黑龙江省哈尔滨市2017年高考数学四模试卷-理(含解析)

2017 年黑龙江省哈尔滨市高考数学四模试卷（理科）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的z1已知集合a=x|x 2 2x 3 0，x z，集合 b=x|x 0 ，则集合（ ? a） b 的子集个数为（）a 3b 4c 7d 8 2已知复数z=，则 z=（）ai bcdi3若实数x， y 满足不等式组，则 x 2y 的最大值为（）a 1b 2c 0d 44设函数f （ x） =，则 f （ 27）+f （ log 43）的值为（）a 6b 9c 10d 125. 等差数列 a n 的公差为 2，若 a2， a4，a8 成等比数列，设sn 是数列 a n 的前 n 项和，则 s10的值为（）a 110b 90c 55d 456. 已知双曲线c：=1（ a 0，b 0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，双曲线的方程为（）abcd7. 若函数则函数 f （ x）的图象关于（）a原点轴对称b x 轴对称c y 轴对称d y=x 对8. 执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的s 值为（）abcd9. 已知函数f（ x）=sin （ x+ ）（ 0，| | ）的最小正周期为4 ，且对 ? x r，有 f （ x） f （）成立，则关于函数f （ x）的下列说法中正确的是（） =函数 f （x）在区间 ， 上递减；把 g（ x） =sin的图象向左平移得到 f （ x）的图象；函数 f （x+）是偶函数a b cd 10已知甲，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物，所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待已知甲、乙两车装货物需要的时间都为30 分钟，倘若甲、乙两车都在某1 小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（）abcd11. 已知菱形abcd中， dab=60， ab=3，对角线 ac与 bd的交点为 o，把菱形abcd沿对角线 bd折起，使得 aoc=90 ，则折得的几何体的外接球的表面积为（）a 15 bcd 712. 已知函数f （ x）在定义域r内是增函数，且f （x） 0，则 g（ x） =x2f （ x）的单调情况一定是（）a在（，0）上递增b在（，0）上递减c在 r 上递减d在 r 上递增二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分将答案填在机读卡上相应的位置，（）求a， c 的值；（）求sin （ b c）的值18某厂每日生产一种大型产品2 件，每件产品的投入成本为1000 元产品质量为一等品的概率为0.5 ，二等品的概率为0.4 ，每件一等品的出厂价为5000 元，每件二等品的出厂价为 4000 元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产1 件产品还会带来 1000 元的损失（）求在连续生产的3 天中，恰有两天生产的2 件产品都为一等品的概率；（）已知该厂某日生产的这种大型产品2 件中有 1 件为一等品， 求另 1 件也为一等品的概率；（）求该厂每日生产这种产品所获利润 （元）的分布列和期望19. 如图所示，三棱柱abca1b1c1 的底面是边长为2 正三角形， d 是 a1c1 的中点，且aa1平面 abc，aa1=3（）求证： a1b平面 b1dc；（）求二面角db1c c1 的余弦值20. 椭圆 c：过点 p（， 1）且离心率为， f 为椭圆的右焦点， 过 f 的直线交椭圆c于 m， n 两点，定点a（ 4，0）（）求椭圆c 的方程；（）若 amn面积为 3，求直线mn的方程21. 已知函数f （ x） =（ x+a）lnx在 x=1 处的切线方程为y=x 1（）求a 的值及 f （ x）的单调区间；（）记函数y=f（ x）的图象为曲线c，设点 a（x 1， y 1），b（ x 2， y2）是曲线c 上不同的两点，如果在曲线c 上存在点 m（ x 0， y 0），使得 x 0=；曲线 c 在点 m处的切线平行于直线 ab，则称函数f（ x）存在“中值相依切线”试证明：函数f （ x）不存在“中值相依切线”请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 选修 4-4 ：坐标系与参数方程22. 