相似三角形常见模型(总结材料)

.第一部分相似三角形模型分析一、相似三角形判定的基本模型认识（一） a 字型、反a 字型（斜a字型）aaddee;.bc（二） 8 字型、反8 字型aob（平行）abc（不平行）bjcdcd（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型aaddbcc（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：adc二、相似三角形判定的变化模型旋转型： 由 a字型旋转得到。8 字型拓展aaefd bcge bc共享性一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例 1：如图，梯形abcd中， ad bc，对角线ac、bd交于点 o， be cd交 ca延长线于e求证：oc 2oa oe 例 2：已知：如图，abc中，点 e在中线 ad上,debabc b求证：（ 1） db 2deda ； （ 2）dcedac deac例 3：已知：如图，等腰abc中， ab ac， ad bc于 d， cgab， bg分别交 ad、ac于 e、f求证：be 2efeg 相关练习：1、如图，已知ad为 abc的角平分线， ef为 ad的垂直平分线求证：fd 2fbfc 2、已知： ad是 rt abc中 a 的平分线，c=90， ef是 ad的垂直平分线交ad于 m， ef、bc的延长线交于一点n。求证： (1) ame nmd;(2)nd2 =nc nb3、已知：如图，在abc中， acb=90， cd ab于 d， e是 ac上一点， cf be于 f。求证： ebdf=ae db4. 在abc 中， ab=ac，高 ad与be交于 h， efbc ，垂足为 f，延长 ad到g，使 dg=ef，m是ah的中点。求证：gbm90amehbdfc5（本题满分14 分，第（ 1）小题满分4 分，第（ 2）、（ 3）小题满分各g5 分）已知：如图，在rt abc中， c=90， bc=2，ac=4， p 是斜边 ab上 的一个动点， pd ab，交边 ac于点 d（点 d与点 a、c都不重合） ，e 是射b线 dc上一点，且 epd=a设 a、p 两点的距离为x， bep的面积为yp（ 1）求证： ae=2pe；（ 2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（ 3）当 bep与 abc相似时，求bep的面积adec（第 25 题图）.双垂型1、如图，在abc中， a=60， bd、ce分别是 ac、ab上的高求证：（ 1） abd ace；（2） ade abc；(3)bc=2edaed2、如图，已知锐角 abc，ad、ce分别是 bc、ab边上的高， abc和 bde的面积分别是27 和 3，de=62 ，求：点 b 到直线 ac的距离。bcaebdc共享型相似三角形1、 abc是等边三角形,d、b、 c、e 在一条直线上, dae=120 ，已知bd=1，ce=3， , 求等边三角形的边长.adbce2、已知：如图，在rt abc中， ab=ac， dae=45求证：（ 1） abe acd；（ 2） bc 22becd a;.一线三等角型相似三角形bdec aef例 1：如图，等边abc中，边长为6， d是 bc上动点， edf=60（ 1）求证： bde cfd（ 2）当 bd=1， fc=3 时，求 be;.例 2：（ 1）在abc 中， abac5 ， bc8 ，点 p 、 q 分别在射线cb 、 ac 上（点 p 不与点 c 、点 b 重合），且保持apqabc .若点 p 在线段 cb 上（如图），且 bp6 ，求线段 cq 的长；若 bpx ， cqy ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；aqb pcab备用图ac bc备用图（ 2）正方形abcd 的边长为 5 （如下图） ，点 p 、 q 分别在直线 cb 、 dc 上（点 p 不与点 c 、点 b 重合），且保持apq90. 