高三数学应用题专题复习

.高三数学应用题专题复习类型一：函数应用题;.1.1 以分式函数为载体的函数应用题例 1. 工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x(万件 )间的关系为：p10xc,6x（c 为常2xc3数，且 0c6） . 已知每生产1 件合格产品盈利3 元，每出现1 件次品亏损1.5 元.（ 1）将日盈利额y(万元 )表示为日产量x(万件 )的函数；（ 2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？( 注：次品率次品数产品总数 100%)【解】（ 1）若 0xc ，则 yx3( x)6x3x2 6x9 x3x，2(6x)若 xc ，则 y3( x2 x)332 x0，233(9 xy2(602 x2 )x)0xcxc（ 2）当 0xc ，则 y 3(924x)( 6x)( 6(9xx) 22x2 )(1) )3( x(63)( x9)x) 2若 0c3，则 y 0 ，函数在0, c上为增函数，xc, ymax3(9c2(62c 2 )c)若 3c6 ，在(0,3) 上为增函数，在(3,c)上为减函数，当x3 时，ymaxf (3)9.2综上，若 0c3，则当日产量为c 万件时，日盈利额最大；若3c6 ，则当日产量为3 万件时，日盈利额最大.例 2. 近年来，某企业每年消耗电费约24 万元 , 为了节能减排, 决定安装一个可使用15 年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位 : 万元 )与太阳能电池板的面积(单位 : 平方米 )成正比 , 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费c （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位 :平方米 ) 之间的函数关系是c(x)k20x(x1000, k为常数 ). 记 f 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15 年共将消耗的电费之和.（ 1）试解释c (0) 的实际意义 , 并建立 f 关于 x的函数关系式；（ 2）当 x 为多少平方米时,f 取得最小值？最小值是多少万元？【解】（ 1） c (0) 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0 时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费，由24001800c (0)k 10024 ,得 k2400 ，所以 f150.5x0.5 x, x0 ；20 x100x5（ 2）因为 f18000.5( x5)0.25218000.50.2559.75 .x5当且仅当 18000.5( x5) ， x55时取等号，所以当x 为 55 平方米时 , f 取得最小值为59.75 万元.x51.2 以分段函数为载体的函数应用题例 3. 在等边abc 中, ab =6cm，长为 1cm 的线段 de 两端点d, e 都在边 ab 上，且由点a向点 b运动（运动前点d 与点 a重合），fdab ,点 f 在边 ac 或边 bc 上；geab ,点 g 在边 ac 或边 bc上，设 adxcm.（ 1）若adf 面积为 s1f (x) , 由de , eg, gf , fd 围成的平面图形面积为s2g( x) ，分别求出函数f (x), g (x) 的表达式；（ 2）若四边形degf 为矩形时xx0 ，求当xx0 时, 设 f ( x)f ( x)g( x)，求函数f (x) 的取值范围.解：（ 1） 当 0x3 时， f 在边 ac 上，fdx tan 6003 x ，32f (x)x ；2当 3x5 时， f 在边 bc 上，fd(6x) tan 6003(6x) ,f (x)3 x(62x) ，f ( x)3 x2 ,023 x(62x3x),3x5 当 0x2时， f、g 都在边 ac 上，fdx tan60 03 x ，eg3( x1)g(x)3x3(x1) 13x3 ；当 2x223 时， f 在边 ac 上， g 在边 bc 上, fd3x ,eg3(5x)53g (x)；2当 3x5 时， f、g 都在边 bc 上, fd3(6x) ,eg3(5x)g (x)3 x1132g (x)3x53 , 223 ,0x22x3.3 x1123,3x555x259（ 2） x0 当x3 时，f ( x),f ( x)225452x26 xx25 x33 当 3x5时，f ( x),f (x)40f ( x)的取值范围为2 x112 x115 ,518 ,1045例 4. 如图，长方体物体e 在雨中沿面p （面积为 s ）的垂直方向作匀速移动，速度为v（ v 0），雨速沿 e 移动方向的分速度为c cr ， e 移动时单位时间 内的淋雨量包括两部分：（ 1） p 或 p 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与vc s 成正比，比例系数为1；（ 2）其他面的淋雨量之和，其值为 12. 