已知曲线（ t 为参数），以原点为极点，以x 正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线（）写出曲线c1 的普通方程，曲线c2 的直角坐标方程；（）若m（ 1， 0），且曲线c1 与曲线 c2 交于两个不同的点a， b，求的值 选修 4-5 ：不等式选讲23设 f （x） =|3x 2|+|x2| （）解不等式f （x） 8；2（）对任意的非零实数x，有 f （ x）（ m m+2）?|x| 恒成立，求实数m的取值范围2017 年黑龙江省哈尔滨六中高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析2一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1. 已知集合a=x|x 2x 3 0，x z，集合 b=x|x 0 ，则集合（ ?za） b 的子集个数为（）a 3b 4c 7d 8【考点】 1e：交集及其运算n2【分析】 运用二次不等式的解法和补集的定义，化简集合?za，再由交集的定义和集合子集的个数（ n 个元素的集合的子集为2 ），即可得到所求【解答】 解：集合a=x|x 2x3 0， x z ，z3? a=x|x 2 2x3 0， x z=x| 1 x 3， x z= 1，0， 1， 2，3 ， 集合 b=x|x 0 ，则集合（ ?za） b=1， 2， 3 ，可得集合（ ?za） b 的子集个数为2 =8，故选： d2. 已知复数z=，则 z=（）ai bcdi【考点】 a7：复数代数形式的混合运算【分析】 计算=，可得=即可得出【解答】解：=，=z=故选： c3. 若实数x， y 满足不等式组，则 x 2y 的最大值为（）a 1b 2c 0d 4【考点】 7c：简单线性规划【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可【解答】 解：由 z=x 2y 得 y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）： 平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点 a 时，直线 y=的截距最小，此时z 最大，由，得，即 a（4， 0） 代入目标函数z=x 2y，得 z=4，目标函数z=x 2y 的最大值是4 故选： d4设函数f （ x） =，则 f （ 27）+f （ log 43）的值为（）a 6b 9c 10d 12【考点】 3t：函数的值【分析】 根据分段函数的表达式分别代入进行求解即可【解答】 解： f （ 27） =log 927=，f （ log 43）=+=3+，则 f （ 27）+f （ log 43） =+3+=6， 故选： a5. 等差数列 a n 的公差为 2，若 a2， a4，a8 成等比数列，设sn 是数列 a n 的前 n 项和，则 s10的值为（）a 110b 90c 55d 45【考点】 85：等差数列的前n 项和【分析】 利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程，求出首项，由此能求出s10【解答】 解：等差数列a n 的公差为2， a2， a4， a8 成等比数列，2（ a1+3 2） =（ a1+2）（a1+7 2），解得 a1=2，设 sn 是数列 a n 的前 n 项和，则 s10 =10a1+=10 2+=110故选： a6. 已知双曲线c：=1（ a 0，b 0）的离心率为2，且右焦点到一条渐近线的距离为，双曲线的方程为（）abcd【考点】 kc：双曲线的简单性质【分析】 根据题意，由双曲线的离心率公式可得e=2，即 c=2a，又由双曲线的性质可得b=，结合 c2=a2+b2，计算可得a2 的值，将 a2、b2 的值代入双曲线方程即可得答案【解答】 解：根据题意，双曲线c：=1（ a0， b 0）的离心率为2，则 e=2，即 c=2a，又由右焦点到一条渐近线的距离为，则有 b=，22222又由 c=a +b ，即 4a =a +3，2则有 a =1，2则双曲线的方程为：x =1； 故选： b7. 若函数则函数 f （ x）的图象关于（）a原点轴对称b x 轴对称c y 轴对称d y=x 对【考点】 3o：函数的图象【分析】 判断 f （ x）的奇偶性，即可得出结论【解答】 解： f （ x）的定义域为r， f （ x） =x（1）=x?f （ x） =x?=x?=f （ x），f （ x）是偶函数，f （ x）的图象关于y 轴对称， 故选： c8. 