案例九马尔科夫预测

案例九马尔科夫预测一、市场占有率的预测重点例 1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供。分别用1，2，3 表示。去年12 月份对 2000 名消费者进行调查。购买厂家 1，2 和 3 产品的消费者分别为800 ，600 和 600 。同时得到转移频率矩阵为：320240240n3601806036060180其中第一行表示， 在 12 月份购买厂家 1 产品的 800 个消费者中， 有 320 名消费者继续购买厂家1 的 产品。转向购买厂家2 和 3 产品的消费者都是240 人。n的第二行与第三行的含义同第一行。（1） ） 试对三个厂家 17 月份的市场占有率进行预测。（2） ） 试求均衡状态时，各厂家的市场占有率。解：（1）用 800 ，600 和 600 分别除以 2000 ，得到去年 12 月份各厂家的精品资料市场占有率，即初始分布p0(0.4,0.3,0.3) 。用 800 ，600 和 600 分别去除矩阵n 的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵：0.40.30.3p0.60.30.10.60.10.3于是，第 k 月的绝对分布，或第月的市场占有率为：pkp 0p( k)p 0 pk (1,2,3,7)k1 时， p10.40.30.30.40.30.30.60.30.10.520.240.2420.60.10.32k2时， p0.40.30.3 p0.520.240.24 p0.4960.2520.252k3时,33p0.40.30.3 p0.4960.2520.252 p0.50080.24960.2496类似的可以计算出p 4 ，p 5 ，p 6 和p 7 。现将计算结果绘制成市场占有率变动表，如表所示：月份（ i）三个厂家的市场占有率pppiii12310.520.240.2420.4960.2520.25230.50080.24960.249640.499840.250080.2500850.5000320.2499840.24998460.50.250.2570.50.250.25从表中可以看到， 厂家 1 的市场占有率随时间的推移逐渐稳定在50% ，而厂家 2和厂家 3 的市场占有率随都逐渐稳定在25%.由于转移概率矩阵p 是正规矩阵，因此p有唯一的均衡点。由本例可知，0.50.250.25 。由定理可知，limkp0pk0.50.250.25，即随着时间的推移， 三个厂家的市场占有率逐渐趋于稳定。当市场达到均衡状态时， 各厂家的市场占有率分别为50% 、25% 和 25% 。由表可以看出，第三个月时，市场已经基本达到均衡状态，此时，各厂家的市场占有率与均衡状态时的市场占有率的误差已不足千分之一。例 2：飞跃、金星、凯歌、英雄电视机厂生产的电视机同时在某市销售，由于产品质量、价格、经营管理水平、 服务态度、质量等因素影响， 每月订户都有变化。根据 8、9 月份的变化，预测本年后三个月各厂家的用户占有率。（1） 调查目前的用户占有及变动情况8 月 1 日的订户到 9 月 1 日发生变化的情况表 7.58、9 月各厂订户厂家飞跃（）金星（）凯歌（）英雄（）5454954173826555525448044036532888.1%88.9%87.5%85.9%8 月份订户9 月 1 日失去订户9 月 1 日保留订户9 月 1 日订户保留率7.68、9 月各厂订户的变动厂家8 月用户占有数4803020155452444016154951820365144171525143283829 月用户占有数53751541537218399 月 份 四 厂 总 用 户 为1839 ， 各 厂 家 的 用 户 占 有 率 分 别 为 ：0.292,0.280,0.226,0.202初始状态向量s(0)=（0.2920.2800.2260.202 ）（2） 计算用户转移概率飞跃厂、金星厂同理可以计算得到凯歌厂。将以上计算结果写成矩阵就是89 月的一步转移概率矩阵p（3） 预测若本年后三个月各月之间用户阵移概率不变，则可以采用（7.5 ）式的数学模型预测。