椭圆难题(包括答案)

精品资料关于焦点三角形与焦点弦（1） 椭圆上一点 p 与两个焦点f1 ,f2 所构成的pf1 f2 称为焦点三角形。设f1 pf2，则有：b2 cos1 ，当 r1 r1r2r2 （即 p 为短轴顶点）时，最大，p此时 cosb2c2a21b2 sinf1f212pf f 的面积srrsinb2 tanc y1 2021cos2当 y0b2c2b （即 p 为短轴顶点）时，s最大，且pfpfb2smaxbcf1f112（2） 经过焦点f1 或f2 的椭圆的弦 ab ，称为焦点弦。a设a( x1,y1),b( x2 ,y2 ) ， ab 的中点为 m ( x0 ,y0 ) ，则弦长 ab2ae( xx )2a2exf1f2120（左焦点取“+”，右焦点取“-”）b2b2当abx 轴时， ab 最短，且ab mina2关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1 联立方程法： 联立直线和椭圆方程，消去y ，得到关于 x的一元二次方程，设交点坐标为( x1,y1 ),( x2 ,y2 )，则有0 ，以及 x1x2 ,x1x2 ，还可进一步求出y1y2 ,y1 y2 。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法22 点差法： 设交点坐标为( x1,y1 ),( x2 ,y2 ) 代入椭圆方程，并将两式相减，可得y1y2bx1x2，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法xxa2yy1212典例剖析1求椭圆的标准方程2【例 2】设椭圆 xa2y2b21ab0的左焦点为 f ，上顶点为 a ，过 a点作 af 的垂线分别交椭圆于 p ，交 x轴于 q ，且 ap（1） ）求椭圆的离心率。8 pq5（2） ）若过 a,f, q 三点的圆恰好与直线x3y30 相切，求椭圆的方程。b2【解】（1）由已知可得：f (c,0),a(0,b),q(,0)c88b25b由 appb可得： p(,) ，将 p 点坐标代入椭圆方程可得：513c13cb23a2c231。 即2e23e20eac2ac22（2）由（ 1）得： q(3c,0) ，圆心为 (c,0) ，半径 r2cc3于是有：22cc1(圆心到直线距离 )， 所以a2,b3 。22故椭圆方程为：xy143【例 4】已知椭圆的中心在原点o ，短轴长为 22 ，右准线交 x轴于点 a ，右焦点为 f ，且 of2 fa ，过点 a的直线 l 交椭圆于 p,q 两点（1） ）求椭圆的方程（2） ）若opoq0 ，求直线 l 的方程（ 4）求opq 的最大面积【解】（1） c2 ， b2 ， a6 ， a3,0x2y2椭圆方程为：162（2）设直线 l 的方程为： x3ky，且设p x1 ,y1,q x2 ,y2x2y 221联立62消去 x， 得： k3y26ky30x3ky则y1y26k,k 23y1 y23k 23186k 227从而求得： x1x2,k 23x1x2k 23由opoq0得 ： x1x2y1 y20，求得k5所以l 的方程为： x5 y30（4）由（ 1）得：0k 232232136 k1236k2s opqoay1y222222k3k3k3令k 232tt0， 则s opq363t92t当且仅当 t33即k 2，6 时，取“ ”所以opq 的最大面积为32椭圆的性质2【例 6】已知椭圆 xa2y2b21ab0的两个焦点分别为f1c,0， f2c,0，在椭圆上存在一点 p ，使得pf1pf20（1）求椭圆离心率 e的取值范围（ 2）当离心率 e取最小值时，pf1f2 的面积为 16，设 a,b是椭圆上两动点，若线段 ab 的垂直平分线恒过定点线 ab 的斜率 k 的取值范围。q(0,3) 。求椭圆的方程；求直【解】（1）设椭圆短轴的端点为b,由已知及椭圆的性质得：f1bf2f1pf2900所以obf2450 ，从而tanobf21，即 c1bc2b2 ，又 b2a2c2 ，2所以 c2a2c2 ，得： ca21 ，所以e22 ,12。（2） 当e取得最小值22时， p 在短轴顶点，所以 spf1f2bc16 ， 又 ca2 ,a2b2c 2 ，2x2y2故求得： a42,b4,c4 。 所以椭圆方程为：13216设 ax1 ,y1,bx2 ,y2，1设直线 ab的方程为 ykxb ， ab的垂直平分线方程为：yx3kykxb联立x2y消 y 去得：2112k 2x24kbx2b23203216则有16k 2 b24 12k 24kb2b23202b即 b216 12k 2又有: x1x212k 2从而 y1y212k 2所以 ab的中点为 m2kb,b。