执行如图所示的程序框图，若输入n=5，则输出的s 值为（）abcd【考点】 ef：程序框图【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值， 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】 解：模拟程序的运行，可得n=5， s=1，i=1执行循环体， s=6， i=2不满足条件i 5，执行循环体，s=， i=3 不满足条件i 5，执行循环体，s=4，i=4 不满足条件i 5，执行循环体，s=， i=5不满足条件i 5，执行循环体，s=， i=6满足条件i 5，退出循环，输出s 的值为 故选： c9. 已知函数f（ x）=sin （ x+ ）（ 0，| | ）的最小正周期为4 ，且对 ? x r，有 f （ x） f （）成立，则关于函数f （ x）的下列说法中正确的是（） =函数 f （x）在区间 ， 上递减；把 g（ x） =sin的图象向左平移得到 f （ x）的图象；函数 f （x+）是偶函数a b cd【考点】 2k：命题的真假判断与应用【分析】 根据题意，求出函数f （ x）的解析式，再判断题目中的命题是否正确即可【解答】 解：函数f （ x） =sin （ x+）（ 0）的最小正周期为4 ，t=4 ， =；又对 ? x r，有 f （x） f （）成立，x=时，函数f （ x）取得最大值，+ =+2k ，k z， 解得 =+2k， k z，又| | ， =，正确；f （ x） =sin （x+），当 x ， 时，x ， ，x+ ， ，函数 f （ x）不是单调递减函数，错误；把 g（ x） =sin的图象向左平移，得 y=sin（ x+） =sin （x+）的图象， 即为 f （ x）的图象，正确；函数 f （ x+）=sin（ x+）+=sin（x+），它不是偶函数，错误综上，正确的命题是 故选： a10. 已知甲，乙两辆车去同一货场装货物，货场每次只能给一辆车装货物， 所以若两辆车同时到达，则需要有一车等待已知甲、乙两车装货物需要的时间都为 30 分钟，倘若甲、乙两车都在某 1 小时内到达该货场，则至少有一辆车需要等待装货物的概率是（）abcd【考点】 cf：几何概型【分析】 设现在时间是0，甲乙到场的时间分别是x y ，那么就会有0 x60， 0 y 60，|x y| 如果小于20，就是等待事件，否则不用等待了由此能求出至少有一辆车需要等待装货物的概率【解答】 解：设现在时间是0，甲乙到场的时间分别是x y那么就会有：0 x 60，0 y 60，|x y| 30，就是等待事件，否则不用等待了画出来坐标轴如下图两条斜直线间的面积是等待，外面的两个三角形面积是不等待，至少有一辆车需要等待装货物的概率p=； 故选： d11. 已知菱形abcd中， dab=60， ab=3，对角线 ac与 bd的交点为 o，把菱形abcd沿对角线 bd折起，使得 aoc=90 ，则折得的几何体的外接球的表面积为（）a 15 bcd 7【考点】 lg：球的体积和表面积【分析】 利用几何体求出外接球的半径，然后求解几何体的表面积即可【解答】 解：菱形 abcd中，dab=60， ab=3，三角形 abd的外接圆的半径为：=，内切圆的半径为：，对角线 ac与 bd的交点为o，把菱形 abcd沿对角线 bd折起，使得 aoc=90 ，则折得的几何体的外接球的半径为：=外接球的表面积为：4=15 故选： a12. 已知函数f （ x）在定义域r内是增函数，且f （x） 0，则 g（ x） =x2f （ x）的单调情况一定是（）a在（，0）上递增b在（，0）上递减c在 r 上递减d在 r 上递增【考点】 3e：函数单调性的判断与证明【分析】 根据函数f （ x）在定义域r 内是增函数则f （ x） 0 在定义域r 上恒成立，然后求出导函数g （ x），讨论 x，确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间【解答】 解：函数f （ x）在定义域r 内是增函数f（ x） 0 在定义域r 上恒成立2g（ x） =x f （ x）2g （ x） =2xf （ x）+x f （ x）2当 x 0 时，而 f （ x） 0，则 2xf （ x） 0， x f （ x） 0 所以 g （ x） 02即 g（ x） =x f （ x）在（，0）上递增当 x 0 时， 2xf （ x） 0， x2f （ x） 0，则 g （ x）的符号不确定，从而单调性不确定故选 a二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分将答案填在机读卡上相应的位置13. 