考点八：三角函数-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习（解析版）

考点08三角函数（30种题型8个易错考点）

Q一、真题多维细目表

考题考点考向

2022新高考1第6题三角函数的性质及其应用求值

2022新高考1第18题解三角形及其综合应用求角度及最值

2022新高考2第6题三角恒等变换求正切值

2022新高考2第9题三角函数的性质及其应用求单调区间，对称轴

2021新高考1第4题三角函数的性质及其应用求解单调区间

2021新高考1第6题三角恒等变换给值求值问题

2021新高考2第18题解三角形及其综合应用求三角形的面积，应用余弦定理判断三

角形的形状

U二、命题规律与备考策略

本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”

“给角求值”，给定函数部分图象，求解函数解析式。以选择题、填空题为主，分值为5分，而结合三角函

数恒等变换与三角函数图像与性质、解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。

U三、2022真题抢先刷，考向提前知

一.选择题（共4小题）

1.（2021•新高考I）下列区间中，函数/（x）=7sin（x-单调递增的区间是（）

【分析】本题需要借助正弦函数单调增区间的相关知识点求解.

【解答】解：令一^~+2k兀兀，依Z.

则-^5-+2k兀<x42；+2k兀，kwZ.

当女=o时.，尤日工，

33

（0,―）U［工，线］,

233

故选：A.

【点评】本题考查正弦函数单调性，是简单题.

2.（2021•新高考I）已知尸1,乃是椭圆C：z+z=1的两个焦点，点M在C上，则|例印尸2|的最大

94

值为()

A.13B.12C.9D.6

【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可.

22

【解答】解：Fi,尸2是椭圆C：2一+匚=1的两个焦点，点M在C上，\MF\\+\MF2\=6,

94

所以\MFi\'\MF2\W；1吗।)2=%当且仅当|=附/切=3时，取等号，

所以的最大值为9.

故选：C.

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题.

3.(2022•新高考I)记函数f(x)=sin(wx+—)+b(w>0)的最小正周期为T.若竺且y=

43

f(x)的图像关于点(等，2)中心对称，则/(与)=()

A.1B.8C.—D.3

22

【分析】由周期范围求得3的范围，由对称中心求解3与6值，可得函数解析式，则f(三)可求.

2

7T

【解答】解：函数/(x)=sin(a)x+-^-)+b(co>O)的最小正周期为7,

iiiiirp_2兀出2兀徂2兀12兀一・n/公

ijilJT=——,由^——<T<TT,得^——<———<7i,..2<o)<3,

3333

'：y=f(x)的图像关于点(国^,2)中心对称，...Q2,

2

且sin(-52L(0+—)=0,则旦上3+匹=也，依Z.

2424

3=—(k——),kWZ,取k=4,可得3=-^-.

34，2

：.f(x)=sin&+匹)+2,则/(三)=sin(Ax2L+2L)+2=-1+2=1.

242224

故选：A.

【点评】本题考查y=Asin(au+(p)型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档

题.

4.(2022•新高考II)若sin(a+p)+cos(a+0)=2^2^08(a+~^~)sinp,则()

A.tan(a-p)=1B.tan(a+p)=1

C.tan(a-p)=-1D.tan(a+p)=-1

【分析】解法一：由已知结合辅助角公式及和差角公式对已知等式进行化简可求a-0,进而可求.

解法二：根据已知条件，结合三角函数的两角和公式，即可求解.

【解答】解：解法一：因为sin(a+p)+cos(a+p)=2A/^COS(a+-^-)sinp,

4

所以J^sin(a+R+兀)=2^/2cos(a+-^-)sinp,

44

TTjr

即sin(a+8+---)=2cos(a+---)sin0,

44

TTTTTT

所以sin(ak^-)cosp+sinpcos(=2cos(a+—.)sinp,

ITTT

所以sin(acosP-sinpcos(Q4——)=0,

TT

所以sin(=°，

TT

所以a咛-B=E,kcz,

jr

所以a-p=A:H-----

所以tan(a-p)=-1.

