弹性力学试题及答案

;.弹性力学试题参考答案（答题时间： 100 分钟）一、填空题（每小题 4 分）1. 最小势能原理等价于弹性力学基本方程中：平衡微分方程， 应力边界条件。2. 一组可能的应力分量应满足：平衡微分方程，相容方程（变形协调条件）。;.3. 等截面直杆扭转问题中，截面内的扭矩m。2dxdydm 的物理意义是杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆4. 平面问题的应力函数解法中，airy 应力函数在边界上值的物理意义为边界上某一点 （基准点） 到任一点外力的矩。5. 弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：ij , jx i0，ij1 (u2 i, ju j ,i ) 。二、简述题 （每小题6 分）1. 试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效 的面力（主矢与主矩相同），则 近处的应力 分布将有 显著的改变 ，但远处的应力 所受 影响可以忽略不计。作用：（ 1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（ 2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。2图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数的分离变量形式。（a）( x, y)ax2bxy2cy2题二（ 2）图( x, y)（ b）ax 3bx 2 y3cxy2dy3( r,)rf ()(r ,)rf ()3. 图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力p，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量e、泊松比已知。试求薄板面积的改变量s 。题二（ 3）图设当各边界受均布压力q 时，两力作用点的相对位移为l 。由1 (12e)q 得，la 2b 2qa 2eb(1)设板在力p 作用下的面积改变为s ，由功的互等定理有：将l 代入得：qspls1pa 2b 2e显然，s 与板的形状无关，仅与e、l 有关。4. 图示曲杆，在rb 边界上作用有均布拉应力q，在自由端作用有水平集中力p。试写出其边界条件（除固定端外） 。（ 1）（ 2）r r bq,r r a0,rr brr a题二（ 4）图0；0b（ 3）ab adrrdrbrp cosdrapcosab2p sin5. 试简述拉甫（love ）位移函数法、伽辽金（galerkin ）位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想，并指出各自的适用性love 、galerkin 位移函数法求解空间弹性力学问题的基本思想：（1） 变求多个位移函数数、重调和函数。u( x, y), v( x, y), w( x, y)或 ur ( r,), u(r ,) 为求一些特殊函数，如调和函（2） 变求多个函数为求单个函数（特殊函数）。适用性： love 位移函数法适用于求解轴对称的空间问题；galerkin 位移函数法适用于求解非轴对称的空间问题。三、计算题1. 图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为 d 的集中力作用， 单位宽度上集中力的值为p， 设 间 距d很 小 。 试 求 其 应 力 分 量 ， 并 讨 论 所 求 解 的 适 用 范 围 。（ 提 示 ： 取 应 力 函 数 为asin 2b）（ 13 分）题三（ 1）图解：d 很小， 将应力函数m(r ,pd ，可近似视为半平面体边界受一集中力偶m 的情形。) 代入，可求得应力分量：2114rasin 22；0 ；rrr 22r 2r 21rrr1 (2 acos 2b) r 2边界条件：（ 1）00,r00 ；0,r0r 0r 0r 0r 0代入应力分量式，有1 (2 ab)0或2ab0（ 1）r 2（ 2）取一半径为r的半圆为脱离体，边界上受有：r ,r， 和 m = pd由该脱离体的平衡，得r2r 2 dm02将r代入并积分，有221 (2 a cos 2b)r 2 dm02 ra sin 2b 2m20得bm0（ 2）联立式（ 1）、（ 2）求得：代入应力分量式，得bmpd ， apd22pdrsin 2r 2；0 ；r2pdsin 2r 2。结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较大，离原点较远处可适用。2. 图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力x 由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出xy ,y ，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。（ 12 分）解：（ 1）求横截面上正应力xq03题三（ 2）图h 3任意截面的弯矩为m6l x，截面惯性矩为i12 ，由材料力学计算公式有my2q 03xilh 3 xy（ 1）（2）由平衡微分方程求xy 、y平衡微分方程：xxyx0xyy0yxyxy(2)(3)其中， x0,y0 。将式（ 1）代入式（ 2），有积分上式，得利用边界条件：xy yh 20 ，有xyy3q0xylh 36q0 lh 3x 2 y2x 2 yf 1( x)3q 04lh 3x2 h 2f1 ( x)0即f1 ( x)3q0 4lh 3x 2 h 2将式（ 4）代入式（ 3），有3q0xylh 3x2 ( y 21 h 2 )4（ 4）积分得6q 0lh 3x( y 21 h 2 )4yy0或y6q0ylh 3x( y 21 h 2 )4利用边界条件：6 q0ylh 3x( y331 h 2 y)4f 2 ( x)q0x ，0ly yh 2y yh 2得：6q0 lh 36q0h3x(24h311 h3 )83f 2 (x)q0 x l由第二式，得将其代入第一式，得lh 3f2 (x)x( 248 h )q0 x 2lf 2 (x)0q0 x 2lq0 x 2lq0 x l自然成立。