记 y 为 e 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d100 ，面积 s33s=.22（ 1）写出 y 的表达式；（ 2）设 0 v 10,0 c 5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少.1.3 以二次函数为载体的函数应用题例 5. 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动如图，助跑道 abc 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为 1 米的平台上 e 处，飞行的轨迹是一段抛物线 cde （抛物线 cde 与抛物线 abc 在同一平面内） ， d 为这段抛物线的最高点现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x 轴在地面上，助跑道一端点a(0 ，4)，另一端点c(3 ，1)，点b(2 ， 0)，单位：米（ 1）求助跑道所在的抛物线方程；（ 2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点c 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4 米到 6 米之间（包括4 米和 6 米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点c 与点 e 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值）y4adcebo2x【解】（ 1）设助跑道所在的抛物线方程为f ( x)a x2b0 xc0 ，0c04,依题意：4a02b0c00,解得， a01 ， b04 ， c04 ，9a03b0c01,助跑道所在的抛物线方程为f ( x)x24 x4 （ 2）设飞行轨迹所在抛物线为g( x)ax2bxc （ a0），依题意：f (3)g(3),9a得3bc1,b解得26a,f (3)g (3),6ab2,2c9a5,3a1 21 g ( x)ax(26a)x9 a5a(x)1，aa令 g ( x)1 得， ( x3a1)21 ， a0 ， x3a1123，aa 2aaa当 x3a1 时， g ( x)有最大值为 11，则运动员的飞行距离d3232 ，aaaa飞行过程中距离平台最大高度h1111，依题意，426 ，得 213 ，aaaa即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2 米到 3 米之间例 6. 某单位有员工1000 名，平均每人每年创造利润10 万元为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x n)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10a3x 500万元 (a 0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%（ 1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（ 2）在（ 1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？【解】（1）由题意，得10(1000 x)(1 0.2x %)10100，0 即多调整 500 名员工从事第三产业x2 500x0，又 x 0，所以 0 x 500 即最（ 2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10a3x 500x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1000x) 11500x万元，则 103xax 10(1000 500x) 11500x，所以ax3x2 500 10002x x12 x2x2 ，所以 ax 1000 x，即 a 2x 1000 1 恒成立500500500x因为2x 1000 22x1000 4，当且仅当2 x 1000 ，即 x 500 时等号成立，所以a5，又500x500x500xa 0，所以 0 a5所以 a 的取值范围为(0， 5 类型二：三角测量应用题2.1 以三角函数的定义为载体的三角应用题例 7. 如图， 两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮o1 的半径为2r （ r 为常数），小飞轮o2 的半径为 r ，o1o24r .在大飞轮的边缘上有两个点a ， b ， 满足bo1 a，在小飞轮的边缘上有点c 设大飞3轮逆时针 旋转一圈，传动开始时，点b ， c 在水平直线o1o2 上 m（ 1）求点 a到达最高点时a ， c 间的距离；（ 2）求点 b ， c 在传动过程中高度差的最大值.yao 1b xo2c【解】（ 1）以o1 为坐标系的原点，o1o2 所在直线为x 轴，如图所示建立直角坐标系当点a 到达最高点(r ,时，点 a 绕 o1 转过，则点 c 绕 o2 转过 此时 a（ 0， 2r），c93 r ) ac69232(r )(2 rr )3222523 r 22（ 2）由题意，设大飞轮转过的角度为，则小飞轮转过的角度为2，其中0,2 此时 b（ 2r cos， 2r sin）， c（ 4rr cos2， r sin 2）记点 b, c 高度差为 d ，则 d| 2 r sinr sin 2| 即 d2r| sinsincos| 设f ()sinsincos，0,2 ，则f ()(1cos)(2cos1) 令 f ()(1cos)(2cos1)0 ，得cos1 或 1则2 ， 4 ， 0 或 2列表：(0, 2 )233(2 , 4 )2032 3334 3( 4 ,2 ) 3f ()+00+f ()0极大值 f ( 2 )极小值 f( 4 )033当 2 时， f()取得极大值为33 ；当 4 时， f()取得极小值为3 3 34答：点 b， c 在传动中高度差的最大值34d3 3 r max22.2 以三角函数的图象为载体的三角应用题例 8. 