解法二：由题意可得，sinacosP+cosasinP+cosacosP-sinasinp=2(cosa-sina)sinp,

即sinacosP-cosasinp+cosacosP+sinasinP=O,

所以sin(a-p)+cos(a-p)=0,

故tan(a-p)=-1.

故选：C

【点评】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活

应用，属于中档题.

二.多选题（共1小题）

（多选）5.（2022•新高考H）已知函数F（x）=sin（2x+<p）（0<<p<u）的图像关于点（"，0）中心对

3

称，则（）

A./（%）在区间（0,且L）单调递减

12

B./（X）在区间（-三，H2L）有两个极值点

1212

C.直线犬=詈是曲线y=/（x）的对称轴

D.直线丫=亨-1是曲线y=/（x）的切线

【分析】直接利用函数的对称性求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的判断A、B、C、。的真假.

【解答】解：因为/（x）=sin（2r+<p）（0<（p<n）的图象关于点（3，0）对称，

所以2X-+叩=垢，kez,

3

所以<p=hr-

因为0<<pVn,

所以年=”，

3

故f（x）=sin（2x+空-）,

令？L〈2X+&LL,解得-2L〈x<且L,

2321212

故/•（》）在（0,卫）单调递减，A正确；

12

在（一三四），2x+"e（工，立），

1212322

根据函数的单调性，故函数/（X）在区间（-匹，112L）只有一个极值点，故B错误;

1212

令2%+”=斥+工，依Z,得三，依Z,C显然错误;

32212

f(x)=sin(2x+-：-),

求导可得，f(x)=2cos(2x+-^—)>

令/（x）=-1，即cos=［，解得x=配或x=^-+k兀（keZ）,

故函数y=/（x）在点（0,返）处的切线斜率为々=/|x=0=2cos—=-1>

2*3

故切线方程为厂与=_（x-0），即），=_乂有，故。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力

和数学思维能力，属于基础题.

=.解答题（共2小题）

6.（2022•新高考I）记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知“sA=sin2B.

1+sinAl+cos2B

（1）若C=2^,求B；

3

22

(2)求包学-的最小值.

2

c

【分析】(1)利用倍角公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出B.

(2)利用诱导公式把A用C表示，再利用正弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论.

【解答】ft?：(1)VcosA=sin2B,1+COS2B=2COS2B^0,COSBWO.

1+sinAl+cos2B

•・•cosA--_--2--s-i-n--B--c-o--s-B---_--sinB,

1+sinA2COS2BCOSB

化为：cosAcosB=sinAsinB+sinB,

cos(B+A)=sinB,

•・•—_cosC7r—sin，•/?,DC「一,2兀»

3

，sin8=上，

2

兀兀

V0<B<—,：.B=—,

36

TT

(2)由(1)可得：-cosC=sin8>0,cosC<0,CE(——，n),

2

；.c为钝角，B,A都为锐角，B=c-—.

2

IT

sinA=sin(B+C)=sin(2C-----)=-cos2C,

2

a2+b」_sin%+sin%_cosWc+c。s2c_(l-2sin、C)2+(1-sin%)_

2―~~27•~27

csinCsinCsinC

42

2+4sinC-5sinC=2+4sin2c_522{2义4-5=4&-5,当且仅当sinC=」一时取等号.

sin2csin2C版

22

...三空一的最小值为472-5.

c

【点评】本题考查了倍角公式、和差公式、三角形内角和定理、余弦定理、基本不等式、转化方法，考

查了推理能力与计算能力，属于中档题.

7.(2021•新高考II)在△ABC中，角A,B,C所对的边长为a,b,c,h=a+\,c=a+2.

(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面积；

(2)是否存在正整数a,使得aABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

【分析】(1)根据已知条件，以及正弦定理，可得a=4,b=5,c=6,再结合余弦定理、三角形面积公

式，即可求解，（2）由c>b>m可推得aABC为钝角三角形时，角C必为钝角，运用余弦定理可推得

«2-2«-3<0,再结合a>0,三角形的任意两边之和大于第三边定理，即可求解.

