ， s 钉 v0t ?gt2这样得到v0t 十?at2 v0t ?gt2=h ，即 ?（ a g） t2 2v0t h=0由于未知v0，无法解得结果。判别方法是对上述方程分析，应该是对任何时间t，都能相遇，即上式中的4v02 2 （ a g） h0v0、a也就是 v0 ag h / 2，这就对a 与 g 关系有了限制，而事实上不应有这样的限制的。参考答案：1 、s 人-s 车=s 0 v 人 t-at 2/2=s0即 t2 -12t+50=0 =b 2-4ac=122-4 50=-560 方程无解 .人追不上车当 v 人=v 车=at 时,人车距离最小t=6/1=6ss min=s 0+s 车-s 人=25+1 62 /2-6 6=7m2、1解一：速度关系，位移关系v汽atv自t=2s自sv t1 at 26213226(m)22解二：极值法1232(1) sv自tat 26tt2由二次函数的极值条件可知t62(3 / 2)2s 时，s最大sm6232226(m)(2) 汽车追上自行车时，二车位移相等vt1 at 22v at 3t 2v264st3412m / s解三：用相对运动求解选匀速运动的自行车位参照物，则从运动开始到相距最远,这段时间内 ,起初相对此参照物的各个物理量为初速v0v汽初v自066m / s末速vt加速度av汽末v自a汽a自660303m / s2相距最远s22vv0(t02 a26)236m(负号表示汽车落后)解四：图象求解vv 汽v6v 自v自(1) tasvt(2) t 2t62 s31 at 26224 s13226m2tttv2v自12m / s3、解：开始一段时间内汽车的速度大， 摩托车的速度小，汽车和摩托车的距离逐渐增大， 当摩托车的速度大于汽车的速度后， 汽车和摩托车的距离逐渐减小，直到追上， 显然， 在上述过程中，摩托车的速度等于汽车速度时，它们间的距离最大。 （ 1 ）摩托车追上汽车时，两者位移相等，即v(t+2)=1 at22解得摩托车追上汽车经历的时间为t=5.46s(2) 摩托车追上汽车时通过的位移为s= 1 at 2 =29.9m2(3) 摩托车追上汽车前，两车速度相等时相距最远，即v=at /t/=v=2sa最大距离为 s=v(t /+2)-1 at /2=12m2小结：求解追及问题要注意明确三个关系：时间关系、位移关系、速度关系，这是我们求解列方程的依据，涉及临界问题时要抓住临界条件。4、解法一：由分析运动过程入手后车刹车后虽做匀减速运动，但在速度减小到和v2 相等之前， 两车的距离将逐渐减小； 当后车速度减小到小于前车速度，两车距离将逐渐增大。可见，当两车速度相等时，两车距离最近。 若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍为追上前车，若后车加速度大小为某一值时，恰能使两车速度相等时后车追上前车，这是两车不相撞的临界条件，其实对应的加速度即为两车不相撞的临界最小加速度。综合以上分析可知，两车恰不相撞时应满足下列方程：v1t-1a0t2 = v2t+svt-a0 t=v22联立上式可解得：a0 =(v2v ) 212 s(v2所以不av ) 212 s时时两车即不会相撞。解法二：要使两车不相撞，其位移关系应为1v1 t- 2at2s+ v2 t1即at2+(v 2 -v1)t+s 02对于位移 s 和时间 t, 上面不等式都成立的条件为=(v2 -v1) 2-2as 0(v2由此得 av ) 212s解法三：以前车为参考系，刹车后后车相对于前车做初速度v0=v1-v2 、加速度为a 的匀减速直线运动，当后车相对前车的速度为零时，若相对位移s/s 时，则不会相撞。由 s/=v 2(v0 =22av )212a(v2s得 av ) 212s小结： 上述三种解法中，解法一注重了对物体运动过程的分析，抓住两车间距离有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次不等到式（一元二次方程）运用数学知识，利用根的判别式=b2-4ac来确定方程中各系数间的关系，这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过巧妙选取参考系，使两车的运动变为后车相对于前车的运动，运算简明。5、解：当v 汽 v 车时，有最远距离s7s汽s自716210024410216m s自s汽7v1tv0 t1 at 272（错解） s 末汽车已停下t1=7s应判断在追上前汽车是否已经停下t1= s( 舍)经 s 汽车停下且走了m，而 s 自=20m, 207+25 相遇是在汽车停止后，s 自（m） t（s）若 s 自 m/s ，s m，何时相遇，相遇时v 汽？s自s汽st=4sv 汽 m/s8t=10t t2+8t= 2s( 舍)6、6、解：当v 汽 v 车时，有最远距离s7s汽s自161007224104216m s自s汽712v1tv0 tat7 2（错解） s 末汽车已停下t1=7s应判断在追上前汽车是否已经停下t1= s( 舍)经 s 汽车停下且走了 m，而 s 自=20m, 207+25 相遇是在汽车停止后， s 自（ m） t（ s）7、在平直公路上，一辆摩托车从静止出发追赶正前方 100m 处正以 v0=10m/s 的速度速度前进的卡车， 若摩托车的最大速度为 20m/s, 现要摩托车在 2min 内追上上卡车， 求摩托车的加速度为多大？解析： 设摩托车在2min 内一直加速追上了卡车，它的位移s1 同汽车的位移s2 的关系为s1= s2+s01即 2 a/t2= v0t+ s0其中 t=2min=120s, vo=10m/s, s0=100m13解 得 a/= 72m/s213若以加速度运动2min, 摩托车的未速度为v= a/t=7