如图， 摩天轮的半径为40m ，点 o距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每 3min 转一圈，摩天轮上的点p 的起始位置在最低点处.（ 1）试确定在时刻t(min)时点 p 距离地面的高度；（ 2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点p 距离地面超过70m ？（ 3）求证：不论t 为何值，f (t )f (t1)f (t2) 是定值 .2.3 以解三角形为载体的三角应用题（例9 不含分式结构的解三角形问题；例10 和例 11 含有分式结构的解三角形问题，方法略有不同）例 9. 在路边安装路灯，灯柱ab 与地面垂直，灯杆bc 与灯柱 ab 所在平面与道路垂直，且abc120，路灯 c 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知acd60，路宽ad24 米，设灯柱高abh （米），acb（ 3045 ） .（ 1）求灯柱的高h （用表示）；c（ 2）若灯杆bc 与灯柱 ab 所用材料相同，记此用料长度和为 s ，求 s 关于的函数表达式，并求出s 的最小值bad)得到正方形abcd根据例 10. 如图， 将边长为3 的正方形abcd 绕中心 o 顺时针旋转(0 2平面几何知识，有以下两个结论： afe ； 对任意(02) ， eal， eaf， gbf， gbh， ich ， ic j， kdj ， kd l 均是全等三角形（ 1）设 ae x，将 x 表示为的函数；aaefbglbdohkdjic c（ 2）试确定，使正方形abcd 与正方形abcd 重叠部分面积最小，并求最小面积【解】（ 1）在 rt eaf 中，因为 afe ，ae x，aaefb所以 ef xsin， af xtanxglbdo由题意 ae ae x，bf afxtan，xhkdjic)所以 ab ae ef bf x sin tan 3c所以 x3sin1 sin cos，(0， 2（ 2） s aef 11x?ae?af ?x?22tanx ( 2tan2t 2 13sin1 sin cos2 cos) ?2sin9sincos22(1 sincos )令 t sin cos ，则 sincos 2 3因为(0， 2)，所以 4(4， 4 )，所以 t2sin( 4)(1 ，2 s aef 9(t2 1)2 92(192)(1)4(1 t)4t 142 1正方形 abcd与正方形abcd 重叠部分面积s s 正方形 a b c d 4s29 9 (1) 18(2 1) aef2 1当 t2，即4时等号成立例 11. 如图所示，直立在地面上的两根钢管ab 和 cd ， ab103 m， cd33 m，现用钢丝绳对这两根钢管进行加固，有两种方法：（ 1）如图（ 1）设两根钢管相距1m，在 ab 上取一点e，以 c 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的f 处,形成一个直线型的加固（图中虚线所示）则 be 多长时钢丝绳最短？（ 2）如图（ 2）设两根钢管相距33 m，在 ab 上取一点e，以 c 为支点将钢丝绳拉直并固定在地面的f 处，再将钢丝绳依次固定在d 处、 b 处和 e 处，形成一个三角形型的加固（图中虚线所示）则 be 多长时钢丝绳最短？aaececfdbfdb图 1图 2【解】（ 1）设钢丝绳长为ym，cfd，则331ytan3 31（其中 00， tan07 ）， y33 cossincossincos2sin 2cos2当 tan3 时，即 be43 时，ymin8（ 2）设钢丝绳长为ym，cfd，则y33331cossin sincos（其中 00 ， tan123330333 ）9 分y3 3cossin1sincos3333cossinsin2cos2sincos令 y0 得 sincos，当时，即 be463 时ymin632212 分例 12. 海岸线 man ，a2, 现用长为 l 的拦网围成一养殖场，其中bma,cna （ 1）若 bcl , 求养殖场面积最大值；（ 2）若 b 、 c 为定点，bcl ，在折线mbcn 内选点 d ，使 bddcl ，求四边形养殖场dbac的最大面积；（ 3）若 (2)中 b、c 可选择，求四边形养殖场acdb 面积的最大值.2【解】（ 1）设abx, acy, x0, y0. l 2x2y22xycos22xy2xycos2，l 2l 222xy2， s1 xy sin 21l2sincoslcos，22cos 24sin所以， abc面积的最大值为224sin4sinl 2 cos，当且仅当xy 时取到4sin（ 2）设abm, acn(m， n 为定值 )bc2c (定值 ) ， 由 db dcl2a，a = 12l，知点 d 在以 b 、c 为焦点的椭圆上，s abc1 mnsin22为定值 只需dbc 面积最大 ,需此时点 d 到 bc 的距离最大 , 即d 必为椭圆短轴顶点ba2c2lc2 , s面积的最大值为12c bclc2 ，224bcd24因此 ,四边形 acdb 面积的最大值为1 m nsin 2l 2cc2 24（ 3）先确定点b、c，使 bcl . 