将 f 2 ( x) 代入y 的表达式，有36q0 x( y1 h 2 y)q0 x（ 5）所求应力分量的结果：myxiy2 q0lh 3x3 ylh 3342l3q0xylh 3x 2 ( y 21 h2 )4（6）36q0 x( y1 h2 y)q0 xy校核梁端部的边界条件：lh 3342l（1） 梁左端的边界（x = 0 ）：h 2hx x20 dyh20 ，h 2xy xdy0代入后可见：自然满足。0（2） 梁右端的边界（x = l ）：h2dyh2q x320ydy0hx x l 2hlh2dyh 22h 3qlh 3x20x l2( y 2h)dyq0 lhxy x l 2h3422x lh2ydyh2q32x0lhy 2dyh3222q0ly3q0lmhx x l 2h32x l3lh 3h62可见，所有边界条件均满足。检验应力分量x ,xy ,y 是否满足应力相容方程：常体力下的应力相容方程为22(xy )(2x22 )(xyy )0将应力分量x ,xy ,y 式（ 6）代入应力相容方程，有212q0212q02 (xy )xlh 3xy ，2 (xy )ylh 3xy2(xy )2(x222 )(xy )y24q0lh 3xy0显然，应力分量x ,xy ,y 不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。3. 一端固定， 另一端弹性支承的梁，其跨度为l，抗弯刚度 ei 为常数， 梁端支承弹簧的刚度系数为k。梁受有均匀分布载荷q 作用，如图所示。试：（1） 构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数w(x) ；（2） 用最小势能原理或ritz 法求其多项式形式的挠度近似解（取1 项待定系数） 。（ 13 分）题二（ 3）图解：两种形式的梁挠度试函数可取为w(x)x2 ( aa2 xa x2)多项式函数形式w(x)13nam (1m 1cos 2 m x )l三角函数形式此时有：w( x)x2 ( aa2 xa x 2)0322x 01w ( x)2x( a1a2 xa3 x)x ( a2a3 x)0x0w( x)nam (1m 1cos 2mx)0lx0w ( x)nlamm 12msin 2mx0lx0即满足梁的端部边界条件。梁的总势能为21ld 2 wl1220 eidx2dxqw( x)dx0k w(l )2取： w( x)a x2 ，有11代入总势能计算式，有1d 2 wdx 22 a1， w(l )a l 21l ei (2a ) 2 dxl qx 2 a dx1 k(a l2 ) 21由0 ，有212 eila 20qa1 l 33101211 ka2l 424eila1ka l 4q l 303aq0l13(4eil3kl 4 )代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为w(x)q0 l 3(4eil32kl 4 ) x4. 已知受力物体内某一点的应力分量为：x0 ，y2mpa ， z1mpa ， xy1mpa ， yz0 ，zx2mpa，试求经过该点的平面x3 yz1上的正应力。（12 分）解：由平面方程x3 yz1，得其法线方向单位矢量的方向余弦为11232121， m1112332123， n1111232121110ij11220201，ll mn11311nl tl11111157313111129112.64 mpa弹性力学课程考试试卷l1012113112032011学号：题号一姓名：二三工程领域：四建筑与土木工程五总分得分考试时间： 120 分钟考试方式：开卷任课教师：杨静日期： 2007 年 4 月 28 日一、简述题（ 40 分）1. 试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出两类平面问题中弹性常数间的转换关系。2. 弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？3. 写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？4. 写出弹性力学按应力求解空间问题的相容方程。5. 求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？6. 试叙述位移变分方程和最小势能原理，并指出他们与弹性力学基本方程的等价性?7. 试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程）xyc ( x2y 2 ) ，cy2 ，xy2cxy 。8. 试写出应力边界条件：（ 1）（ a ）图用极坐标形式写出；（ 2）（ b ）图用直角坐标形式写出。qoxpoxxh2ryyphhy（ a ）图（ b）图二、计算题（ 15 分）已知受力物体中某点的应力分量为：x0 ，y2 a ，za ， xya， yz0 ， zx2a 。试求作用在过此点的平面x3 yz1上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和切应力。三、计算题（ 15 分）图示矩形截面悬臂梁，长为l ，高为 h ，在左端面受力p 作用。不计体力，试求梁的应力分量。（试取应力函数axy 3bxy ）ohpxly四、计算题（ 15 分）图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为 d 的集中力作用， 单位宽度上集中力的值为p ， 设 间 距d很 小 。 