重庆市高考数学试卷(文科)附详细解析

2015 年重庆市高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（ 5 分）（ 2015 ?重庆）已知集合a=1 ，2， 3 ， b=1 ， 3 ，则 ab= （）a 充要条件b充分而不必要条件c必要而不充分条件d既不充分也不必要条件a 3， 1b （ 3， 1）c（ ，d（ ， 3）3 1 ， +）（ 1，+）的夹角为（）a b cd8（ 5 分）（ 2015 ?重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（）a b cd9（ 5 分）（ 2015 ?重庆）设双曲线=1（a 0， b 0）的右焦点是f，左、右顶点分别是 a 1，a 2，过 f 做 a 1a 2 的垂线与双曲线交于b ，c 两点，若a1b a 2c，则该双曲线的渐近线的斜率为（）a b c1d10（ 5 分）（ 2015?重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则 m 的值为（）a 3b 1cd3二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.11（5 分）（ 2015?重庆）复数（1+2i ） i 的实部为12（ 5 分）（ 2015?重庆）若点p（ 1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点p 处的切线方程为13（ 5 分）（2015?重庆）设 abc 的内角 a， b，c 的对边分别为a，b，c，且 a=2，cosc=， 3sina=2sinb ，则 c=14（ 5 分）（ 2015?重庆）设a，b 0， a+b=5，则的最大值为215（ 5 分）（ 2015?重庆）在区间0 ， 5 上随机地选择一个数p，则方程x +2px+3p 2=0 有两个负根的概率为三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（ 12 分）（ 2015 ?重庆）已知等差数列a n 满足 a3=2，前 3 项和 s3=（）求 an 的通项公式；（）设等比数列b n 满足 b1=a1， b4=a15，求 b n 前 n 项和 tn17（13 分）（ 2015?重庆）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y（千亿元）567810（）求y 关于 t 的回归方程=t+（）用所求回归方程预测该地区2015 年（ t=6）的人民币储蓄存款 附：回归方程=t+中218（ 13 分）（ 2015 ?重庆）已知函数f（ x）=sin2x cos x（）求f（ x）的最小周期和最小值；（）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象当x时，求 g（ x）的值域19（ 12 分）（ 2015 ?重庆）已知函数f（ x）3=ax +x2（ ar）在 x=处取得极值（）确定a 的值；，讨论（）若g（ x） =f （ x） exg（x）的单调性2015 年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（ 5 分）（ 2015 ?重庆）已知集合a=1 ，2， 3 ， b=1 ， 3 ，则 ab= （）a 充要条件b充分而不必要条件c必要而不充分条件d既不充分也不必要条件a 3， 1b （ 3， 1）c（ ，d（ ， 3）3 1 ， +）（ 1，+）5（ 5 分）（ 2015 ?重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）b cda 考由三视图求面积、体积 点：专空间位置关系与距离题：分利用三视图判断直观图的形状，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可 析：解解：由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱，底面半径为1，高为 2，左侧与一个底答：面半径为1，高为 1 的半圆锥组成的组合体，几何体的体积为：=故选： b点本题考查三视图的作法，组合体的体积的求法，考查计算能力 评：6（ 5 分）（ 2015 ?重庆）若tan=， tan（ +） =，则 tan=（）a b cd考两角和与差的正切函数 点：专三角函数的求值题：分由条件利用查两角差的正切公式，求得tan=tan（ +） 的值析：解解： tan=， tan（ +） =，则 tan=tan（ +）答： =，故选： a 点本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题 评：7（5 分）（ 2015?重庆） 已知非零向量满足 |=4|，且（）则的夹角为（）a b cd考数量积表示两个向量的夹角 点：专平面向量及应用题： 分析：由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值解答：解：由已知非零向量满足 |=4|，且（），设两个非零向量的夹角为，所以?（）=0，即 2=0，所以 cos=， 0 ， ， 所以；故 选 c点本题考查了向量垂直的性质运用以及利用向量的数量积求向量的夹角；熟练运用公式评：是关键8（ 5 分）（ 2015 ?重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（）a b cd考循环结构 点：专图表型；算法和程序框图 题：分模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s 的值， 当 k=8 时不满足条件k 8， 析：退出循环，输出s 的值为解解：模拟执行程序框图，可得答：s=0， k=0满足条件k 8， k=2 ， s=满足条件k 8， k=4 ， s=+满足条件k 8， k=6 ， s=+满足条件k 8， k=8 ， s=+=不满足条件k 8，退出循环，输出s的值为故选： d点本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题 评：9（ 5 分）（ 2015 ?