10 月各厂的用户占有率为s(1)=s (0)p0.8810.0550.0370.027=（0.2920.2800.2260.202 ）0.0490.8890.0320.0300.0430.0480.8750.034=(0.2890.2890.2250.197)0.0390.0650.0370.85911 月各厂用户占有率为s(2) =s(1) p0.8810.0550.0370.027= (0.2890.2890.2250.197)0.0490.8890.0320.0300.0430.0480.8750.0340.0390.0650.0370.859=(0.2860.2970.2240.193)12 月各厂用户占有率为s(3) =s(2) p= (0.2860.2970.2240.193) p=(0.2840.3030.2230.190)预测结果表明， 如果各厂家占有用户的变化依上述规律进行，到该年底， 原来用户占有率比较接近的四个厂家将产生很大差异。金星厂的用户占有率将明显高于其他厂，由9 月份的第二位跃进居第一位，而英雄厂则大大低于其他厂。马尔科夫稳态了解二、人力资源预测重点例：某高校为编制师资发展规划，需要预测未来教师队伍的结构。现在对教师状况进行如下分类：青年，中年，老年和流退（流失或退休）。根据历史资料，各0.80.1500.0500.750.20.05000.80.20001类教师（按一年为一期）的转移概率矩阵为：p目前青年教师 400 人，中年教师 360 人，老年教师 300 人。试分析 3 年后教师的结构以及为保持编制不变，3 年内应进多少硕士和博士毕业生充实教师队伍。解： 设目前的教师结构为n04003603000，则一年后教师结构为：10nn p32033031298，流退人员98人，为保持编制不变，第一年学校 需 进98人 ， 此 时 青 年 教 师 为320+98=418人 。 教 师 结 构 为 ：1pn*4183303120。n2两年后教师结构为：p334310316100*第二年流退 100 人，因此第二年需进100 名硕士和博士毕业生，此时青年教师232为 334+100=434人。教师结构为 n*4343103160 。三年后教师结构为：nn*p4343103160 p347298315100第三年流退 100 人，因此第三年需进100 名硕士和博士毕业生，此时青年教师3为 347+100=447人，教师结构为 n*4472983150 。综上所述， 3 年内需进硕士和博士毕业生298 名。三年后教师结构为：青年教师447 人，中年教师 298 名，老年教师 315 名。三、项目选址问题例：某汽车修理公司在北京市有甲、乙、丙3 个修理厂，由于公司注重对员工的技术培训，树立顾客至上、信誉第一的理念，采用先进管理模式，所以公司在本行业具有良好的形象，形成了一定规模的、稳定的客户群。对客户的调查显示，客户在甲、乙、丙3 个修理厂之间的转移概率为：p0.80.200.200.80.20.20.60.680.320.322解：由于 p0.160.200.16的所有元素都大于0，所以 p 是正规矩阵。0.160.480.52由于公司的原因，公司目前打算只对其中的一个维修厂进行改造，并扩大规模。试分析应选择那个维修厂。因此 p 存在唯一的概率向量123。解线性方程组：(pt1)t01230.210.220.2300.2120.2300.80.4012311即23得唯一解：111263由此可以看出， 长期趋势表明， 当公司的客户在3 个维修厂之间的转移达到均衡状态时，大约有 50% 的客户在甲厂维修，大约有16.67% 的客户在乙厂维修，大约有 33.33% 的客户在丙厂维修，因此应选甲厂进行项目投资。四、最佳经营策略选择例： 北京地区销售鲜牛奶是由3 个厂家提供的，该地区客户总数为100 万户，假设厂家从每个客户那里每年平均获利50 元。厂家 2 的市场调查显示，状态转移概率矩阵为：0.40.30.3p0.60.30.10.60.30.1均衡状态下市场占有率分别为50% ，25% 和 25%, 厂家 2 认为应采取积极的营销策略，提高市场占有率，为此设计了两套方案。方案一旨在吸引老客户。方案一的实施需花费约450万元，实施方案后估计转0.40.30.3移概率矩阵为：p10.30.700.60.10.3方案二希望吸引厂家1 和厂家 3 的客户，方案的实施需花费大约400 万元。实施方案后，估计转移概率矩阵为：p20.30.50.20.60.30.10.40.50.1试选择最佳方案。