正反比例函数及函数的综合

专题七正、反比例函数及函数的综合一、考点分析课程标准对正反比例函数的要求：1、理解正比例函数；2、结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式.3、能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解其性质（k0 时，图象的变化）4、能用反比例函数解决某些实际问题.函数的自身结构特点和它在数学中的地位决定了它不仅与数学其他知识有着密切的联系， 而且还有着极为广泛的应用因此， 它是联系数学知识间或数学与实际问题问的纽带和桥梁， 是中考数学试卷中不可或缺的重要内容其呈现方式灵活多变， 无论在填空题、 选择题，还是解答题中， 都有考查函数知识的内容， 特别在压轴题中，函数常常起着其他知识不可替代的作用关于正反比例函数每年中考都要涉及到，难度均在 0.8 以上， 属于给同学送分题目，只要同学们掌握好正反比函数的基本知识、基本性质和最基本的题目类型就可以应付自如，因此给同学们提出以下复习策略：打好“常规”基础,抓住“ 常规” 题型,适当拓宽 “新题”；强化在文字语言的描述中寻找数量关系的训练,注意图、表信息的提取、数形结合的运用；注重实际检验 .为了更好地方便同学们掌握正、反比例函数的图象和性质，现列表如下：函数正比例函数反比例函数y = k 或y = kx-1 或xy = k( k0) x精品资料表达式y=kx(k 0)(特殊的一次函数 )yy0xoxk0k0k0 ，图象经过一、三象限（ 1） k0 ，图象位于一、三象限k0 ，图象经过二、四象限k0 ， y 随 x 的增大而增大（ 2） k0 ，每个象限内y 随 x 的增大而增大k0 ，y 随 x 的增大而减小k0；二四象限， k0（2） ）看反比例函数图象：根据图象的位置定k 的符号：一、三象限k 0二、四象限k 0同时根据图象也可以确定函数的增减性图象是上升的， y 随 x 增大而增大；图象是下降的，y 随 x增大而减小 .对于反比例函数图象位于两个象限，应该强调在每个象限内.（ 2）已知点a(1, y), b(2, y),c(4,y ) 都在反比例函数yk (k0) 的图象上 ,123则 y1,y 2 ,y3 的大小关系 (从大到小 )为.点拨：做这类问题一般有两类方法：（1） ）图象法：画草图如右图，根据图象性质来具体判断；x-2-1abyy3 ocy14xy2（2） ） 赋值法：假定k=4（其他正值均可，这里取4 是为方便计算），则解析式已知，分别将 x=-1 ， -2 ，4 代入可求 y1,y 2 ,y 3 ，即得大小关系 .跟踪练习（1） ）若点（x ， y ）、（ x ， y ）和（ x ， y ）分别在反比例函数y2的图x112233象上，且x1x20x3 ，则下列判断中正确的是（）a. y1y2y3b. y3y1y2c. y2y3y1d. y3y2y1（2） ）对于反比例函数yk( k2x0 )，下列说法不正确的是a. 它的图象分布在第一、三象限b.点（ k ， k ）在它的图象上c.它的图象是中心对称图形d.y 随 x 的增大而增大k 2（3） ）已知k10k2 ，则函数yk1 x 和 y x的图象大致是（）yyyyoxoxoxoxabcd（4） ）已知反比例函数yk 的图象在第二、第四象限内，函数图象上有两点xa( 27 ，y1 )、b(5，y2)，则 y1 与 y2 的大小关系为（）.a、y1y2b、y1y2c、y1y2d、无法确定题型 3：正、反比例函数的解析式与它图象上的点6例 3：（ 1）若双曲线 y经过点 a（ m，-2m ），则 m 的值为 .x（ 2）正比例函数 y5x 的图象与反比例函数yk ( k x0) 的图象相交于点a（1，a ），则反比例函数解析式跟踪练习：（1） ）下列各点中，在反比例函数y2 图象上的是（）xa (2，1)b2，3 3c (2， 1)d (1，2)（2） ）反比例函数yk( k x0）的图象经过（ 2， 5）和（2 ， n ），求 n 的值；判断点b（ 42 ，2 ）是否在这个函数图象上，并说明理由（3） ）正比例函数yx 和反比例函数 y 22 的图象有个交点x题型 4反比例函数与三角形面积结合题型.