重庆）设双曲线=1（a 0， b 0）的右焦点是f，左、右顶点分别是 a 1，a 2，过 f 做 a 1a 2 的垂线与双曲线交于b ，c 两点，若a1b a 2c，则该双曲线的渐近线的斜率为（）a b c1d考双曲线的简单性质 点：专计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程题： 分析：求得 a 1（ a， 0）， a 2（ a， 0），b （ c，），c（ c，），利用a1b a 2c，可得，求出 a=b，即可得出双曲线的渐近线的斜率解解：由题意，a1（ a， 0）， a 2（ a， 0），b （ c，），c（ c，），答： a 1b a 2c， a=b，双曲线的渐近线的斜率为1故选： c点本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算， 考查学生分析解决问题的能力，比较基础评：10（ 5 分）（ 2015?重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则 m 的值为（）a 3b 1cd3考二元一次不等式（组）与平面区域 点：专开放型；不等式的解法及应用 题：分作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进析：行求解即可解解：作出不等式组对应的平面区域如图：答：若表示的平面区域为三角形，由，得，即 c（ 2， 0），则 c（ 2， 0）在直线xy+2m=0 的下方， 即 2+2m 0，则 m 1，则 c（ 2， 0）， f（ 0， 1），由，解得，即 a （ 1 m，1+m ），由，解得，即 b（，）|af|=1+m 1=m ，则三角形abc 的面积 s=m2+（） =，即 m2+m 2=0 ，解得 m=1 或 m= 2（舍）， 故选： b点本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标， 结合三角形的面积公评：式是解决本题的关键二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.11（5 分）（ 2015?重庆）复数（1+2i ） i 的实部为 2考复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 点：专数系的扩充和复数 题：=1分利用复数的运算法则化简为a+bi 的形式，然后找出实部；注意i 2析：解：（ 1+2i ）i=i+2i2解= 2+i ，所以此复数的实部为2；答：故答案为：22点本题考查了复数的运算以及复数的认识；注意i = 1属于基础题评：12（ 5 分）（ 2015?重庆）若点p（ 1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点p 处的切线方程为x+2y 5=0考圆的切线方程；直线与圆的位置关系 点：专直线与圆 题：分由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜析：式求出该圆在点p 处的切线的方程 解答：解：由题意可得op 和切线垂直，故切线的斜率为=，故切线的方程为y 2=（ x1），即x+2y 5=0 ，故答案为： x+2y 5=0 点本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程， 评：属于基础题13（ 5 分）（2015?重庆）设 abc 的内角 a， b，c 的对边分别为a，b，c，且 a=2，cosc=， 3sina=2sinb ，则 c=4考正弦定理的应用 点：专解三角形题：分由 3sina=2sinb即正弦定理可得3a=2b，由 a=2，即可求得b，利用余弦定理结合已析：知即可得解解解 ： 3sina=2sinb ，答：由正弦定理可得：3a=2b， a=2，可解得b=3， 又 cosc=，222由余弦定理可得：c =a +b 2abcosc=4+9 2=16 ，解得： c=4 故答案为： 4点本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题评：14（ 5 分）（ 2015?重庆）设a，b 0， a+b=5，则的最大值为3考函数最值的应用 点：专计算题；函数的性质及应用题：分利用柯西不等式，即可求出的最大值 析：解解：由题意， （） 2（1+1 ）（ a+1+b+3 ） =18，答：的最大值为3，故答案为： 3点本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键 评：15（ 5 分）（ 2015?重庆）在区间0 ， 5 上随机地选择一个数p，则方程x2+2px+3p 2=0 有两个负根的概率为考几何概型 点：专开放型；概率与统计 题：分由一元二次方程根的分布可得p 的不等式组， 解不等式组， 由长度之比可得所求概率 析：解答：2解：方程x +2px+3p 2=0 有两个负根等价于，解关于p 的不等式组可得 p1 或 p2，所求概率p=故答案为：点本题考查几何概型，涉及一元二次方程根的分布，属基础题 评：三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（ 12 分）（ 2015 ?