1解：方案一，显然p2 的所有元素都大于0 ，所以p1 为正规矩阵。故p1 有唯一的固定点(1 ,2 ,3 ) 。解线性方程组：(pt1)t012310.6 10.3 1即0.30.320.63020.1300.3 20.7301231得唯一解0.39,0.44,0.17因此，当市场达到均衡状态时，厂家2 的市场占有率达到44% ，比原来增加了19 个百分点，由此带来的利润为：0.1910050950 （万元）方案一成本为 450 万元，因而实际比原来多获利500 万元。方案二，类似地可得到p2 的固定概率向量为0.44,0.42,0.14，即当市场达到均衡状态时，厂家 2 的市场占有率为42% ，比原来增加了 17 个百分点，由此带来的利润为： 0.17 100 50 850（万元）实施方案 2 的成本为 400 万元，因而实际比原来多获利450 万元。比较方案一和方案二可知，实施方案一要比实施方案二多获利 50 万元。因此应选择方案一。五、 银行贷款回收问题 x例：某商业银行在结算时发现，账目未结清的客户共有800户。其中欠款时间为一年的有 400 户，两年的为 250 户，三年的有 150 户。银行规定，如果三年后仍不还款，则将其列入呆账（指无法收回的应收账款） 。根据以往经验，还款情况随时间转移的概率分布如表所示。表 还款情况随时间转移的概率分布表123还清呆账100.300.60.12000.50.30.230000.40.6还清00010呆账00001（1） ） 试分析两年后应收账款的分布情况。（2） ） 试分析应收账款的最终分布情况。解： 这是一个马尔科夫链问题。状态空间为s1,2,3,4,5，其中状态4 是还清 ，状态 5 是呆账。100.300.60.12000.50.30.2由题设知，一步转移概率矩阵为：p30000.40.640001050000100.300. 60. 1恰好是标准形。其中q000.5r0. 30. 20000. 40. 6000.150.690.160000.50.5(1)因为连续两年的转移概率矩阵为：p(2)p20000.40.60001000001户尚未还清。110.30.15（ 3） 由于 m(iq)12010.5300110.30.150.60.10.750.25所以 bmr010.50.30.20.50.50010.40.60.40.6所以两年后结清欠款的客户的构成为：400,250,150,0,0p(2)0,0.60,461,279这说明两年后， 800 户中平均有 461 户已结清， 279 户已变成呆账， 还有 60由矩阵 b 可以看出，处于状态1，即欠款一年的400 个应收账款中有75% 将被状态 4 吸收，其余 25% 被状态 5 吸收。也就是说，平均有300 个应收账款将结清，其余 100 个将成为呆账，同理欠款两年的250 个应收账款中，平均有一半会结清，另一半会成为呆账。欠款三年的150 个应收账款中，平均有60 个将结清，其余 90 个将成为呆账。因此，在总共800 个应收账款中，平均来说，最终将有485 个结清，其余315个成为呆账。六、保修费估计问题， x100.95000.052000.900.1p30000.80.2400010500001例：某手机生产厂家出售的手机有三年的保修期。假设保修期内一旦产品需要修理，修理后就能保证在保修期内不需再修理。对出售的产品分5 种状态进行考察。状态 i 表示产品出售时间在第i 年内（ i=1 ，2，3），0 状态 4 表示保修期满，状态5表 示 产 品 需 要 修 理 。 根 据 以 往 经 验 ， 一 步 转 移 概 率 矩 阵 为 ：假设最近三年已售出产品的情况为：出售时间在一年内的有30 万个，满一年不100.950解：这是马尔科夫链问题。转移矩阵恰好是标准形，其中q2000.93100.051100.855000到两年的有 20 万个，满两年不足三年的有10 万个，用向量(30,20,10) 表示。试对已售出产品所需的保修费进行估计 （假设平均每个手机的修理费为20 元）。r200.1基本矩阵为：m( iq)12010.930.80.23001100.85500.0510.6840.316于是： bmr010.900.120.720.280010.80.230.80.2由矩阵 b 可以看出，在出售时间不满一年的30 万个手机中，约有 3031.6%9.48万个需要修理，满一年不足两年的20 万个手机中，约有 2028%5.6 万个需要修理，满两年不满三年的10 万个手机中，约有1020%2 万个需要修理。