的展开式中，常数项为20，则实数a 的值为1【考点】 db：二项式系数的性质【分析】 利用通项公式即可得出【解答】 解：的通项公式为：tr+1 =arx 6 2r 令 6 2r=0 ，或 6 2r= 1，【考点】 l! ：由三视图求面积、体积【分析】 由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，代入体积计算公式，可得答案【解答】 解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，底面面积s=4 8=32， 高 h=4，故体积 v=， 故答案为：216已知以 f 为焦点的抛物线c：y =2px（ p 0）上的两点 a，b 满足=3，若弦 ab的中2点到准线的距离为，则抛物线的方程为y =8x【考点】 k8：抛物线的简单性质2【分析】 设直线 l 的方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得 k 的值，根据中点坐标公式求得 m的横坐标，则 m到准线的距离 d=x+ = ，即可求得 d 的值，求得抛物线方程【解答】 解：抛物线 c： y =2px 的焦点 f（ ， 0），由题意可知直线ab的斜率显然存在，且不为0，设直线 ab的方程 y=k（ x），设 a（ x 1， y 1），b（ x2， y2），ab 的中点 m（ x， y），2=（ x1， y1 ），=（ x2，y2），由=3，则x1=3（ x2），则 3x2+x 1=2p，22，整理得： kx （ k+2）px+=0，由韦达定理可知：x1+x2 =， x1 x2 =，由解得： x 1=，x 2=，代入，解得：k2=3，则 x=， m到准线的距离d=x+=，=，解得： p=4，抛物线的方程为y2=8x故答案为： y2=8x三、解答题：本大题共5 小题，共70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（）求a， c 的值；（）求sin （ b c）的值【考点】 ht：三角形中的几何计算【分析】（1）由，得sinacosb cosasinb+sin（ a+b）=，即sinb=由余弦定理得：，由解得a，c， 又 s abc=，ac=6（） 由余弦定理得cosc=，则 sinc=即可得 sin （ bc）=sinbcosccosbsinc 的值【解答】解：（）由，得 sinacosb cosasinb+sin （ a+b）=即 2sinacosb=， sina 0， sinb=由余弦定理得：?又 s abc=， ac=6由解得a c， a=3， c=2（）由余弦定理得cosc=，则 sinc=18. 某厂每日生产一种大型产品2 件，每件产品的投入成本为1000 元产品质量为一等品的概率为0.5 ，二等品的概率为0.4 ，每件一等品的出厂价为5000 元，每件二等品的出厂价为 4000 元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产1 件产品还会带来 1000 元的损失（）求在连续生产的3 天中，恰有两天生产的2 件产品都为一等品的概率；（）已知该厂某日生产的这种大型产品2 件中有 1 件为一等品， 求另 1 件也为一等品的概率；（）求该厂每日生产这种产品所获利润 （元）的分布列和期望【考点】 ch：离散型随机变量的期望与方差；cg：离散型随机变量及其分布列【分析】（ i ）利用相互独立事件的概率公式计算；（ii ）使用条件概率公式计算；（iii）列出 所有可能的取值及对应的概率，再计算数学期望2【解答】 解：（ i ）设一天生产的2 件产品都为一等品为事件a，则 p（a） =0.5 =0.25 ，在连续生产的3 天中，恰有两天生产的2 件产品都为一等品的概率p=0.25 0.25 0.75=（ ii ）设一天中生产的2 件产品中，有一件是一等品为事件b，另一件是一等品为事件c， 则 p（ bc）=p（ a） =0.25 ， p（ b） =0.5 0.5+0.5 0.4 2+0.5 0.1 2=0.75 ，该厂某日生产的这种大型产品2 件中有 1 件为一等品， 另 1 件也为一等品的概率为（p c|b）=（iii） 的可能取值为8000， 7000 ，6000， 2000， 1000， 4000， 的分布列为：80007000600020001000 4000pe（ ） =8000+7000+6000+2000+1000+（ 4000）=600019. 如图所示，三棱柱abca1b1c1 的底面是边长为2 正三角形， d 是 a1c1 的中点，且aa1平面 abc，aa1=3（）求证： a1b平面 b1dc；（）求二面角db1c c1 的余弦值【考点】 mt：二面角的平面角及求法；ls：直线与平面平行的判定【分析】（ 1）连结 bc1，b1c，交于点o，连结 od，则 od a1b，由此能证明a1b平面 b1dc（2）以 d 为原点， dc1 为 x 轴， db1 为 y 轴，过 d 作平面 a1b1c1 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角d b1c c1 的余弦值【解答】 证明：（ 1）连结 bc1， b1c，交于点o，连结 od，三棱柱abc a1b1c1 的底面是边长为2 正三角形， d 是 a1c1 的中点，od a1b，a1b?