试 求 其 应 力 分 量 ， 并 讨 论 所 求 解 的 适 用 范 围 。（ 试 取 应 力 函 数asin 2b）五、计算题（ 15 分）如图所示的悬臂梁，其跨度为l 。抗弯刚度为ei ，在自由端受集中力p 作用。试用最小势能原理求最大挠度。 （设梁的挠度曲线wa(1cos x) ）2lp弹性力学试题（答题时间： 120 分钟）班级姓名学号题号一二得分三总 分（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）一、填空题（每小题 4 分）1. 用最小势能原理求解时所假设的位移试函数应满足：。2. 弹性多连体问题的应力分量应满足，。3. 拉甫（love ）位移函数法适用空间问题；伽辽金（galerkin ）位移函数法适用于空间问题。4. 圣维南原理的基本要点有，。5. 有限差分法的基本思想为：，。二、简述题 （每小题5 分 ） 1试比较两类平面问题的特点，并给出由平面应力到平面应变问题的转换关系。2. 试就下列公式说明下列问题：（ 1）单连体问题的应力分量与材料的弹性常数无关；（ 2）多连体弹性力学问题中应力分量与弹性常数无关的条件。xy2yx2i1 ( z)xy21 ( z)z1 ( z)4 re1 ( z)1 ( z)11 ( z)m( xki yk ) ln( zzk )1 (z)8k 11 ( z)3m8k 1( x kiyk ) ln( zzk )1 ( z)式中：1 (z),1 ( z) 均为解析函数；1 (z),1 ( z) 均为单值解析函数。3. 试列写图示半无限平面问题的边界条件。题二（ 3）图4. 图示弹性薄板， 作用一对拉力p。试由功的互等定理证明：薄板的面积改变量s与板的形状无关， 仅与材料的弹性模量e、泊松比、两力 p 作用点间的距离l 有关。题 二 （ 4） 图5下面给出平面问题（单连通域）的一组应变分量，试判断它们是否可能。xyc( x 2y2 ),cy 2 ,xy2cxy 。6. 等截面直杆扭转问题的应力函数解法中，应力函数2( x, y) 应满足：2gk式中： g 为剪切弹性模量；k 为杆件单位长度扭转角。试说明该方程的物理意义。三、计算题1. 图示无限大薄板，在夹角为90的凹口边界上作用有均匀分布剪应力q。已知其应力函数为：r 2 ( a cos 2b)不计体力，试求其应力分量。（ 13 分）题三（ 1）图2. 图示矩形截面杆，长为l ，截面高为h，宽为单位1，受偏心拉力n，偏心距为e，不计杆的体力。试 用 应 力 函 数ay3by 2求 杆 的 应 力 分 量 ， 并 与 材 料 力 学 结 果 比 较 。（12 分）题三（ 2）图3. 图示简支梁，其跨度为l ，抗弯刚度ei 为常数，受有线性分布载荷q 作用。试求：（ 1）用三角函数形式和多项式写出梁挠度（w）近似函数的表达式；（ 2）在上述梁挠度（w）近似函数中任选一种，用最小势能原理或ritz 法求梁挠度（w）的近似解（取2 项待定系数） 。（ 13 分）题三（ 3）图4. 图示微小四面体oabc， oa = ob = oc， d 为 ab 的中点。设o 点的应变张量为：0.01ij0.00500.0050.020.0100.010.03试求 d 点处单位矢量v、t 方向的线应变。（ 12 分）题三（ 4）图2011-2012学年第 二 学弹性力学模拟考 试试卷题号一二三四五六七八九十总分评分评卷教师一 名词解释（共10 分，每小题5 分）1. 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同， 对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。二 填空（共20 分，每空1 分）1.边界条件表示在边界上位移与约束， 或应力与面力之间的关系式，它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。2. 体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为l -2mt -2；面力是作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为l -1mt -2；体力和面力符号的规定为以沿坐标轴正向为正，属外力；应力是作用于截面单位面积的力，属内力，应力的量纲为l -1 mt -2，应力符号的规定为：正面正向、负面负向为正，反之为负。3. 小孔口应力集中现象中有两个特点： 一是 孔附近的应力高度集中，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是应力集中的局部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边 1.5 倍孔口尺寸的范围内。4.弹性力学中，正面是指外法向方向沿坐标轴正向的面，负面是指外法向方向沿坐标轴负向的面。5.利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、整体分析三个主要步骤。三 绘图题（共10 分，每小题5 分）分别绘出图3-1 六面体上下左右四个面的正的应力分量和图3-2 极坐标下扇面正的应力分量。图 3-1图 3-2四 简答题（ 24 分）1. （ 8 分）弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？ 答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分）1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此， 建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。2） 完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律， 从而使物理方程成为线性的方程。