例 4：（ 1）如图，正比例函数ykx (k0) 与反比例函数 y2 的图象相交于 a、xc 两点，过点 a 作 ab x 轴于点 b，连结 bc 则 abc 的面积等于（）a.1 b2c4d随k 的取值改变而改变y点拨：欲求 abc 的面积可将其分割成abo和 obcaoc两个三角形的面积和，我们先来研究abo 的问题.bx111sabo =ab ob=x ayak =1，由于a、c两点关222于原点对称，故纵坐标互为相反数，因此abo和 obc是同底等高的.sabo =1由以上分析可以看出， 过双曲线上任意一点p 分别作 x 轴、y 轴的垂线所构成的矩形面积等于定值k（ 2）如图，在反比例函数y2 （ x x0 ）的图象上，有点p1， p2， p3，p4，它们的横坐标依次为1，2，3，4分别过这些点作x 轴与 y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为s1，s2， s3 ，y则 s1s2s3精品资料y2p1xp2p3p4o1234x精品资料跟踪练习1、如图，反比例函数y5的图象与直线yxkx( k0) 相交yaob cx于 b两点， ac y 轴， bc x 轴，则 abc的面积等于个面积单位 .(第题图)2、如图， 直线 ykx2 ( k 0)与双曲线 yk 在第一x象限内的交点面积为 r，与 x 轴的交点为 p，与 y 轴的交点为q；作rm x 轴于点m，若opq 与prm 的面积是4：1，则 k3、（2008 年湖北省咸宁市） 两个反比例函数 yk 和 y1 在xx第一象限内的图象如图所示，点p 在 yk 的图象上，xpc x 轴于点 c，交 y1 的图象于点 a，pd y 轴于点xd，交 y1 的图象于点 b，当点 p 在 y xk 的图象上运x动时，以下结论：odb 与oca 的面积相等；四边形 paob 的面积不会发生变化；pa 与 pb 始终相等；当点 a 是 pc 的中点时，点 b 一定是 pd 的中点其中一定正确的是（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）4、如图，已知直线y标为 4 （1） ）求 k 的值；1 x与双曲线 y2k (k x0) 交于 a，b 两点，且点 a 的横坐（2） ）若双曲线yk (k x0) 上一点 c 的纵坐标为 8，求 aoc 的面积；（3） ）过原点 o 的另一条直线 l 交双曲线yk (k x0) 于 p， q 两点（ p 点在第一象限），若由点 a， b， p， q 为顶点组成的四边形面积为24 ，求点 py的坐标aoxb图 12题型 5函数综合问题函数是初中数学的核心内容， 也是重要的基础知识和重要的数学思想其地位和作用主要体现在如下两个方面：其一，它是所有与变化过程相关问题的最有 效的数学刻画与表示， 其应用极为广泛， 因此中考中的动态问题常常都用到函数关系；其二， 它是其他所有与数量关系相关问题的思想基础和知识基础，综观全国各地近几年的中考试题中，诸如众多的方程问题、 不等式问题、 几何图形中的几何量的关系问题， 特别是与运动相关的几何图形问题， 或隐或显地都以函数作为指引、依据和基础特别在压轴题中，常常都利用函数关系来解决 .考查函数综合问题基本上可以分为两类：（1） ）已有函数模型，直接利用函数图象和性质来解决；（2） ）需要根据题中等量关系重新建立函数模型 .例 5：如图 1 所示，直角梯形 oabc 的顶点 a、c 分别在 y 轴正半轴与 x 轴负半轴上.过点 b、c 作直线 l 将直线 l 平移，平移后的直线 l 与x 轴交于点 d，与 y 轴交于点 e（1） 将直线 l 向右平移， 设平移距离 cd 为t (t0)，直角梯形 oabc 被直线 l 扫过的面积（图中阴影部份） 为 s， s 关于 t 的函数图象如图2 所示， om 为线段， mn 为抛物线的一部分， nq 为射线， n 点横坐标为 4求梯形上底 ab 的长及直角梯形 oabc 的面积；当 2t4 时，求 s 关于 t 的函数解析式；（2） 在第（ 1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线 bc 重合），在直线 ab上是否存在点 p，使pde 为等腰直角三角形 ?