平面 b1dc， od? 平面 b1dc，a1b平面 b1 dc（2）三棱柱abc a1b1c1的底面是边长为2 正三角形， d 是 a1c1 的中点， 且 aa1平面 abc， aa1 =3以 d 为原点， dc1 为 x 轴， db1 为 y 轴，过 d 作平面 a1b1c1 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则 d（ 0， 0， 0）， b1（ 0， 0）， c（ 1， 0，3）， c1（ 1， 0， 0），=（ 1， 3），=（ 1， 0， 3），=（ 0，0， 3），设平面 b1dc的法向量=（ x， y， z），则，取 z=1 ，得=（ 3， 0，1），设平面 b1cc1 的法向量=（ a， b， c），则，取 b=1，得=（），设二面角d b1c c1 的平面角为，则 cos =二面角d b1c c1 的余弦值为20. 椭圆 c：过点 p（， 1）且离心率为， f 为椭圆的右焦点， 过 f 的直线交椭圆c于 m， n 两点，定点a（ 4，0）（）求椭圆c 的方程；（）若 amn面积为 3，求直线mn的方程【考点】 kl：直线与椭圆的位置关系22222【分析】（ 1）由题意可得：=1 ，=，又a =b +c ，联立解得：a ， b ， c可得椭圆 c 的方程（2） f（ 2， 0）若mn x 轴，把x=2 代入椭圆方程可得：+=1，解得y则 s amn3，舍去若 mn与 x 轴重合时不符合题意，舍去因此可设直线mn的方程为： my=x 2把 x=my+22代入椭圆方程可得： （ m+3） y2+4my 2=0可得 |y 1 y2|=利用samn=3即可得出222【解答】 解：（ 1）由题意可得：=1 ，=，又 a =b +c ，22联立解得： a =6， b =2， c=2椭圆 c 的方程为：（2） f（ 2， 0）若 mn x 轴，把 x=2 代入椭圆方程可得：+=1，解得 y=则 s amn=2 3，舍去若 mn与 x 轴重合时不符合题意，舍去因此可设直线mn的方程为： my=x 222把 x=my+2代入椭圆方程可得： （ m+3） y +4my 2=0y 1+y2=， y1?y2=，|y 1 y 2|=则 s amn=3=3，解得 m= 1直线 mn的方程为： y=（ x 2）21. 已知函数f （ x） =（ x+a）lnx在 x=1 处的切线方程为y=x 1（）求a 的值及 f （ x）的单调区间；（）记函数 y=f（ x）的图象为曲线 c，设点 a（x 1， y 1），b（ x 2， y2）是曲线 c 上不同的两点，如果在曲线 c 上存在点 m（ x 0， y 0），使得 x 0=；曲线 c 在点 m处的切线平行于直线 ab，则称函数 f（ x）存在“中值相依切线”试证明：函数 f （ x）不存在“中值相依切线”【考点】 6h：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数f （ x）的导函数，得到函数在x=1 处的切线方程，结合已知切线方程求得 a 值，进一步求得函数的单调区间；（）假设函数f （ x）存在“中值相依切线”设a（ x1， y1 ），b（ x 2， y2）是曲线y=f （ x）上的不同两点，且0 x1 x2，则 y 1=x1lnx 1， y2=x 2lnx 2求出 kab及 f （）由题意列等式可得1+ln=，整 理 得 ：， 令（ t 1 ） 换 元 ， 则令 g（ t ） =（ t 1），利用导数求得g（ t ）的最小值小于1 ln2 ，说明计算错误，函数f （ x）不存在“中值相依切线”【解答】 解：（）由 f （ x）=（ x+a）lnx ，得 f （ x） =lnx+f （ 1）=1+a，又 f （ 1） =0，函数 f （x） =（ x+a） lnx在 x=1 处的切线方程为y=（ 1+a）（ x1） =（ 1+a） x 1a1+a=1，得 a=0则 f （ x） =xlnx ，f （ x） =lnx+1 由 f （ x） =lnx+1=0 ，得 x=当 x时， f （ x） 0，当 x时， f （ x） 0f （ x）在上单调递减，在上单调递增；（）假设函数f （x）存在“中值相依切线”设 a（ x 1， y 1），b（ x2， y2）是曲线y=f （ x）上的不同两点，且0x 1 x 2，则 y1=x1lnx 1， y 2=x2 lnx 2由 f （ x） =xlnx的导数为f （ x） =1+lnx ，可得 1+ln=，整理得：，令（ t 1），则令 g（ t ） =（ t 1），则 g（ t ） =，令 h（ t ） =2t 2 tlnt lnt ，h（ t ） =2 lnt 1=1lnt， 再令 r （ t ） =1 lnt ，则 r （