3） 均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量e 和泊松比等）就不随位置坐标而变化。4） 各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。5） 小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。2. （ 8 分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？ 答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量x ,y ,xy 存在，且仅为x,y 的函数。平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy 平面， 外力沿 z 轴无变化，只有平面应变分量x ,y ,xy 存在，且仅为x,y 的函数。3. （ 8 分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数求解，应力函数必须满足哪些条件？答：（ 1）相容方程：40lxmyx sf x（ 2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，ss）：mylxy sf y在ss 上（ 3）若为多连体，还须满足位移单值条件。五 问答题 (36)1. （ 12 分）试列出图5-1 的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚1 ）解：在主要边界yh 2 上，应精确满足下列边界条件：图 5-1y yh 2qx l ，yx yh 20 ；y yh 20 ，yx yh 2q1在次要边界x0 上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚1 时，h 2h 2h 2h 2xx 0 dyfn ，h 2x x 0ydym ，xydyfs0xh 2在次要边界xl 上，有位移边界条件：u x l0 ， v x l0 。这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件代替：h 2h 2ql 2qlhh 2qlh 2xx 0 dyfnq1l ，h 2x x 0 ydymfsl6，2h 2xy x0 dyfs22. （ 10 分）试考察应力函数cxy3 ， c0 ，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图 5-2 所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。图 5-24443解：（ 1）相容条件：将cxy 代入相容方程2x 42x2 y 240 ，显然满足。y（ 2）应力分量表达式：x26cxy ，yy0 ，xy3cy2（ 3）边界条件：在主要边界yh上，即上下边，面力为2y yh 23chx ，xy y3 ch2h 24在次要边界x0, xl 上，面力的主失和主矩为h 2h 2dyh 2h 2xx 0 dy0h 2x x l6cly dy0h 2h 2ydy0h 2ydyh 226clydyclh 3h 2x x 0h 2x x lh 22ch 2h 2dy23h 2h 22c3h 2xy x 03cy dyhh 24h 2xyx 0 dy3cy dyhh 24弹性体边界上的面力分布及在次要边界x0, xl 上面力的主失量和主矩如解图所示。3. （ 14 分）设有矩形截面的长竖柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力q,如图 5-3 所示，试求应力分量。（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量x0）图 5-3解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量x0 ，(1) 假设应力分量的函数形式。x0(2) 推求应力函数的形式。此时，体力分量为f x 20, f yg 。将x20 代入应力公式x2y有x20 对 x 积分，得yyfx ，（ a）其中 fx ， f1 x都是 x 的待定函数。yfxf1 x。（ b）(3) 由相容方程求解应力函数。将式（b）代入相容方程40 ，得d 4 fxyd 4 fx10dx4dx 4这是 y 的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的y 值都应该满足） ，可见它的d 4 fxd 4 fx系数和自由项都必须等于零。dx40 ，1dx 40 ，两个方程要求fxax3bx 2cx ，f1 xdx 3ex2(c)fx 中的常数项，f1 x中的一次和常数项已被略去，因为这三项在的表达式中成为y 的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数y ax3bx 2cxdx 3ex 2(d)（ 4）由应力函数求应力分量。2xy2xf x0 ，(e)2yx2yf y6 axy2by6dx2egy ，(f)22xy3 axx y2 bxc .(g)(5) 考察边界条件。利用边界条件确定待定系数先来考虑左右两边xb 2 的主要边界条件：x xb 20 ，xy xb 20 ，xy xb 2q 。