因此，在已售出的60万个手机中，约有17.08万个需要修理。显然，通过计算0.6840.316b(30, 20,10)0.720.28(42.92,17.0可8)直接得到修理的手机为17.08 万0.80.2个。修理费用约为 17.0820341.6 万元。七、其他方面的应用例 1： 例 1.某厂晶体管袖珍收音机销售的分析预测该厂自投放市场以来各个月的销售情况如表，分析下月可能的销量。（1） 选择预测方法该厂业务推销员通过市场调查发现，影响该收音机销量的因素很多，除产品质量、价格、经营管理水平等外， 还与某个时期是否有同类新产品投放市场有关。鉴于各种随机因素影响， 产品销量波动较大， 难以用因果回归分析法预测，拟采用时间序列分析法。时序时序时序（ t）（ t）（t）183.4870.91563.5285.99138.316103.93106.110124.71777.84154.41195.818114.45132.012139.019157.6647.51363.720190.2745.81485.121105.9销量销量销量（2） 绘制时序曲线图从图形看， 时间序列无明显的趋势变动，也没有季节变动， 无法采用趋势外推法或季节变动预测法。但可以将其看作一随机平稳序列。收音机在时刻t 的销售状况一般来说只与其前一刻即t-1 时的销售状况有关，而与t-1 时以前的状况无关，所以考虑采用马尔可夫法。由于只需预测下一月销量的可能性，故用一重链状相关预测。（3） 状态划分销量直接与利润多少相联系，根据利润情况划分产品销售状态。 （1）如每月能销售 100 千台，可以做到不亏损。维持低水平生产。（ 2）销售 150 千台，除缴纳各种锐金，完成企业必要留利外，职工可以得奖金 15 元/人月，正常销售状态。（3）销售大于 150 千台，就处于高水平生产，畅销状态。销量记作 y， 销量的三个状态可作如下划分y150 （千台）（畅销状态）（4） 计算初始概率 pi各种状态出现总点数（n）和分别处于不同状态的点数（mi），计算各状态的初始概率。（表 7-2 ）表 7.2各状态初始概率状态低水平（ e1）正常（ e2 ）畅销（ e3）状态界限（千台） 处于该状态的总数m初始概率 pty100 1010/21100 y15088/21y 150m=n=21 3/21（5） 计算一步转移概率pij从某一状态向另一状态转移的点数mij，计算出一步转移概率。因为m1=10，m11=5，m12 =5，m13=0（转移点数10=5+5 ）所以p11 =5/10 ，p12=5/10，p13=0（一步转移概率）因为m2=8，m 21=4， m22 =1， m23 =2（ 转移点数 10=5+5 ） 所以p21=4/7 ，p22=1/7，p23=2/7（一步转移概率）因为m3=3，m31=0，m32 =2，m33 =1所以p 31=0，p32=2/3，p 33=1/3（一步转移概率）写出一步转移概率矩阵p1/21/20p=4/71/72/702/31/3（6） 预测t+1 期只与 t 期有关，即： 22 期只与 21 期相关，第 21 期的销量为105.9千台，属于正常销售状态e2，（100 105.9 150 ）由此经过一步转移到达各个状态的概率关系： p21 =4/7p 23 =2/7p 22 =1/7p21 突出地大于 p23 和 p22 ，这说明销量在目前状态下， 经一步转移到低水平的可能性最大。故预测第 22 期收音机的销量不会超过 100 千台。例 2.分析预测我国钢铁消耗比钢材和生铁是机械工业的主要用材， 1990 年我国机械工业钢材和生铁的消耗量之比（钢铁消耗比） 将会有多大， 这是经济管理人员和工程技术人员关心的问题，进行分析预测。（1） 远择预测方法：它没有明显的上升或下降趋势，波动较大，带有很大随机性，无法采用趋势外推法。一般情况下，t 年的状态与前一年（ t-1）的状态有关，而与 t-1 年以前的状态关系不大，可近似地认为具有马尔可夫性。1958 年大炼钢铁使钢铁比数值发生较在波动，其他年份我国机械工业在钢铁用量方面的策略比较平稳， 认为近似于一个平稳的随机过程。计算状态转多的频率，代替任一年份t