若存在，请直接写出所有满足条件的点p 的坐标;若不存在，请说明理由点拨：动态问题是近几年来各地中考试题中出现得较多的一种题型这类集几何、代数知识于一体的综合题， 既能考查学生的创造性思维品质，又能体现学生的实际水平和应变能力其解题策略是“动”中求“静，”“一般”中见“特，殊抓”住要害，各个击破在实际问题或综合问题中， 一般首先是函数思想指导下确定或选择运用函数，然后建立函数， 最后根据函数性质解决相应的问题考察函数思想的同时也常常渗透分类讨论思想.如本题是否存在点p 使得pde 为等腰直角三角形， 并没有说明那条边是斜边，需要分类讨论，详见答案.解：（ 1） oaab284 ， oc24 ， s 梯形 oabc =12当 2t4时，直角梯形 oabc 被直线 l 扫过的面积 =直角梯形 oabc 面积直角三角开doe面积（ 2） 存在s1 21( 4 t2)2 ( 4t) 2tt 84p(12,4), p (4,4), p (8 ,4), p (4,4), p (8,4)123345下面提供参考解法二：以点 d 为直角顶点，作pp1x 轴在rtode 中，oe2od ， 设odb，oe2b .rtodertp1pd ，（图示阴影）b4，2b8 ，在上面二图中分别可得到p 点的生标为 p（ 12 ，4）、p（4，4）e 点在 0 点与 a 点之间不可能； 以点 e 为直角顶点同理在二图中分别可得p 点的坐标为 p（ 8 ，4）、p（ 8， 4）e 点在 0 点下3方不可能 . 以点 p 为直角顶点同理在二图中分别可得p 点的生标为 p（ 4，4）（与情形二重合舍去） 、p（ 4， 4），e 点在 a 点下方不可能 .综上可得 p 点的坐标共 5 个解，分别为 p（ 12 ，4）、p（ 4，4 ）、p（ 8 ，34）、p（ 8， 4）、p（4，4）跟踪练习：1、(08 河南)如图，直线 y4x4 和 x 轴、y 轴的交点分别为b、c，点 a 的3坐标是（ -2，0）（1） ）试说明abc 是等腰三角形；（2） ）动点 m 从 a 出发沿 x 轴向点 b 运动，同时动点n 从点 b 出发沿线段 bc向点 c 运动，运动的速度均为每秒1 个单位长度当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动设m 运动 t 秒时，mon 的面积为 s 求 s 与 t 的函数关系式； 设点 m 在线段 ob 上运动时，是否存在s=4 的情形？若存在，求出对应的 t 值；若不存在请说明理由；在运动过程中，当 mon 为直角三角形时，求t 的值ycaobx2、如图，正方形abcd 中，点 a、b 的坐标分别为（ 0，10），（8，4），点 c在第一象限动点p 在正方形abcd 的边上，从点a 出发沿 abcd 匀速运动，同时动点q 以相同速度在 x 轴上运动，当 p 点到 d 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒(1) 当 p 点在边 ab 上运动时，点q 的横坐标 x （长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点q 开始运动时的坐标及点p 运动速度；(2) 求正方形边长及顶点c 的坐标；(3) 在(1)中当 t 为何值时，opq 的面积最大，并求此时p 点的坐标yd精品资料cxap11变式： 如果点 p、q 保持原速度速度不变，当点 p 沿 abc d 匀速运动时， op 与 pq 能否相等， 若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由本章检测试题一、选择题（本大题共 5 个小题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填入后面的括号中）1、当 k 0, x 0 时，反比例函数yk 的图象在（）x1a.