又 m 在 ab的垂直平分线上，22所以b12k12kb12k3 ，即b312k 212k 2k12k 2将代人求得：78k7866求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：（1）已知不等式；（ 2）椭圆上的点的横坐标满足ax0a ；（ 3）0 ；x 2y 2（4）椭圆内部的点x ,y满足001；00a2b2【例 7】椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，斜率为 1的直线过椭圆的右焦点f2 与椭圆精品资料交于 a,b 两点， oaob 与向量 a3,1共线。（1） 求椭圆的离心率 e（2） 设m 为椭圆上任一点，若omoaob,r ，求证：22 为定值22【解】（ 1）设椭圆方程为xy，设 a(x,y )， b( x,y ) ，221ab0 ab1122由已知：直线 ab 的方程为： yxc ，代入椭圆方程，得：(a2b2 )x2a2cxa2c2a2b20，2a2c由韦达定理得： x1x2a2b2，易知：oaob( x1x2 ,y1y2)因为oaob与向量 a3 ,1共线，所以3( y1y2 )( x1x2 )0 ，而 y1y2x1x22c，所以3(x1x22c)( x1x2 )0 ，即x1x23c ，于是有：22 a 2 c3 c22ab2a 23b 22又 b2a2c2 ，所以 ca22 ，故有： ec6 。3a3（2）由（ 1）得：a23b2 ， c2b ，所以椭圆方程为：x23b2y2b21 ，即x23y 23b2 ，直线 ab 的方程为： yx2b ，于是有：x1x 23 2 b2，x1x23b 24，从而 y1y 22 bb，。2y1y 24x0x1x2于是 x1x23y1y20。设m ( x0 ,y0 ) ，由已知：，2y0y1y2将 m 的坐标代入椭圆方程得：2x1x23y1y3b2 ，22222222即x13y1x23y22(x1x23y1y2 )3b ，于是有：2x23b22y23b23b2 。 故221为定值。【例 8】已知 a为椭圆2ab21ab0上一动点，弦ab,ac 分别过焦点f1 ,f2 ，当 acx轴时，恰有af13 af2 .（1） 椭圆的离心率（2） 设af11 f1 b ，af22 f2c ，判断12 是否为定值？【解】（1）当 acx 轴时， af2b2a ，从而af14b23b2 a依定义有 af1af22a ，所以a2aa23b2而b2a2c2 ，所以a22c2c ax2y 22即 e22，2。（2）由（ 1）可知椭圆方程为：2c2c21，f1c,0,f2c,0设 ax0 ,y0,b x1 ,y1,c x2 ,y2若 ab,ac 的斜率都存在，则直线ab的方程为yy0xc x0c22代入椭圆方程，并整理得：2cx03cy0c2 y 2cy 22cy0x0cyc2 y 20由韦达定理有 yy00012cx3c22x3c00由已知：1af1 f1 by03c y12 x0c；同理可得：23c2x0 c所以126若 ab,ac 有一个斜率不存在，不妨设acx轴则21,3c2c1c5所以126综上所述126 为定值。3. 最值问题x2y2【例 11】已知椭圆c :1， ab 是垂直于 x轴的弦，直线 x 434交x轴于点 n ， f为椭圆 c 的右焦点，直线af 与bn 交于点 m（1） 证明：点 m 在椭圆 c 上（2） 求amn 面积的最大值m2n2【解】（ 1）由已知 f1, 0,n4,0。设 am,n，则bm,nn0且1， 43af 与bn 的方程分别为：af : ynx1m1bn : ynx4m4联立两直线的方程求得：x5m8y3n即m5m8 ,3n2m52m5222m52m5m25m因为2m83n52m53(5m8)24(3n) 223(5m8)2363 1424312(2m5)12(2m5)12(2 m12(2 m5) 25) 21， 所以点 m 在椭圆 c 上（2）设直线 am 的方程为 x1ky （过焦点）且ax1,y1,mx2,y2x2y2联立4313k24y26ky90x1ky则由：y1y26k,3k24y1 y293k 242所以yyyy4 y y12k211212123k 24118k2118所以 s amnfny1y22123k113k 21k21令h(t)3t1tt1，函数h(t) 递增，所以当 t1时，h(t )取得最小值 4 ，故当 k0 时， s取得最大值 189amn42x2y2【例 14 】已知椭圆 c :431的左，右焦点分别为f1,f2 ，过f1 的直线与椭圆交于a,b两点（1） 求af2b 的面积的最大值（2） 当af2b 的面积最大值时，求tanf1af2 的值【解】（1）由已知得： f11, 0 ,f21, 0设直线 ab的方程为 x1ky ，且设ax1 ,y1,bx2 ,y2x联立x21ky y213k24y26ky90则有：43y1y26k,3k24y1 y293k 24由已知可得： s1 f fyyyy2yy4 y yaf2 b12121221212226k3612k 2112k 21123k243k 243k43k2113k 211k 21令 g(t)3t1tt1 易证函数在1,上递增（ *），2所以当 t1时，g(t) 取得最小值 4 ，故当k0时， 3k211k 21取得最小值 4 ， 故s af b 的最大值为 3 。