高中函数图像大全【免费】

指数函数概念：一般地，函数y=ax （ a 0，且 a1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是r 。注意：指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。指数函数的定义仅是形式定义。指数函数的图像与性质：规律： 1.当两个指数函数中的a 互为倒数时，两个函数关于y 轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。2. 当 a 1 时，底数越大，图像上升的越快，在y 轴的右侧，图像越靠近y 轴；精品资料当 0 a 1 时，底数越小，图像下降的越快，在y 轴的左侧，图像越靠近y 轴。在 y 轴右边 “底大图高 ”；在 y 轴左边 “底大图低 ”。3. 四字口诀：“大增小减 ”。 即：当 a 1 时，图像在r 上是增函数；当0 a 1 时，图像在 r 上是减函数。4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。比较幂式大小的方法：1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中 含有字母 时要注意 分类讨论 ；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量 进行比较；4. 对多个数进行比较，可用0 或 1 作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在 f(x) 后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。对数函数1. 对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域 (- ，+)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a 0， a1) 的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a 0 ， a 1).因为指数函数y=a x 的定义域为 (- ，+)，值域为 (0 ， +)，所以对数函数y=log ax 的定义域为 (0 ， +)，值域为 (-，+).2. 对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x .据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a 0，a1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2 x， y=log 10x， y=log 10x,y=log1 x,y=log1 x 的草图210由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a 0， a1) 的图像的特征和性质.见下表 .a 1a 1图象(1)x 0性质(2) 当 x=1 时， y=0(3) 当 x 1 时， y 0(3) 当 x 1 时， y 00 x1 时， y 00 x1 时， y 0(4) 在(0 ， +)上是增函数(4) 在(0 ， +)上是减函数补设 y 1=log a xy 2=log bx 其中a 1 ， b 1( 或 0 a 10 b1)充当 x 1 时“底大图低 ”即若a b 则 y1 y2性当 0 x1 时“底大图高 ”即若a b，则 y 1 y 2质比较对数大小的常用方法有：(1) 若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.(2) 若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论 .(3) 若底数不同、真数相同，则可用换底公式 化为同底再进行比较.(4) 若底数、真数都不相同，则常借助1、0 、-1 等中间量进行比较 .3. 指数函数与对数函数对比名称指数函数对数函数一般形式y=a x(a 0 ，a 1)y=logax(a 0 ， a1)定义域值域(-，+)(0 ， +)(0 ， +)(-，+ )当 a 1 时，当 a 1 时函1( x0)a x1( x0)数1( x0)log a x0( x1)0( x1)0( x1)值当 0a 1 时，当 0 a 1 时，变1( x0)1( x0)logax0(x1)1( x0)0(x1)a x化情况0( x1)单调性当 a 1 时， ax 是增函数； 当 0a 1 时， ax 是减函数 .当 a 1 时， log ax 是增函数； 当 0 a 1 时， log a x 是减函数 .图像y=a x 的图像与y=log ax 的图像 关于直线 y=x 对称.幂函数幂函数的图像与性质幂函数yxn 随着 n 的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法熟练掌握yxn ，当 n2 ,1,1 , 1 , 3 的图像和性质，列表如下23从中可以归纳出以下结论： 它们都过点1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限11a,1, 2 , 3 时，幂函数图像过原点且在0 ,上是增函数32a1 ,1,2 时，幂函数图像不过原点且在0 ,上是减函数2任何两个幂函数最多有三个公共点yxn奇函数偶函数非奇非偶函数yyyn1oxoxoxyyy0n1oxoxoxyyyn0oxoxoxyxyx2yx31yx 2yx 1定义域rrrx | x0x | x0奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限的增减性在 第 象 限单调递增在 第 象 限单调递增在 第 象 限单调递增在 第 象 限单调递增在 第 象 限单调递减幂函数 yx （ xr，是常数） 的图像 在第一象限的分布规律 是：所有幂函数yx（ xr，是常数）的图精品资料像都过点(1,1) ；精品资料11,2,3,当2时函数 yx的图像都过原点(0,0) ；当1时， yx的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如 c2 ）；当2,3 时， yx的的图像在第一象限是“ 凹型”曲线（如c1 ）1当2时， yx的的图像在第一象限是“ 凸型”曲线（如c3 ）当1时， yx的的图像不过原点当0 时，幂函数yx有下列性质：(0,0)，且在第一象限是“ 下滑”曲线（如c4 ）（1） ）图象都通过点(0,0), (1,1) ；（2） ）在第一象限内都是增函数；（3） ）在第一象限内，1时，图象是向下凸的；01时，图象是向上凸的；（4） ）在第一象限内，过点(1,1) 后，图象向右上方无限伸展。当0 时，幂函数yx有下列性质：（1） ）图象都通过点(1,1) ；（2） ）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；（3） ）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近；向右无限地与x 轴无限地接近；（4） ）在第一象限内，过点(1,1) 后，越大，图象下落的速度越快。无论取任何实数，幂函数yx的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。函数 yaxb x对号函数（ a0,b0 ）叫做对号函数，因其在（0 ， +）的图象似符号“”而bbb得名， 利用对号函数的图象及均值不等式，当 x0 时， ax2（当且仅当ax即xaxxb 时取等号），由此可得函数y aaxb x（ a0,b0,x r+）的性质 :b当 x时，函数 y aaxb （ a0,b0,x r +）有最小值 2 xb，特别地， 当 a=b=1a时函数有最小值2 。函数 ybax（ a0,b0 ）在区间（ 0 ，xb）上是减函数，在区间ab（， +）上是增函数。abb因为函数yr-）的性质：ax（ a0,b0 ）是奇函数，所以可得函数xyax（ a0,b0,x xb当 x时，函数 y abax（xa0,b0,x r- ）有最大值 - 2b，特别地，当 a=b=1a时函数有最大值-2 。函数 yaxb x（ a0,b0 ）在区间（ -，-b）上是增函数，在区间a（-b ， 0 ）上是减函a奇函数和偶函数（ 1 ）如果对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x 值，都有 f(x)= (x) 那么就称f(x) 为奇函数如果对于函数f(x) 的定义域内的任意一个x 值，都有 f( x)=f(x) ，那么就称 f(x) 为偶函数 说明：(1) 由奇函数、 偶函数的定义可知，只有当 f(x) 的定义域是关于原点成对称的若干区间时， 才有可能是奇(2) 判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f(x)是不易的为了便于判断有时可采取如下办法：计算f(x)+f( x)，视其结果而说明是否是奇函数用这个方法判断此函数较为方便：f(x)(3) 判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x 值，当 x 0 时，显然有f( x)= f(x) ，但当 x=0 时， f( x)=f(x)=1 ，f(x) 为非奇非偶函数(4) 奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形(5) 函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证例如果函数f(x) 是奇函数，并且在(0 ， +)上是增函数，试判断在(，0) 上的增减性解 设 x1， x2 (，0) ，且 x1 x2 0则有 x1 x2 0 ，f(x) 在(0， +)上是增函数，偶函数图象对称性的拓广与应用我们知道，如果对于函数yf(x) 定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数 yf(x) 就叫做偶函数偶函数的图象关于y 轴对称，反之亦真由此可拓广如下：如果存在常数 a， b，对于函数 yf(x) 定义域内任意一个x，a+x， b-x 仍在(a+b-x ， f(x)，而 f(ab x)fa(bx) fb(bx) f(x)，对称点 p(a+b-x ，f( x1) f(x2)又f(x) 是奇函数， f(x)= f(x) 对任意 x 成立，= f(x1) f(x2)f(x1) f(x2) f