由(2) 知dbc 为等腰三角形时，四边形acdb面积最大 .确定 bcd 的形状，使b、 c 分别在 am 、an 上滑动，且bc 保持定值，由(1)知 ab=ac时四边形acdb 面积最大 . a cd abd ， cad= bad=，且 cd=bd=l. 来 s= 2s acd22 1ac2ladsin.由(1) 的同样方法知，ad=ac时，三角形acd 面积最大，最大值为1l4.22tan2所以，四边形acdb 面积最大值为l 2.8tan22.4 以立体几何为载体的三角应用题例 13. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803立方米，且l 2r假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3 千元，半球形部分每平方米建造费用为c( c3) 千元，设该容器的建造费用为y 千元（ 1）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（ 2）求该容器的建造费用最小时的r 【解】（ i）设容器的容积为v，v4r 3由题意知vr 2l4r 3, 又v80, 故 l3804 r4 ( 20r )33r 23r 233r 224202由于 l2r ，因此 0r2.所以建造费用y2 rl3 4r c2r(23rr )34r c,因此 y4 (c2) r 2160,0r2.r（ 2）由（ 1）得y 8(c2)r1608(c2) (r 320),0r2.由于 c3, 所以c20, 当 r 3r 2r 2200时, r3c2c220.c2令 320m, 则 mc20 ，所以 y 8(c2r2)22( rm)( rrmm ).（ 1）当 0m2即c9 时，易得 rm 是函数 y 的极小值点，也是最小值点。29（ 2）当 m2 即 3c时，当 r 2(0, 2)时, y 0, 函数单调递减，所以 r=2 是函数 y 的最小值点，综上所述，当3c92时，建造费用最小时r2;9当 c时，建造费用最小时r320.2c2例 14. 某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为o ，半径为r（米）的球形灯泡该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托ea, eb, ec, ed所在圆的圆心都是o 、半径都是r（米）、圆弧的圆心角都是（弧度）；灯杆 ef 垂直于地面，杆顶e 到地面的距离为h（米），且 hr ；灯脚 fa1，fb 1， fc1， fd 1 是正四棱锥fa1b1c1d1 的四条侧棱，正方形a1b1c1d 1 的外接圆半径为r（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为（弧度）已知灯杆、 灯脚造价都是每米a（元），灯托造价是每米a3（元），其中 r, h,a 都为常数设该灯架的总造价为y （元）（ 1）求 y 关于的函数关系式；（ 2）当取何值时，y 取得最小值？【解】（ 1 ）延长ef 与地面交于o1 ，由题意：a1fo1，且ofo1rtan， 从 而efhrtan， a1fr，sindcy4r a( hr4 r)a . yra ( 44cos)ha ，a3tansin3sinb（ 2）设f ()2244cos，3sine令 f ()4sin312cos 3sin(12cos)(72cos)=20.3sin3当(0,) 时，3y 0 ；(,) 时，32y 0 ，设（ 0,) ，其中2tan0rf1 ，0.h4（ 0,) ，时， y 最小 .323d 1c1答：当时，灯架造价取得最小值.3a1b1例 15. 要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度和圆柱 底面半径相等，都为r 米.市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米a 元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4 倍和 2 倍.设圆锥母线和底面所成角为（弧度），总费用为y （元） .（ 1）写出的取值范围；（ 2）将 y 表示成的函数关系式；（ 3）当为何值时，总费用y 最小 ?【解】设圆锥的高为h1 米，母线长为l 米,圆柱的高为h2 米；圆柱的侧面用料单价为每平方米2 a 元，圆锥的侧面用料单价为每平方米4 a 元.（ 1）(0,).42（ 2）圆锥的侧面用料费用为4arl ,圆柱的侧面费用为2arh2 ,圆柱的地面费用为2ar 2 ,则 y4arl2arh22ar= 2ar (2lh2r ) = 2ar 2r cos2(rh1 )r ,= 2ar2r cos2(rr tan)r = 2ar 2(2costan)3 .