考研数学真题(数三)

2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题 :1 8 小题，每小题4 分，共 32 分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .1. 设xk 是数列，下列命题中不正确的是（）(a) 若 lim xka，则limx2 klimx2 k 1a.kkk(b) 若 limx2klimx2 k 1a ，则 lim xkakkk(c) 若 lim xka ，则limx3klimx2k 1akkk(d) 若 limx3klimx3 k 1a，则 lim xkakkk2. 设函数f (x) 在 (,) 连续， 其二阶导函数f( x) 的图形如右图所示，则曲线yf (x) 的拐点个数为（）（ a） 0 (b)1 (c)2 (d)33. 设 d2( x, y) x22y2x, x2y2 y，函数f ( x, y) d 上连续，则df ( x, y)dxdy =（）2cos2sin( a)4 df (r cos, r sin)rdr2 df ( rcos , rsin)rdr00042sin2cos( b)4 df (r cos,r sin)rdr2 df ( rcos , rsin)rdr0004(c) 21 xdxf ( x, y)dy011 x(d) )212x xdxf ( x, y)dy0x4. 下列级数中发散的是（）n11(1)n1n!nn（ a ）n 1 3(b)n 1ln(1) nn(c)n 2ln n(d)n 1 n11115.设矩阵 a12a,bd, 若集合(1,2)，则线性方程组axb 有无穷多解的充分14a 2d 2必要条件为（）( a)a, d(b ) a,d(c )a, d( d )a, d2226. 设二次型f (x1, x2 , x3 ) 在正交变换xpy 下的标准形为2 y1y2y3，其中 p(e1, e2 , e3 ) ，若 q(e1 ,e3, e2 ), 则 ( x1 , x2 , x3 ) 在正交变换xqy 下的标准形为（）222222222222（ a ） 2 y1y2y3(b)2 y1y2y3(c) 2 y1y2y3(d)2 y1y2y37. 设 a,b 为任意两个随机事件，则（）（ a ）p( ab)p( a) p(b)(b)p( ab)p( a) p(b)(c)p( ab)p( a)p(b)2(d)p( ab)p(a)p(b)28.设总体xb(m,) ，x1 , x2, xn 为来自该总体的简单随机样本，x 为样本均值，则nie( xx )2（）i 1（ a ） (m1) n(1)(b)m(n1) (1)(c)(m1)(n1)(1)(d)mn (1)二、填空题：9 14 小题, 每小题 4 分, 共 24 分. 请将答案写在答题纸指定位置上 .ln(cos x)9 lim2=xxx210 设函数f ( x)连续，( x)xf (t) ，若(1)1， (1)5 ，则0f (1)11 若函数 z =z( x, y) 由方程ex 2 y+3zxyz1 确定，则dz (0,0) =12 设函数yy( x) 是微分方程yy2 y0 的解，且在x =0 处y( x) 取得极值3，则y(x) =13 设 3 阶矩阵 a 的特征值为2， -2,1，ba2ae ,其中 e 为 3 阶单位矩阵，则行列式b =14 设二维随机变量( x , y) 服从正态分布n (1,0;1,1;0), 则 p( xyy0) =三、解答题：15 23 小题 , 共 94 分. 请将解答写在答题纸指定位置上 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10 分）设函数f (x)xln(1x)bxsin x, g( x)kx3 , 若f (x)与 g(x) 在 x0 时是等价无穷小，求a,b,k 的值。16、（本题满分10 分）计算二重积分x( xy) dxdy，其中 dd(x, y) x2y22, yx217、（本题满分10 分）为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设q 为该商品的需求量，p 为价格，mc 为边际成本， 为需求弹性（ 0）mc（ i ）证明定价模型为p11（ ii ）若该商品的成本函数为c(q)1600q 2 ，需求函数为q40p ，试由（ 1）中的定价模型确定此商品的价格。18、（本题满分10 分）设函数f (x) 在定义域i 上的导数大于零，若对任意的x0i ，曲线yf (x) 在点x0 ,f ( x0 )处的切线与直线xx0 及 x 轴所围成区域的面积恒为4，且f (0)2 ，求f (x)的表达式。19、（本题满分10 分）（ i ）设函数u( x)， v(x) 可导，利用导数定义证明u( x)v(x)u( x)v(x)u(x)v( x)（ ii ）设函数u1 (x), u2 (x), k , u* ( x) 可导，f ( x)u1 (x)u 2 (x)ku* ( x) ，写出f ( x)的求导公式。20（本题满分11 分）a10设矩阵 a1a1,且 a30 .01a（ i ）求 a 的值；（ ii ）若矩阵x 满足xxa2axaxa2e ,其中 e 为 3 阶单位矩阵，求x .21（本题满分11 分）023120设矩阵 a133，相似于矩阵b0b0 ，12a031（ i ）求 a,b 的值（ ii ）求可逆矩阵p，使22（本题满分11 分）p 1 ap 为对角矩阵。设随机变量x 的概率密度为f ( x)2 x ln 2, x0,0, x0对 x 进行独立重复的观测，直到第2 个大于 3 的观测值出现时停止，记y 为观测次数。（ 1）（ 2）求 y 的