【解答】解：⑴：2sinC=3sinA,

根据正弦定理可得2c=3小

c=〃+2,

・・.a=4,b=5,c=6,

22242+52-621

在△ABC中,运用余弦定理可得cosc=a工

2ab2X4X58

,/sin2C+cos2C=1,

,',sinC，-Vl-cos2C1-(y)2=3

•c1卜.l1乂/YK乂377=15W

,,SAABCnC=yx4x5x—

(2)'：c>b>a,

...△ABC为钝角三角形时，角C必为钝角,

2-22

a+b-c/+(@+1)2-(a+2)2

cosC='<0,

2ab2a(a+1)

・••优■-2〃-3V0,

・・・0VQV3,

•・•三角形的任意两边之和大于第三边,

/.a+b>c9即。+。+1>〃+2,即。>1,

：.l<a<3,

•.z为正整数，

・・〃=2・

【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用.考查了学生对三角函数基础知识的综合运用.

Q四、考点清单

任意角的概念

一、角的有关概念

1.从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.

2.从终边位置来看，可分为象限角与轴线角.

3.若0与a是终边相同的角，则B用a表示为B=2hr+a(AeZ).

【解题方法点拨】

角的概念注意的问题

注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、

第三类是区间角.

二.终边相同的角

终边相同的角：

%•360°+a(ZeZ)它是与a角的终边相同的角，(/=0时，就是a本身)，凡是终边相同的两个角，则它们

之差一定是360。的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一

定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件.

还应该注意到:A=｛x|x=H360°+30°,髭Z｝与集合B=｛x|x=U360°-330°,依Z｝是相等的集合.

相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是｛x|x=k・360°,在Z｝；与x轴负方向终边相同的角的集合是｛x|x

=公360°+180°,依Z｝；与y轴正方向终边相同的角的集合是｛x|x=H360°+90°,依Z｝；与y轴负方向

终边相同的角的集合是｛x|x=Q360°+270°,k€Z]

【解题方法点拨】

终边相同的角的应用

(1)利用终边相同的角的集合S=｛用〃=2hr+a,蛇Z｝判断一个角〃所在的象限时，只需把这个角写成[0,

2n)范围内的一个角a与2ir的整数倍的和，然后判断角a的象限.

(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集

合，然后通过对集合中的参数4赋值来求得所需角.

三.象限角、轴线角

在直角坐标系内讨论角

(1)象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为

这个角是第几象限角.

(2)若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.

(3)所有与角a终边相同的角连同角a在内，可构成一个集合5=｛凤州好好360°,蛇Z｝.

【解题方法点拨】

(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第

二类、第三类是区间角.

(2)角度制与弧度制可利用180°=立忆4进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混

用.

(3)注意熟记0°〜360°间特殊角的弧度表示，以方便解题.

四.弧度制

1弧度的角

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,倒=上，/是以角a作为

r

圆心角时所对圆弧的长，「为半径.

2.弧度制

把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值工与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关.

r

【解题方法点拨】

角度制与弧度制不可混用

角度制与弧度制可利用180°=加次/进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

五.弧长公式

弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为/,圆心角大小为a(ra4)，半径为r,则/=&,扇形的面积为S=2/r=工，a.

22

【解题方法点拨】

弧长和扇形面积的计算方法

(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.

(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于a的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最

值.

(3)记住下列公式：①/=aR；(2)5=—//?；③S=」二a/?2.其中R是扇形的半径，/是弧长，a(0<a<2n)

22

六.扇形面积公式

弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为/,圆心角大小为a（忆4）,半径为r,则/=这，扇形的面积为5=2>=」於必

22

【解题方法点拨】

弧长和扇形面积的计算方法

（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.

（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于a的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最

值.

（3）记住下列公式：①/=出@S=^IR；③―工原2其中R是扇形的半径，/是弧长，a（0<a<2K）

22

为圆心角，S是扇形面积.