第一象限b.第二象限c. 第三象限d.第四象限2、在同一直角坐标平面内，如果直线和k 2 的关系一定是（）yk1x 与双曲线 yk2 没有交点，那么 k xa. k1 0b.k1 0， k 2 0c. k1 、k 2 同号d. k1 、 k 2 异号a3 已知 a0 ，则函数 y1= ax ， y2的图象大致是（）x精品资料4、a、c 是函数y1 的图象上的任意两点，过a 作 x 轴的垂线，垂足为b，过xc 作 y 轴的垂线，垂足为d，记 rt aob 的面积为 s1 ，rtcod的面积为 s2则（）a s 1 s2b s1k2k3bk3 k2 k1ck2k 3 k1dk3k1k2二、填空题（ 本大题共 4 个小题. 把答案填在题中横线上 ）6、点 p（1， 2）关于 x 轴对称的点在双曲线yk 的值为 .k上，则x7、如图，rt abo 的顶点 a 是双曲线 yk 与直线 yxmx（第 7 题）在第二象限的交点， ab 垂直3x 轴于 b，且 sabo ，2则反比例函数的解析式8、图中正比例函数的图象相交于a、b 两点，分别以 a、b两点为圆心，画与y 轴相切的两个圆，若点a 的坐标为（ 1， 2），则图中两个阴影面积的和 是 .9、如图，在平面直角坐标系中，函数ky（ x x0 ，常数 k0 ）的图象经过点a(1，2) ， b( m， n) ，（ m1），过点 b 作 y 轴的垂线，垂足为yc 若 abc的面积为 2，则点 b 的坐标为ca(1，2)b(m ，n)xo（第 9 题）三、解答题（ 本大题共 3 个小题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10 、如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数y= m 图象交于 a（ -2，1）， bx（ 1， n）两点（1） ）求反比例函数和一次函数的解析式；（2） ）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围（3） ）求aob 的面积.11 、已知：在矩形 aobc 中， ob4 ， oa3分别以 ob， oa所在直线为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系f 是边 bc 上的一个动点（不与 b， c重合），过 f 点的反比例函数 yk ( k x0) 的图象与 ac 边交于点 e （1） ）求证：aoe 与bof的面积相等；（2） ）记ss oefs ecf，求当 k 为何值时， s有最大值，最大值为多少？（3） ）请探索：是否存在这样的点f ，使得将cef沿 ef 对折后， c 点恰好落在ob 上？若存在，求出点f 的坐标；若不存在，请说明理由12 、如图，在平面直角坐标系中， 四边形 oabc 是矩形，点 b 的坐标为（ 4，3）平行于对角线 ac 的直线 m 从原点 o 出发，沿 x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形 oabc 的两边分别交于点 m、n，直线 m 运动的时间为 t（秒）(1) 点 a 的坐标是 ，点 c 的坐标是 ；(2) 当 t=秒时， mn=1 ac；2(3) 设omn 的面积为 s，求 s 与 t 的函数关精品资料系式；(4) 探求(3) 中得到的函数 s 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由跟踪练习 4、解：（1）点 a 横坐标为 4 ，当 x4 时， y2 点 a 的坐标为 (4，2) 点 a 是直线 y1 x 与双曲线 y2k (k0) 的交点，xk428 yncd（ 2）解法一：如图12 1，ao点c 在双曲线上，当y8 时， x1mx点c 的坐标为 (1，8) 图 121过点 a，c