将应力分量式(e)和(g) 代入，这些边界条件要求：0 ，自然满足；3 ab 2bbc0(h)x xb 2xy x3b 24ab2xy xb 24bbcq(i)由（ h）（ i）得bq 2b（ j）考察次要边界y0 的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为b 2ydxb 26dx2e dx2eb0 ；得e0b 2yb 2y0xdxb 2b 26dx2 e xdxdb 30 ，得d0b 2y 0b 22b 2b 2dx3 ax2q xc dxab 3bc0（ k ）b 2xy y 0b 2b4由（ h ）（ j ）（ k）得aq ,cq b24将所得 a 、b、 c、 d、 e 代入式（ e）（ f ）（ g）得应力分量为：x0 ，yqq6 b 2 xyb ygy ，q2qqxy32 xxbb42009 2010学年第 二 学期期末考试试卷（ a）卷题号一二三四五六七八九十总分评分评卷教师六 名词解释（共10 分，每小题5 分）2.弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同， 对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。七 填空（共20 分，每空1 分）4.边界条件表示在边界上位移与约束， 或应力与面力之间的关系式，它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。5. 体力是作用于物体体积内的力，以单位体积力来度量，体力分量的量纲为l -2mt -2；面力是作用于物体表面上力，以单位表面面积上的力度量，面力的量纲为l -1mt -2；体力和面力符号的规定为以沿坐标轴正向为正，属外力；应力是作用于截面单位面积的力，属内力，应力的量纲为l -1 mt -2，应力符号的规定为：正面正向、负面负向为正，反之为负。6. 小孔口应力集中现象中有两个特点： 一是 孔附近的应力高度集中，即孔附近的应力远大于远处的应力，或远大于无孔时的应力。二是应力集中的局部性，由于孔口存在而引起的应力扰动范围主要集中在距孔边 1.5 倍孔口尺寸的范围内。4.弹性力学中，正面是指外法向方向沿坐标轴正向的面，负面是指外法向方向沿坐标轴负向的面。5.利用有限单元法求解弹性力学问题时，简单来说包含结构离散化、单元分析、整体分析三个主要步骤。八 绘图题（共10 分，每小题5 分）分别绘出图3-1 六面体上下左右四个面的正的应力分量和图3-2 极坐标下扇面正的应力分量。图 3-1图 3-2九 简答题（ 24 分）4. （ 8 分）弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？ 答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分）1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此， 建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。2） 完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律， 从而使物理方程成为线性的方程。3） 均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量e 和泊松比等）就不随位置坐标而变化。4） 各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。5） 小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。5. （ 8 分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？ 答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量x ,y ,xy 存在，且仅为x,y 的函数。平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy 平面， 外力沿 z 轴无变化，只有平面应变分量x ,y ,xy 存在，且仅为x,y 的函数。6. （ 8 分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数求解，应力函数必须满足哪些条件？答：（ 1）相容方程：40lxmyx sf x（ 2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，ss）：mylxy sf y在ss 上（ 3）若为多连体，还须满足位移单值条件。十 问答题 (36)4. （ 12 分）试列出图5-1 的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚1 ）解：在主要边界yh 2 上，应精确满足下列边界条件：图 5-1y yh 2qx l ，yx yh 20 ；y yh 20 ，yx yh 2q1在次要边界x0 上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚1 时，h 2h 2h 2h 2xx 0 dyfn ，h 2x x 0ydym ，xydyfs0xh 2在次要边界xl 上，有位移边界条件：u x l0 ， v x l0 。这两个位移边界条件可以改用三个积分的应力边界条件代替：h 2h 2ql 2qlhh 2qlh 2xx 0 dyfnq1l ，h 2x x 0 ydymfsl6，2h 2xy x0 dyfs25. （ 10 分）试考察应力函数cxy3 ， c0 ，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图 5-2 所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。图 5-24443解：（ 1）相容条件：将cxy 代入相容方程2x 42x2 y 240 ，显然满足。y（ 2）应力分量表达式：x26cxy ，yy0 ，xy3cy2（ 3）边界条件：在主要边界yh上，即上下边，面力为2y yh 23chx ，xy y3 ch2h 24在次要边界x0, xl 上，面力的主失和主