关于函数恒成立问题的解题

恒成立问题二、恒成立问题解决的基本策略a 、两个基本思想解决“恒成立问题”-可编辑修改 -思路 1： mf ( x) 在 xd 上恒成立m f(x) max ；思路 2： mf ( x) 在 xd 上恒成立m f( x) min 如何在区间d 上求函数f ( x) 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数f ( x) 的最值此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累c 、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1 、一次函数型若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷给定一次函数yf ( x)axb ( a0) ，若yf ( x) 在 m,n 内恒有f ( x)0 ，则等价于：f (m)0f (n)0；同理，若在 m,n 内恒有f ( x)0 ，则等价于：f ( m)0f ( n)02例 3对于满足a2的所有实数a ，求使不等式x2ax12ax 恒成立的 x 的取值范围解：原不等式转化为：( x1)ax2x10 在 a2 时恒成立，设 f (a)( x1)ax22x1，则f (a) 在2, 2 上恒大于0，故有：f (2)0x2即f (2)0x24x3010，解得：x3或x1；x1或x1 x1 或 x3 ，即 x( , 1) (3,+ )2 、二次函数型例 4 若函数 f(x) ( a21) x2( a1)x2的定义域为r ，求实数 a 的取值范围a1222解：由题意可知，当xr 时， (a1)x( a1)x0 恒成立，a1当 a210 且 a10 时， a1 ；此时，(a21)x2(a1)x2a110 ，适合； 当 a210 时，有a2102a12222即有1a9 ；( a1)4(a1)0a10a90a1综上所述，f (x) 的定义域为r时， a1, 9 例 5 已知函数f ( x)x2ax3a ，在 r 上f (x)0 恒成立，求a 的取值范围分析 ： yf ( x) 的函数图像都在x 轴及其上方，如右图所示：略解 ：a24 3aa24a120 ，6a2 变式 1 ：若 x2,2时， f ( x)0 恒成立，求a 的取值范围分析 ：要使 x2,2时， f(x)0 恒成立，只需 f ( x) 的最小值g( a)0 即可解： f( x)( xa ) 2aa3 ，令f ( x) 在2,2上的最小值为g(a) ；224当a 22 ，即 a4 时，g (a)f ( 2)73a0 ；7a，而3a4 ，a 不存在；a当22 ，即4a24 时，g (a)aa2f ()24a30 ，6a2 ；又4a4 ，4a2 ；a当2 ，即 a 24 时，g ( a)f (2)7a0 ，a7 ；又a4 ，7a4 ；综上所述，7a2 变式 2 ：若 x2,2时， f ( x)2 恒成立，求a 的取值范围法一 ：分析：题目中要证明f ( x)2 在2,2 上恒成立，若把2 移到等号的左边，则把原题转-可编辑修改 -化成左边二次函数在区间2,2时恒大于等于0 的问题-可编辑修改 -略解 ：f (x)x2ax3a20 ，即 f (x)x2ax1a0 在2,2 上成立；a24 1a0 ，222a222 ；a24(1f (2)0f (2)0a)0；5a222 ；a2或a2223 、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求， 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有：f ( x)g( a) 恒成立，则g(a)f ( x) min；若对于 x 取值范围内的任何一个数，都有：f ( x)g (a) 恒成立，则g( a)f ( x)max 例 6已知三个不等式：x24x30 ，x26x80 ， 2 x29xm0 要使同时满足 的所有 x 的值满足 ，求 m 的取值范围略解 ：由 得 2x3 ，要使同时满足 的所有 x 的值满足 ，即不等式2 x29 xm0 在 x(2, 3)上恒成立，即 m2x29x 在 x(2,3)上恒成立，又2x29x 在 x(2,3) 上大于 9 ；所以： m9 例 7 函数f ( x) 是奇函数，且在1, 1 上单调递增，又f (1)1，若f ( x)t 22at1对所有的 a1, 1 都成立，求t 的取值范围解： 据奇函数关于原点对称，f (1)1；又因为f ( x) 在 1, 1 是单调递增，所以f (x)maxf (1)1 ；f ( x)t 22at1对所有的 a1,1都成立；因此，只需t 22at1 大于或等于f ( x) 在 1, 1 上的最大值1 ，t 22at11t 22at0 ；又对所有的 a1, 1 都成立，即关于 a 的一次函数在1, 1 上大于或等于0 恒成立，t 22t02t2t0t2或t0或t2即： t(,202,) 利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题4 、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f ( x) 是奇（偶）函数，则对一切定义域中的x ： f (x)f (x) （ f (x)f ( x) ）恒成立；若函数f ( x) 的周期为 t ，则对一切定义域中的x ：f ( x)f ( xt ) 恒成立5 、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果尤其对于填空题这种方法更显方便、快捷例 8 对任意实数x ，不等式 | x1| x2 |a 恒成立，求实数a 的取值范围分析： 转化为求函数y| x1| x2 | 的最小值，画出此函数的图像即可求得a 的取值范围3,x1解：令yx1x22x1,1x2；3,x2在直角坐标系中画出图像如图所示，由图象可看出，要使对任意实数x ，不等式 | x1| x2 |a 恒成立，只需 a3 ；故实数 a 的取值范围是（， 3）本题中若将“ | x1| x2 |a ”改为“| x1| x2 |a ”； 同样由图象可得a3 利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法（一）换元引参，显露问题实质4(a1)2a(a1)2例 9对于所有实数x ，不等式：x2 log2x loglog0恒成立，2222aa14a求 a 的取值范围解： 因为log 22a的值随着参数a 的变化而变化，若设t a12alog 2，a1则上述问题实质是“当t 为何值时，不等式(3t ) x22tx2t0 恒成立”；这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于：3t0求解关于 t 的不等式组：2(2t )8t (3；t)0解得 t0 ，即有2alog 2a10 ，易得 0a1 （二）分离参数，化归值域问题例 10 若对于任意角总有sin 22mcos4m10 成立，求 m 的范围解： 此式是可分离变量型，由原不等式得m(2cos4)cos2，cos2又 cos20 ，则原不等式等价变形为2m恒成立cos22故 2m 必须小于f ()cos cos2的最小值，这样问题化归为怎样求cos cos22cos2(cos2)24(cos2)4cos2cos24的最小值由 f ()cos24cos2440 ；即 cos0 时，有最小值为0，故 m0 （三）变更主元，简化解题过程例 11 若对于 0m1 ，方程 x2mx2m10 都有实根，求实根的范围解：此题一般思路是先求出方程含参数m 的根，再由m 的范围来确定根x 的范围，但这样会遇到很多麻烦，若以m 为主元，则m( x2)(1x)2 ，由原方程知x1x22 ，得 m；x21x 2113113又 0m1，即01；解之得x1 或1xx222（四）图象解题，用好数形结合例 12 设 x(0，4 ，若不等式x(4x)ax 恒成立，求a 的取值范围解： 若设yx(4x) ，则 (x2)2y24( y0) 表示为上半圆111设 y2ax ，为过原点，a 为斜率的直线yy2y1在同一坐标系内作出函数图像；依题意，半圆恒在直线上方时，只有a0 时成立，04x即 a 的取值范围为a0 例 13 当 x(1, 2) 时，不等式( x1)2log a x 恒成立，求a 的取值范围解：设 y1( x1)2 ， ylog ax ，则y1 的图像为右图是抛物线；2要使对一切x(1, 2) ， y1y2 恒成立，显然a1，并且必须也只需当x2 时，y2 的函数值大于等于y1 的函数值；故log a 21，1a2 （五）合理联想，运用平几性质例 14 不论 k 为何实数，直线ykx1与曲线 x2y22axa22a40 恒有交点，求 a 的范围解： ( xa)2y242a ， c（ a， 0），当 a2 时，联想到直线与圆的位置关系，则有点a（0 ， 1）必在圆上或圆内，即点 a（0 ， 1 ）到圆心距离不大于半径，则有a212a4(a2) ，得1a3 评析 ：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是比较困难的。若考虑到直线过定点a（ 0 ， 1 ），曲线为圆（六）分类讨论，避免重复遗漏例 15 当 | m|2 时，不等式2x1m( x21) 恒成立，求x 的范围解：使用 | m |2 的条件，必须将m 分离出来，此时应对x 21 进行讨论当 x210 时，要使不等式2x1x21m 恒成立，只要2x12 ，解得 1x13 ；x212当 x210 时，要使不等式2x1m 恒成立，只要2x1172 ，解得x1 ；x21x212当 x210 时，要使 2x10 恒成立，只有x1 ；综上 得17x13 22解法 2：可设f (m)( x21)m(2 x1) ，用一次函数知识来解，则较为简单（七）构造函数，体现函数思想xxxxx例 16 设f ( x)lg 123(n1) nn a ，其中 a 为实数， n 为任意给定的自然数，且 n2 ，如果f ( x) 当 x(，1 时有意义，求a 的取值范围解：本题即为对于x(，1 ，有 1x2x(n1)xn xa0 恒成立这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手；若考虑到求a 的范围，1 x2 xn1 x可先将 a 分离出来，得a()()(nn) ( nn2) ，对于 x(，1 恒成立1 x2 xn1 x构造函数：g( x)()()() ，nnn则问题转化为求函数g (x) 在 x(，1 上的值域由于函数u( x)k x() (kn1，2， ， n1) 在 x(，1 上是单调增函数，则 g (x) 在 (，1 上为单调增函数；于是有g( x) 的最大值为：1g (1)(n21) ，从而可得a1( n1) 2四、巩固练习1. 对任意的实数x ，若不等式x1x2a 恒成立，求实数a 的取值范围2. 已知函数f ( x)lg(2 x122 x( mr) ，对任意xr 都有意义，求实数m 的取值范围m)3. 已知f ( x) 是定义在 (, 3 的单调减函数， 且f ( a2sin x)f (a1cos2x) 对一切实数x 成立，求实数a 的取值范围4. 当 a 、b 满足什么条件时， 关于 x 的不等式( x21)ax(ax2x15)3b1对一切实数x 恒成立？5. 已知f ( x)x3ax2bxc ，在 x1 与 x2 时，都取得极值；（ 1）求 a 、 b 的值；（ 2 ）若 x3, 2 都有f ( x)11恒成立，求实数c 的取值范围c23答案：（ 1） a， b 26 ；（ 2）3132c0 或 c313 26. 定义在定义域d 内的函数yf (x) ，若任意的x1 , x2d ，都有| f ( x1 )f ( x2 ) |1，则称函数yf ( x) 为“接近函数”， 否则称“非接近函数”， 函数3f ( x)xxa ( x1,1 , ar) 是否为“接近函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由32解：因为| f ( x1 )f ( x2 ) | |fmaxf min |；函数 f(x)xxa ( x1,1, ar) 的导数是：f ( x)3x1；当 3x 210 即 x3 时，3在 x(0,3 ) 时，3f