新知杯初中数学竞赛模拟试题(含详解).doc

新 知 杯 模 拟 试 题一、 填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1. 对于任意实数，定义=，已知，则实数的值是_。2. 在三角形ABC中，是大于1的整数，则 。3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。4. 已知关于的方程有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。5. 如图，直角三角形中，为斜边上一动点。,，则线段长的最小值为 。6. 设是方程的两个根，是方程的两个根，则的值为 。7. 在平面直角坐标系中有两点，,函数的图像与线段延长线相交（交点不包括），则实数的取值范围是 。 8. 方程的所有整数解有 组。9. 如图，四边形中,。设延长线交于，则_. 10. 如图，在直角梯形中，,点在上，使得是正三角形，则与的面积和是_。二、（本题15分）如图，中，,点在上，使得 并且求的长。 三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数：，其中数字可以是0。四、（本题15分）正整数满足以下条件：任意个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的。五、（本题15分）若两个实数使得都是有理数，称数对是和谐的。 试找出一对无理数，使得是和谐的； 证明：若是和谐的，且是不等于1的有理数，则都是有理数； 证明：若是和谐的，且是有理数，则都是有理数。新知杯模拟试题（参考答案）一、填空题（第1-5小题每题8分，第6-10题每题10分，共90分）1. 对于任意实数，定义=，已知，则实数的值是_。【答案】4或【解析】，所以或2. 在三角形ABC中，是大于1的整数，则 。【答案】0【解析1】若，即矛盾若，则，即矛盾，【解析2】是大于1的整数，所以，此时，即，即，即3. 一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。【答案】50，94【解析】设两边长分别为和，则，所以周长为或4. 已知关于的方程有实根，并且所有实根的乘积为-2，则所有实根的平方和为 。【答案】5【解析】原方程可化为，即5. 如图，直角三角形中，为斜边上一动点。,，则线段长的最小值为 。【答案】【解析】设，则，所以，当，时，最小。6. 设是方程的两个根，是方程的两个根，则的值为 。【答案】2772【解析】，7. 在平面直角坐标系中有两点，,函数的图像与线段延长线相交（交点不包括），则实数的取值范围是 。 【答案】【解析】，8. 方程的所有整数解有 组。【答案】72【解析】正整数解6+3+3+6=18组，非正整数解183=54组，共72组9. 如图，四边形中,。设延长线交于，则_.bedding n. 寝具；铺盖【答案】21charming adj. 迷人的；有魅力的【解析】作，易知，四边形为平行四边形，是等边三角形，即为等腰三角形，,10. 如图，在直角梯形中，,点在上，使得是正三角形，则与的面积和是_。【答案】fathom n. 长度单位（六英尺）【解析】将图补成正方形，易知，令，则，由勾股定理得，解得，二、（本题15分）如图，中，,点在上，使得 并且求的长。 【答案】。function n. 作用；功能；职能【解析】设，则作的平分线交于点，BE，则,所以，由角平分线定理可知，因此解得。三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数：，其中数字可以是0。【答案】【解析】设，则由题意得，即，因为为整数，且在100内11的倍数只有9个，经验证，时，时，解得，因此，四、（本题15分）正整数满足以下条件：任意个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的。【解析】由于这14个合数都小于2009且两两互质，因此。而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数的最小素因子则必有一个素数不失一般性，设由于是合数的最小素因子，因此矛盾。所以，任意15个大于1且不超过2009的互质整数中至少有一个素数。综上所述，n最小是15。nearby adv. 在附近五、（本题15分）若两个实数使得都是有理数，称数对是和谐的。 pensioner n. 领取养老金者试找出一对无理数，使得是和谐的； pearl n. 珍珠证明：若是和谐的，且是不等于1的有理数，则都是有理数； 证明：若是和谐的，且是有理数，则都是有理数。display vt. 展示；陈列；显露【解析】 不难验证是和谐的。 Foster 福斯特（姓或男名）由已知是有理数，是有理数，所以，解得是有理