当 cq1 时，求出线段bp 的长 .a dadadb cbcbc例 3：已知在梯形abcd中， ad bc，ad bc，且 ad 5， ab dc2（ 1）如图 8， p为 ad上的一点，满足bpc a求证； abp dpc求 ap的长apdbc（ 2）如果点 p 在 ad边上移动（点p 与点 a、d不重合），且满足 bpe a，pe交直线 bc于点 e，同时交直线dc于点 q，那么当点 q在线段 dc的延长线上时，设ap x， cq y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；当 ce 1 时，写出ap的长adadbcbc例 4：如图，在梯形abcd 中， ad bc ，abcdbc6 ， ad3 点 m 为边 bc 的中点，以m 为顶点作emfb ，射线 me 交腰 ab 于点 e ，射线 mf 交腰 cd 于点 f ，联结 ef （ 1）求证：mef bem ；（ 2）若 bem 是以 bm 为腰的等腰三角形，求ef 的长；（ 3）若 efcd ，求 be的长相关练习：1、如图，在abc 中， abac8 ， bc10 ， d 是 bc 边上的一个动点，点e 在 ac 边上，且adec (1) 求证： abd dce；a(2) 如果 bdx， aey ，求 y 与 x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；(3) 当点 d 是 bc 的中点时，试说明ade是什么三角形，并说明理由ebdc2、如图，已知在abc中， ab=ac=6，bc=5， d是 ab 上一点， bd=2， e 是 bc上一动点，联结de，并作.defb ，射线 ef交线段 ac于 f（ 1）求证： dbe ecf；（ 2）当 f 是线段 ac中点时，求线段be的长；（ 3）联结 df，如果 def与 dbe相似，求fc的长afdbec3、已知在梯形abcd中， ad bc， ad bc，且bc=6 ， ab=dc=4，点 e是 ab的中点（ 1）如图， p 为 bc上的一点，且bp=2求证： bep cpd；（ 2）如果点p 在 bc边上移动（点p 与点 b、c 不重合），且满足 epf= c， pf交直线 cd于点 f，同时交直线ad于点 m，那么当点 f 在线段 cd的延长线上时，设bp= x，df= y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；当 sdmf9sbep4时，求 bp的长adebpc（ 第25题adebc（备用图）4、如图， 已知边长为3 的等边abc ，点 f 在边 bc 上， cf1 ，点 e 是射线 ba 上一动点， 以线段 ef为边向右侧作等边efg ，直线eg, fg 交直线 ac 于点m , n ，（ 1）写出图中与bef 相似的三角形；（ 2）证明其中一对三角形相似；（ 3）设bex, mny ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（ 4）若 ae1 ，试求gmn 的面积备用图;.一线三直角型相似三角形例 1、已知矩形 abcd中，cd=2，ad=3，点 p 是 ad上的一个动点， 且和点 a,d 不重合， 过点 p 作 pecp ，交边 ab 于点 e, 设 pdx, aey ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围。a pdeb c例 2、在abc 中，c 90 o , ac4, bc3, o 是 ab 上的一点，且aoab2 ，点 p 是 ac上的一个动5点， pqop 交线段 bc于点 q，（不与点b,c 重合），设 apx, cqy ，试求 y 关于 x 的函数关系，并写出定义域。cqpboa【练习 1】在直角abc 中，c交射线 ac于点 f90 o , ab5, tan b3 ，点 d是 bc的中点， 点 e 是 ab边上的动点，dfde4（ 1）、求 ac和 bc的长（ 2）、当ef / bc 时，求 be 的长。（ 3）、连结 ef, 当def 和abc相似时，求be 的长。aaefcdbefcdb【练习 2】;.在直角三角形abc中，c90 o , abbc , d是 ab边上的一点， e 是在 ac边上的一个动点， （与 a,c 不重合）， dfde , df与射线 bc相交于点f.(1) 、当点 d 是边 ab的中点时，求证：dedfadde(2) 、当m ，求的值dbdf（ 3）、当 acadbc6,db1，设 ae2x, bfy , 求 y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域ccffeeabdabd【 练习 4】 如图，在abc中，c90， ac6 ， tan b3 ， d 是 bc 边的中点，e 为 ab 边上4的一个动点，作def90 ， ef 交射线 bc 于点 f 设 bex ，bed 的面积为y （ 1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（ 2）如果以 b 、 e 、 f 为顶点的三角形与bed 相似，求bed 的面积 .【 练习5 】、（ 2015 年黄浦一模25） 如图 , 在梯形 abcd 中，ab cd ,ab2,