七.任意角的三角函数的定义

任意角的三角函数

1定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）,那么sin«=2，cosa=士，tana=工.

x

2.几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在建1上，余弦线的起点都是

原点,正切线的起点都是（1,0）.

【解题方法点拨】

利用三角函数的定义求三角函数值的方法

利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：

（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标），；（3）该点到原点的距离心若题目中已

知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）.

A.三角函数线

几何表示

三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的

起点都是（1,0）.

如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角a的正弦线，余弦线和正切线.

九.三角函数的定义域

【概念】

函数的定义域指的是函数在自变量X的取值范围，通俗的说就是使函数有意义的X的范围.三角函数作为

一类函数，也有定义域，而且略有差别.

【三角函数的定义域】

以下所有的左都属于整数.

TTTT

①正弦函数：表达式为丁=§山；xe[（2k-1）IT,（2H1）IT],其中在[2Hr-二y,2内1+不-]单调递增，其他

区间单调递减.

②余弦函数：表达式为），=（：08^；XE.[（2左-1）11,（2H1）Tl],其中在[2kTT-7T,2Kl]单调递增，其他区间单

调递减.

TT7T

③正切函数：表达式为），=taor；xG（依-勺，ATT+勺），在区间单调递增.

④余切函数：表达式为〉=8境，（hr--,Zrrr+JL）,在区间单调递减.

22

⑤正割函数：表达式为丫=$65,xE（2Kr--^-,2内T+工-）U（2KT+'-,2内1+上工），有secx・cos;r=1.

2222

⑥余割函数：表达式为）=cscx,xG（2ZJT-TC,2kir）U（2kir,2Znr+Tt）,有cscx・sirtv=1.

【考点点评】

这是一个概念，主要是熟记前面四种函数的定义域，特别是他们各自的单调区间和各自的周期，在书写的

时候一定不要忘了补充kWZ.

十.三角函数值的符号

三角函数值符号记忆口诀

记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（为正）.即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限

正切为正，第四象限余弦为正.

十一.三角函数的周期性

周期性

①一般地，对于函数/（X）,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）

=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数7叫做这个函数的周期.

②对于一个周期函数/(X),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做了(X)

的最小正周期.

③函数y=Asin(3x+(p),x€R及函数y=4cos(cox+(p)；xeR(其中4、3、<p为常数，且4/0,co>O)的

周期丁=".

3

【解题方法点拨】

1.一点提醒

求函数y=Asin(3x+(p)的单调区间时，应注意3的符号，只有当3>0时，才能把3x+cp看作一个整体，

代入y=sint的相应单调区间求解，否则将出现错误.

2.两类点

y=sinx,%e[0,2n],y=cosx,x6[0,2n]的五点是：零点和极值点(最值点).

3.求周期的三种方法

①利用周期函数的定义.f(x+T)=于(x)

②利用公式：y=Asin(3x+<p)和y=Acos(3x+<p)的最小正周期为।，y=tan(3x+(p)的最小正周期

471

为-i——.

I3|r

③利用图象.图象重复的x的长度.

十二.诱导公式

【概述】

三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对

于我们解题大有裨益.

【公式】

①正弦函数：表达式的y=sinx；

jC兀

有sin(n+x)=sin(-x)=-sinx；sin(TT-x)=sinx,sin(----+x)=sin(-----%)=cosx

22

②余弦函数：表达式为y=cosx；

兀

有COS(n+x)=COS(T[-x)=-cosx,cos(-x)=cosx,cos(------x)=sirix

2

③正切函数：表达式为》=1@皿；

兀、

tan(-x)=-tanx,tan(------x)=cotx,tan(n+x)=tanx

2

④余切函数：表达式为)=38

cot(-x)=-cotx,cot(----x)=tanx，cot(n+x)=cotx.

2

【应用】

1、公式：

公式一：sin(a+2Zm)=sina,cos(a+2Znr)=cosa,其中上WZ.