（ 3）设f ()2costan,其中(0,). 则 f ()42sin1 cos2，当时，6f ()2sin10;cos2当(0,) 时，6f ()2sin1 cos0; 当(,) 时，64f ()2sin120;cos2则当时，6f () 取得最小值，则当时，费用y 最小 .62.5 以追击问题为载体的三角应用题例 16. 如图， ab 是沿太湖南北方向道路, p 为太湖中观光岛屿,q 为停车场，pq5.2km 某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场q,已知游船以 13km/h 的速度沿方位角的方向行驶，sin5游船13离开观光岛屿3 分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点q 与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道m 处，然后乘出租汽车到点q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车 )假设游客甲乘小船行驶的方位角是，出租汽车的速度为66km/h （ 1）设sin4，问小船的速度为多少km/h 时，游客甲才能和游船同时到达点q；5（ 2）设小船速度为10km/h ，请你替该游客设计小船行驶的方位角， 当角余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达q 【解】 (1) 如图，作 pnab, n 为垂足sin54， sin a，135在rtpnq中，pnpq sin5. 5(km),qnpq cos= 5.2121322134.8 (km) 在 rt pnm 中， mnpntan a21.5 (km)43设游船从p 到q所用时间为t1 h，游客甲从p 经 m 到 q 所用时间为t2 h，小船的速度为v1km/h ，则26tpq512( h), t2pmmq2.53.351（ h）13135v166v1662v120由已知得：t1t ，511225， v21202v11202053 小船的速度为25 km/h 时，游客甲才能和游船同时到达q 3（ 2）在 rt pmn 中， pmpnsina2sin a(km), mnpntan a2cos a sin a(km) qmqnmn4.82cos a(km) tpmqm14cosa1335cos a4sin a210665sin a5533sin a165sina55 t15sina(335cos a )cos a533cos a ,22165sin a165sina 令 t0 得：cosa5 当 cosa 335 时， t330 ；当cosa5 时， t0 33 cosa 在(0,) 上是减函数，2 当方位角 a 满足cosa5 时， t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达q 33例 17. 已知岛 a 南偏东 30 方向，距岛a 20 海里的 b 处有一缉私艇，一艘走私船正从a 处以 30 海里每小时的航速沿正东方向匀速行驶. 假设缉私艇沿直线方向以v 海里每小时的航速匀速行驶，经过 t 小时截住该走私船.（ 1）为保证缉私艇在30 分钟内（含30 分钟）截住该走私船，试确定缉私艇航行速度的最小值；（ 2）是否存在 v ，使得缉私艇以v 海里每小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向截住该走私船？ 若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解】（ 1）最小速度为1013海里每小时； （ 2） v153 ,302.6 以米勒问题为载体的三角应用题例 18. 如图，有一壁画，最高点a 处离地面4m ，最低点b 处离地面2m .若从离地高1.5m 的 c 处观赏它，则离墙多远时，视角最大？例 19. 某兴趣小组测量电视塔ae 的高度 h（单位： m），如示意图， 垂直放置的标杆bc 的高度 h=4m ， 仰角 abe= ， ade= （ 1）该小组已经测得一组、的值， tan =1.2，4tan =1.2，0请据此算出h 的值；（ 2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位： m），使 与 之差较大，可以提高测量精确度若电视塔的实际高度为125m ，试问 d 为多少时， -最大？类型三：数列应用题例 20. 在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009 根 .现将它们堆放在一起.（ 1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1 根) ，并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢？（ 2）若堆成纵断面为等腰梯形( 每一层的根数比上一层根数多1 根),且不少于七层，（ ）共有几种不同的方案?（ ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？