全国高中数学联赛贵州省预赛试题及答案[1]

2010 年全国高中数学联赛贵州赛区预赛试题所涉及的知识范围不超出现行全日制普通高中高级中学数学教学大纲中所规定的教学内容和要求， 在方法的要求上有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，包括 8 道填空题和 3 道解答题，全卷满分120 分，考试时间为150 分钟.试题一、 填空题（每小题8 分，共 64 分）1、已知函数f (x)x22 ax3a2 , 且方程f ( x)8 有三个不同的实根， 则实数a =.2、设x表示不超过x的最大整数，则lg1lg2lg3lg2010.3、l1, l2 , l100 为100条共面且不同的直线， 若其中编号为 4k (kn) 的直线互相平行，编号为4k1 的直线都过定点a 则这 100 条直线的交点个数最多为.4、若将半径为 12cm四个篮球在水平地面上任意堆放，则你能堆放的最大高度是cm .5、若抛物线 y22 x 的焦点是 f ，准线是 l ，点m(2, m)是抛物线上一点，则经过点f、m且与 l 相切的圆一共有个.6、若直线axby20( a0, b0) 和函数 ylog c (x2)2(c0 且c1) 的图象恒过同一个定点，则11 的最小值为.eabe7 、若sinln coscosln sin， 且0 , 2， 则角的取值 范围是.8、已知半径分别为2,3 的两圆外切于 t ，直线 mn 为此两圆的外公切线且m , n 分别为切点，则mtnt二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10 小题 20 分，第 11 小题 20 分，共 56分）x2y29、已知椭圆a 2b 21(ab0) ，过坐标原点 o 的直线 l 交椭圆于 a 、 b 两点， c 是椭圆上的一点，且满足oa ocob oc （）求证：1122oaoc是定值；（）求abc面积的最小值 .10、已知数列an满足 a11,a26, 4an 1an 14an (n2) 。（）求数列an的通项公式；（）求数列an的前 n 项和sn .11、已知a, b, c 是 rtabc 的三边， c 为斜边，若 ya 3b3c，求 y 的取值32c(abc)范围.解答2221、方程f (x)8 有三个不同的实根， 即函数yx22ax3a2的图象与直线 y8 有三个交点，由图象知，f ( a)8a2a3a8a2 .2、因为1k9lg k0,10k99lg k1,100k1000k999lg k2,2010lg k3所以lg1lg2lg3lg20109019002101134923.3、100 条直线任意两条的组合有2c100,其中编号为 4k(kn) 的直线互相平行，编号为 4k1的直线都过定点a ，所以这 100 条直线的交点个数最多为1002525c 2c 2c 214351 .4、四个篮球在水平地面上任意堆放的最大高度应是四个篮球两两相切的堆放在地面上，其中球心相连形成棱长为24cm 的四面体，此四面体的高为86cm，所以能堆放的最大高度应是2486 cm .5、因为点m (2, m )在抛物线y22x 上，所以 m2 ，即m (2,2) ，又焦点f1 ,02, 由抛物线的定义知，过点f、m且与 l 相切的圆的圆心即为线段fm 的垂直平分线与抛物线的交点，这样的交点共有四个，故过点f、m且与l 相切的圆共有四个 .6、因为函数ylog c ( x2) 2 的图象恒过点1,2，故a2b20，即1 ab1.2又因为 a0, b0, 所以111 ab113ba32 ，ab2ab2a2b2等号当且仅当 a2b 时成立.7、由esinln cosecosln sinesinln sinecosln cos，设 f ( x)exlnx ，则f ( sin)f ( cos)，因为函数f (x)exlnx 在 0,上是增函数，所以 sincos0 ，又因为(0,2) ，故, 35, 33, 7.422442248、如图,c,d 的半径分别为2,3.设mct,则ndt,因为直线 mn 与c,d 相切于m , n ,所以mnctdnmt由,mnt22nmtmnt2mtn,2mt 2nt 2222233322 2 2cos2 3 3cos()mt6 .mt 2nt 2mn 2nt3mn 2(32) 2(32)2注:也可用坐标法或平面几何法.9、由oaocobococ(oaob )0ocab0ocab又点 o 、 a 、 b 同为直线 l 上的三点，所以 ocoa .（ 1）设oar1,ocr2 ,xoa, 则xoc.2于是点 a 、 c 的坐标分别为r1 cos, r1 sin,r2 cos(), r2 sin().22因为点 a 在椭圆上 , 所以r 2 cos2r 2 sin2111a2b22222r2 cos ()r2 sin ()221a2b21cos2sin 2222,r1ab1sin2cos2rab222.21111 ,r 2r 2a2b2121故221是一个定值 .oaoc(2)s abc1abocoaocr1r22.由(1) 得111122a 2b2a2b 22r 2r 2r1r211a 2b2 ,12a 2b2当 r1r2 ,即当 a 、 b 、 c 三点共圆时等号成立。故abc 面积的最小值是2a2 b222 .ab10、（1）因为 a11,a26, 4an 1an 14an (n2) ，所以a2a2(a2 a), a2a4a2a4 2 n 1n 1nnn121n 1nan 1an1an1(n1) 1n1a(n1 )2n2n 1an2n (2 n2n22n21) 2 n 1（ 2）由（ 1）知：ns13 25 22(2 n3) 2n 2(2 n1) 2 n 1 2 ：2 sn23 225 23(2 n3)2n 1(2 n1) 2n:ns12 22 222 232 2 n 1(2 n1) 2n22 (12 n 1)1(2 n121) 2 n(32n) 2 n3sn(2 n即3) 2 n3sn(