公式二：sin(n+a)=-sina,cos(n+a)=-cosa,tan(n+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa.

公式四：sin(TT-a)=sina,cos(TT-a)--cosa.

公式五：sin=cosa,cos=sina.

公式六：sin=cosa,cos=-sina

2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限.

3、在求值与化简时，常用方法有：

(1)弦切互化法：主要利用公式tana=@区化成正、余弦.

cosa

(2)和积转换法:利用(sin0土cos0)2=l±2sinOcos。的关系进行变形、转化.

(3)巧用"1"的变换:1=sin20+cos20=cos20(l+tan20)=tan45°=….

4^注意：

(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负一脱

周一化锐.特别注意函数名称和符号的确定.

(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.

(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

十三.运用诱导公式化简求值

利用诱导公式化简求值的思路

1.“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.

2.“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到36()。的三角函数，利用公式二将大于

180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数.

3.“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90。的角的三角函数.

4.“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.

十四.正弦函数的图象

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

图象

4•…工Zf

■1lW*-----1

1

r

定义域RRjtez

值域1-1,1][-1.1]R

单调性递增区间：递增区间：递增区间：

,,K.兀、

2kn+—)(2krc-TT,2kn)(Ant----,KTT+---)

2222

(keZ)；

(jtez)；(kez)

递减区间：

递减区间：

(2/nr,2An+7i)

(2lar+—,

22(依Z)

(jtez)

jr

最值x=2Znr+---(AwZ)时，ynuixx=2kn(kWZ)时，ymax=无最值

2.

1;

=1;

JTx=2kn+Ti(攵WZ)时，

x=2lai--(*GZ)时，

2ymin=-1

ymin--1

奇偶性奇函数偶函数奇函数

IT

对称性对称中心：(kn,0)(keZ)对称中心：0）对称中心：（K2L,o）

22

TT

对称轴：x=lai+—,keZ

2（髭Z）（依Z）

对称轴：x=kn,依Z无对称轴

周期27r2TT71

十五.正弦函数的单调性

三角函数的单调性的规律方法

1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.

2.求形如），=Asin（a>x+（p）或y=4cos（皿+e）（其中，<u>0）的单调区间时，要视“（M+<p”为一个整体，

通过解不等式求解.但如果“<0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.

十六.正弦函数的奇偶性和对称性

【正弦函数的对称性】

正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（-x）=-sinx.另

外，正弦函数具有周期性，其对称轴为kGz.

2

十七.余弦函数的图象

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数j=sinxy=cosxy=tanx

图象辿

k?丁

2n.

dW

■,lip---........-

r

定义域RRkez

值域[-1,1Jl-h1]R

单调性递增区间：递增区间：递增区间：

[2kn-ii,2lai]（依Z）

（髭Z）；（依Z）；

递减区间：递减区间：

[2lcn：f2Znr+7i]

（依Z）（依Z）

最值x=2lat+（&WZ）时,ymax=x=2.kix（ZcGZ）时，ymax=无最值

1;1;

x=2E-（左€Z）时，x=2匕i+n（长Z）时，

ymin=-1ymin=~1

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对称性对称中心：（E，0）（&6Z）对称中心：（依Z）对称中心：（依Z）

对称轴：x=Ki+,keZ对称轴：x=kn,IcEZ无对称轴

周期27r2nTt

十八.余弦函数的单调性

三角函数的单调性的规律方法

1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.

2.求形如y=4sin（皿+0）或y=4cos（皿+。（其中，<z»>0）的单调区间时，要视“皿+，为一个整体,

通过解不等式求解.但如果S<0,那么一定先借助诱导公式将出化为正数，防止把单调性弄错.