重庆）已知等差数列a n 满足 a3=2，前 3 项和 s3=（）求 an 的通项公式；（）设等比数列b n 满足 b1=a1， b4=a15，求 b n 前 n 项和 tn考等差数列与等比数列的综合 点：专等差数列与等比数列 题：分（）设等差数列a n 的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数析：列的通项公式得答案；（）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得b n 前 n 项 和 tn解解：（）设等差数列an 的公差为d，则由已知条件得： 答：，解得代入等差数列的通项公式得：；年份20102011201220132014时间代号t12345储蓄存款y（千亿元）567810由题意，=3，=7.2 ，=55 532=10 ，=120 537.2=12 ，=1.2，=7.2 1.23=3.6，y 关于 t 的回归方程=1.2t+3.6 （） t=6 时，=1.2 6+3.6=10.8 （千亿元）点本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于中档题 评：218（ 13 分）（ 2015 ?重庆）已知函数f（ x）=sin2x cos x（）求f（ x）的最小周期和最小值；（）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象当x时，求 g（ x）的值域考三角函数中的恒等变换应用；函数y=asin （ x+ ）的图象变换 点：专三角函数的图像与性质 题：分（）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（ x）=sin（ 2x）， 析：从而可求最小周期和最小值；（） 由函数 y=asin（ x+ ）的图象变换可得g（ x）=sin（x）， 由 x ， 时，可得x的范围，即可求得g（ x）的值域解解：（） f（x ）=sin2x cos2x=sin2x （ 1+cos2x）=sin（ 2x），答： f（ x）的最小周期t=，最小值为：1=（）由条件可知：g（ x） =sin （x）当 x ， 时，有 x，从而 sin（ x）的值域为 ， 1，那么sin（x）的值域为： ， ，故 g（ x）在区间 ， 上的值域是 ，点本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=asin （ x+ ）的图象变换，属评：于基本知识的考查19（ 12 分）（ 2015 ?重庆）已知函数f（ x）3=ax +x2（ ar）在 x=处取得极值（）确定a 的值；，讨论（）若g（ x） =f （ x） exg（x）的单调性考函数在某点取得极值的条件 点：专综合题；导数的综合应用题：分（）求导数，利用f（ x）3+x 2ar）在 x=处取得极值，可得f （）析：=0，即可确定a 的值；=ax（+x（）由（）得g（ x）=（x 32xe），利用导数的正负可得g（ x）的单调性2（解解：（）对f（ x）求导得f （ x） =3ax +2x+x答： f（ x） =ax32ar）在 x=处取得极值， f（）=0， 3a?+2?（） =0， a=；32x（）由（）得g（ x）=（x +x ） e ， g（ x） =（x 2x32exx+2x） e+（x +x ）=x（x+1 ）（ x+4 ） e ，令 g（ x） =0，解得 x=0 ， x= 1 或 x= 4，当 x 4 时， g（ x） 0，故 g（ x）为减函数；当 4x 1 时， g（ x） 0，故 g（ x）为增函数；当 1x 0 时， g（ x） 0，故 g（ x）为减函数；当 x 0 时， g（ x） 0，故 g（x）为增函数；综上知g（x ）在（ ， 4）和（ 1，0）内为减函数，在（4， 1）和（ 0，+） 内为增函数点本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方评：程的转化思想，属于中档题20（ 12 分）（ 2015?重庆） 如题图， 三棱锥 p abc 中，平面 pac平面 abc ， abc=，点 d 、e 在线段 ac 上，且 ad=de=ec=2 ，pd=pc=4 ，点 f 在线段 ab 上，且 ef bc （）证明：ab 平面 pfe（）若四棱锥pdfbc 的体积为7，求线段bc 的长考直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 点：专开放型；空间位置关系与距离 题：分（）由等腰三角形的性质可证peac ，可证 pe ab 又 ef bc ，可证 ab ef， 析：从而 ab 与平面 pef 内两条相交直线pe， ef 都垂直，可证ab 平面 pef（）设bc=x ，可求 ab ， sabc，由 ef bc 可得 afe abc ，求得safe =sabc ， 由 ad=ae ，可求 safd，从而求得四边形dfbc 的面积， 由（）知 pe 为四棱锥p dfbc 的高， 求得 pe，由体积 v pdfbc=sdfbc?pe=7，即可解得线段bc 的长解解：（）如图，由 de=ec ，pd=pc 知，e 为等腰 pdc 中 dc 边的中点， 故 pe ac ，答：又平面 pac 平面 abc ，平面 pac 平面 abc=ac ， pe? 平面 pac， pe ac ，所以 pe平面 abc ，从而 pe ab 因为 abc=， ef bc ，故 ab ef，从而 ab 与平面 pef 内两条相交直线pe， ef 都垂直， 所以 ab 平面 pef（）设bc=x ，则在直角 abc 中， ab=， 从而 sabc=ab ?bc=x，由 ef bc 知，得 afe abc ，2故=（） =，即 safe=sabc ，由 ad=ae ， s afd=sabc=s abc=x，从而四边形dfbc 的面积为： sdfbc =sabc safd =xx=x由（）知，pe平面 abc ，所以 pe 为四棱锥p dfbc 的高 在直角 pec 中， pe=2，故体积vp dfbc=sdfbc?pe=x=7 ，故得 x 436x 2+243=0，解得2x =9 或2x =27，由于x 0， 可 得 x=3 或 x=3所以： bc=3 或 bc=3点本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空评：间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题21（ 13 分）（ 2015 ?重庆）如题图，椭