【解】（ 1）当纵断面为正三角形时，设共堆放n 层,则从上到下每层圆钢根数是以1 为首项、 1 为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于n 根，从而由2009n(n1)2n*且 nn得，当 n62 时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56 根圆钢；n(n1)22009（ 2）（ ）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n 层,则从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、 1 为公差的等1差数列，从而nxn( n1)22009 ，即n(2 xn1)2200927741 ，因 n1与 n 的奇偶性不同，所以2xn1 与 n 的奇偶性也不同，且n2xn1，从而由上述等式得：n72xn1或574n142xn1或287n412xn1n49或982xn1，共有 4 种方案可供选择.82（ ）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若 n41 ，则 x29 ，说明最上层有29 根圆钢，最下层有69 根圆钢，此时如图所示，两腰之长为400 cm，上下底之长为280 cm和 680cm，从而梯形之高为2003cm，而 20031010400 ，所以符合条件；若 n49 ，则 x17 ，说明最上层有17 根圆钢， 最下层有65 根圆钢， 此时如图所示， 两腰之长为480 cm，上下底之长为160 cm 和 640cm，从而梯形之高为2403cm，显然大于4m，不合条件，舍去；综上所述，选择堆放41 层这个方案，最能节省堆放场地.高考例 21. 某啤酒厂为适应市场需要，2011 年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011 年啤酒生产量为16000 吨，葡萄酒生产量1000 吨该厂计划从2012 年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%， 葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：（ 1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？（ 2）从 2011 年起（包括2011 年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的 2 ？（生产总量是指各年年产量之和）3【解】设从2011 年起，该车第n 年啤酒和葡萄酒年生产量分别为an 吨和 bn 吨，经过 n 年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为an 吨和bn 吨（ 1）设第 n 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为dn 吨，根据题意，得na16000(150%) n132000=2n， bn1000(1100%) n1 = 5002n ，（ nn* ），则 dab = 32000 + 5002 n = 500(642n )5002642 n8000 ，nnnn22n2n当且仅当642n ，即 n2n3 时取等号，故 2013年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为8000吨bn（ 2）依题意，2 ，得 b2 a ，nnanbn31 nn160001( 2 ) 2n1100012n an11232000n， bn21000(21) ，122n1n 1000(2 n1)320002 ， 2n2n10 ， 26426 ， n6 答：从第6 年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的2 3.类型四：线性规划应用题例 22.某公司计划2010 年在甲、乙两个电视台做广告总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元 /分钟和 200 元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3 万元和 0.2 万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和 y 分钟，总收益为z 元，由题意得500 xxy200 y30090000 ，x0, y0xy300即5x x2 y0, y900 ，0目标函数为z3000 x2000 y ，作出二元一次不等式所表示的平面区域，即可行域如 图 ， 作 直 线l : 3 0 0 0x2 0 0y0， 即3x2y0平移直线l ，从图中可知，当直线l 过 m 点时，目标函数z 取得最大值联立方程xy300，解得 x100， y200 点 m 的坐标为 (100，200) 5x2 y900.zmax3000 x2000 y700000（元）答：该公司在甲电视台做100 分钟广告，在乙电视台做200 分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元类型五：解析几何应用题例 23. 某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”其中ac, bd 是过抛物线焦点f 且互相垂直的两条