十九.正切函数的图象

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

图象1

4…J：LU

定义域RRkez

值域[-1.1][-1.1]R

单调性递增区间：递增区间：递增区间：

[2kn-—,2kn+-][2lcn-n,2Ki]（依Z）

22

（比Z）；

（依Z）；

递减区间：

递减区间：

[2内r,2匕T+TT]

|2ATT+—,

22（依Z）

（依Z）

最值X=2ATC+（攵EZ）时，ymax=X=2lai（依Z）时，ymax=无最值

1；1;

x=2kn-（ZcGZ）时，x=2Zrrr+TT（fcGZ）时，

ymin--1ymin--1

奇偶性奇函数偶函数奇函数

TT对称中心：（©L,o）

对称性对称中心：（kn,0）（依Z）对称中心：（jtn+—,0）

22

TT

对称轴：x=kn+—,（左口）（kez）

2

对称轴：x=E,kez无对称轴

周期2n2nTl

二十.正切函数的单调性和周期性

三角函数的单调性的规律方法

1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.

2.求形如y=Asin（ojx+cp）或y=Acos（3x+<p）（其中，OJ>0）的单调区间时，要视“3x+（p”为一个整体，

通过解不等式求解.但如果3<0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.

【正切函数的周期性】

正切函数y=taru'的最小正周期为TT,即tan（内r+x）=taru\

二十一.正切函数的奇偶性与对称性

三角函数的奇偶性、周期性和对称性

1.判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶

性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解.

2.求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函

数的图象.

二十二函数y=Asin（3x+cp）的图象变换

函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（cox+cp'）（A>0,<i>>0）的图象的步骤

法一法二

画出y=sinx的图望--用画出,丫=,11.丫的图4

器状;或平移15个小位横坐标变为原来嗯倍

ImI

两种变换的差异

先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是⑷个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移

的量是‘曳_L（3>o）个单位.原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的.

3

【解题方法点拨】

1.一个技巧

列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为工，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标.

4

2.两个区别

（1）振幅A与函数y=Asin（3x+°）+b的最大值，最小值的区别：最大值M=A+b,最小值〃?=-A+b,

故A=火卫.

2

（2）由y=sinx变换到y=4sin（3x+°）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由丫=§由工的图

象变换到V=击皿（5+0）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是⑷

个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是-1以（3>0）个单位.原因在于相位变换和

3

周期变换都是针对X而言，即X本身加减多少值，而不是依赖于皿加减多少值.

3.三点提醒

（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；

（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；

（3）由y=Asin3r的图象得到y=Asin（的图象时，需平移的单位数应为-L^-L而不是⑷.

二十三.由y=Asin（cox+（p）的部分图象确定其解析式

根据图象确定解析式的方法：

在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M,最小值为m，则4=此工1,%=史%，3由周期7确定，

22

即由"=7求出，。由特殊点确定.

3

二十四.三角函数的最值

【三角函数的最值】

三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单

调性和它们的图象.在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元.化简的原则通常是尽量的把复合三角函

数化为只含有一个三角函数的一元函数.

二十五.同角三角函数间的基本关系

1.同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：sin2a+cos2a=1.

(2)商数关系：包&=tana.

cosa

2.诱导公式

公式一：sin(a^-2kn)=sina,cos(出2Kr)=cosa,其中ZEZ.

公式二：sin(ir+a)--sina,cos(n+a)=-cosa,tan(n+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa.

公式四：sin(TI-a)=sina,cos(n-a)=-cosa.

7T/兀、.

公式五：sin(-a)=cosa；,cos(--a)=sma.

T2

兀

公式六：sin(+a)=cosa,cos/(-兀--+a)、=-s,ina

~22

3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(a邛)：cos(a-p)=cosacosB+s讥aW咱

(2)C(a+p)：cos(a+p)=cosac°s0-s山as坪;

(3)S(a+p)：sin(a+p)=si〃acosS+cosasi印;

(4)S(a-p)：sin(a-p)=s加acosB-cosayiip；

(5)7'<a+p)：tan(a+0)=tan〉+tan£.

1-tanCCtanP

(6)T(a.p,：tan(a-p)=tanQ-tan^

1+tanCltanP

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)Slatsin2a=2sin—o