2（2）当 s af b 最大值时，k0 ，从而af13 ， 而2f1 f22 所以tanf1af2f1f24af134直线与椭圆的位置关系x2【例 16】已知 f ,f 是椭圆 c :y21的左，右焦点，直线l 与椭圆相切。12（1）分别过f1,4f2 作切线 l 的垂线，垂足分别为m，n ，求f1mf2 n 的值（3）设直线 l 与 x轴， y 轴分别交于两点a,b ，求 ab 的最小值。【解】（1）设直线 l 的方程为 ykxm，由已知 :f1 (3 ,0) ，f2 (3,0) 。所以f1m3km；f2 n3km。1k 21k 2于是 f1mf2 n3km3km3k 2m2。21k 21k 21kykxm联立x2，消去 y，的：(14k 2 ) x28kmx4m240 。y 214因为直线 l 与椭圆相切，所以222228km4(14k)(4 m4)0m4k1。3k 2(4k 21)k 21所以f1 mf2 n221为定值。（2）易知： am,0 k1， b(0,k1km) 。所以ab2mm2m211(4k 21)11kk 2k 24k 215453 。当且仅当k 24k 21， 即 k k 22 时取等号。2所以ab min3。x2y2【例 17】已知椭圆c :1，过点 p940，3作直线 l 与椭圆顺次交于a,b 两点（ a在p,b 之间）。（ 1）求 papb的取值范围；（2）是否存在这样的直线l ，使得以弦 ab 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求l 的方程，若不存在，说明理由。【解】（1） 方法一：（联立方程法）当直线l 的斜率存在时，设直线的方程为ykx3且设 ax1,y1,bx2 ,y2。ykx3联立x2y， 消去 y ，并整理得：219k 24x254kx450942则有54k4 9k 24450 ， 求得：k259又有 xx54kx x45k129k 24129k 24ap设01pb，则有 x1x2，即x1x22从，中消去x ,x 可得：1324112549k 22而k 25 ， 所以1136 。 而0, 1，故求得： 119455）当直线l 的斜率不存在时，15ap综上所述，pb的取值范围是1 , 15方法二：（点差法）设ax1,y1,bx2 ,y2pa，01pb则有：papb ， 所以 x12x2 ，y1y233，即 ax2,y2332x2y2331(1)于是有94x 2y2221(2)2942(1)(2)得： 61y 291421 ，即y1356由已知，2y22 ，所以213521565而0, 1， 所以115（ 2）假设满足条件的直线存在，设ax1,y1,bx2,y2，则 x1x2y1 y20由（ 1）可知： xx54kx x45k129k24129k 243636k 22从而求得：y1y2kx13 kx239k 24于是有：453636k0k3满足2k 259故满足条件的直线 l 存在，且直线方程为：y3 x3 或 y 23 x32x2y2【例 19】（2010 江苏）已知椭圆c :1的左，右焦点为95f1,f2 ，左，右顶点为 a,b ，过点tt，m的直线ta,tb 分别交椭圆于点mx1，y1,nx2，y2y10,y20（ 1）设动点 p ，满足2pf22pb4 ，求点 p 的轨迹方程2（ 2）当 x1 =2，x = 1 时，求 t 点的坐标（3）设t39 ，求证：直线 mn 过x轴上的定点【解】（1）由题意知 : f (2 ,0),a(3 , 0) ， 设p( x ,y) ，则( x2)2y2( x3)2y24 ， 化简整理得 :x92（2） ） 把 x2 ,x1 代人椭圆方程 ,分别求出 :m2 ,5,n1,20，123339直线 am :y1 (x3)3 ;直线bn :y5 (x3)6、联立 ,得： t9,1077（3） ）由已知 :t (9 ,mm) ，3(m280)40直线ta : y(x3) 与椭圆联立，得：12mm280,m280m3( m220)20直线tb : y(x3) 与椭圆联立，得： n2,6m20m220402020m280m2203(m220)直线 mn 的方程为： ym2203(m28