江苏省镇江市-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017 学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14 小题，每小题5 分，满分 70 分）1. 函数 f（x）=3sin2x的最小正周期是2. 求值： cos2sin2=3. 比较大小： sincos（用“ ”或“”连接）4. 已知扇形的半径是8cm，圆心角是 45的扇形所对的弧长是cm5. 在平面直角坐标系中，240角的终边与单位圆的交点坐标是6. 设 x ， ，则函数 f（ x） =sinx cosx的值域是7. 设函数 f（x）=| lnx| ，a，b 是互不相等的两个实数， f（ a）=f（b），则 ab=8. 函数 y=ax 4+1 图象恒过定点 p，且 p 在幂函数y=（fx）图象上，则 （f16）=9. 函数 f（x）=2sin（x）在 0， 2 内的递减区间是10. 若函数 f（x）=是奇函数，则实数a=11. 已知函数 f（x）=，则不等式 f（x） 2 的解集是12求值：=13. 方程 2sin xlgx2=0 实数解的个数是14. 设定义在 ， 上的函数 f（x） =cosx4x2，则不等式 f（lnx）+20 的解集是二、解答题（共6 小题，满分 90 分）15. 已知实数 a 为常数，u=r，设集合 a= x| 0 ，b= x| y= ，c= x| x2（ 4+a）x+4a0 （1） ）求 ab；（2） ）若?ua? c，求 a 的取值范围 16已知 sin（ ） 2sin（+）=0（1） ）求 sin cos+sin2的值（2） ）若 tan（+） = 1，求 tan 的值 17设 （ 0，），且 cos（+）=（1） ）求 sin 的值；（2） ）求 sin（2+）的值18已知实数 a 为常数，函数 f（x）=a?4x 2x+1（1） ）已知 a=，求函数 f（x）的值域；（2） ）如果函数 y=f（x）在（ 0， 1）内有唯一零点，求实数a 的范围；（3） ）若函数 f（ x）是减函数，求证： a0 19某养殖场原有一块直角梯形的水域abcd，其中 bc，ad 与边ab 垂直， ad=800m，ab=2bc=600m为满足钓鱼爱好者需要， 计划修建两道互相垂直的水上栈道 mf 与 me，点 m，e，f 都在岸边上，其中m 为 ab 的中点，点 e在岸边bc上，设 emb= rad，水上栈道 mf 与 me 的长度和记为 f（）（单位： m）（1） ）写出 f（）关于 的函数关系式，并指出tan 的范围；（2） ）求 f（）的最小值，并求出此时的值20设常数 （ 0，），函数 f（ x） =2cos2（x） 1，且对任意实数x， f（x）=f（x）恒成立（1） ）求 值；（2） ）试把 f（x）表示成关于 sinx 的关系式；（ 3）若 x（ 0， ）时，不等式f（x） 2a?f（） 13f（）恒成立，求实数 a 的范围2016-2017 学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14 小题，每小题5 分，满分 70 分）1. 函数 f（x）=3sin2x的最小正周期是 【考点】 三角函数的周期性及其求法【分析】 利用三角函数的图象与性质即可求出函数f（x）的最小正周期【解答】 解：函数 f（x） =3sin2x 的最小正周期是t=故答案为： 2. 求值： cos2sin2=【考点】 三角函数的化简求值【分析】 直接根据余弦的二倍角公式可得答案【解答】 解：由 cos2sin2=cos（2）=cos=故答案为3. 比较大小： sincos（用“”或“ ”连接）【考点】 三角函数线【分析】 cos=sin，利用正弦函数单调性比较即可【解答】 解： cos=sin，y=sinx在（ 0，）上是增函数，sinsin即 sin 故答案为4. 已知扇形的半径是8cm，圆心角是 45的扇形所对的弧长是2 cm【考点】 弧长公式【分析】 先把圆心角化为弧度数，代入扇形的弧长公式：l= ?r求出弧长【解答】解：圆心角为 45即，由扇形的弧长公式得： 弧长 l= ?r=?8=2cm，故答案为： 25. 在平面直角坐标系中， 240角的终边与单位圆的交点坐标是（，） 【考点】 任意角的三角函数的定义【分析】 根据角 240的终边与单位圆的交点的横坐标是cos240、角 240的终边与单位圆的交点的纵坐标是sin240 ，即可求出角240的终边与单位圆的交点的坐标【解答】 解：由于角 240的终边与单位圆的交点的横坐标是cos240=，由于角 240的终边与单位圆的交点的纵坐标是sin240 =，角 240的终边与单位圆的交点的坐标是（，），故答案为（，）6. 设 x ， ，则函数 f（ x） =sinx cosx的值域是 0，【考点】 三角函数的最值【分析】先根据两角和公式对函数解析式进行化简，再根据正弦函数的性质得出答案【解答】 解： y=sinx cosx=（sinxcosx）=（ sinxcoscosxsin）=sin（x）， x， ， x， ，sin（x） 0，1 ，sin（x） 0， ，即函数的值域为 0， ， 故答案为： 0， 7. 设函数 f（ x）=| lnx| ，a，b 是互不相等的两个实数， f（a）=f（ b），则 ab=1【考点】 函数的零点与方程根的关系【分析】 若互不相等的实数a，b，使 f（ a） =f（b），则 1ga=lgb，结合对数的运算性质，可得答案【解答】 解：函数 f（x）=| lgx| ，若互不相等的实数a，b，使 f（a）=f（ b），则 1ga= lgb，即 lga+lgb=lg（ ab）=0， ab=1， 故答案为： 18. 函数 y=ax4+1 图象恒过定点p，且 p 在幂函数 y=f（x）图象上，则f（16）=4【考点】 指数函数的单调性与特殊点【分析】设幂函数 f（ x）=x（是常数），由 a0=1 求出 y=ax4+1 的图象恒过定点p的坐标，代入函数f（ x）的解析式求出的值，再求出 f（16）的值【解答】 解：设幂函数 f（x）=x（是常数）， 由 x4=0 得 x=4，则 y=2，所以函数 y=ax 4+1 图象恒过定点 p（4，2），由题意得， 2=4，解得，则 f（ x）=，所以 f（16） =4， 故答案为： 49. 函数 f（x）=2sin（x）在 0， 2 内的递减区间是，【考点】 正弦函数的单调性【分析】 利用正弦函数的单调性，求得数f（x）=2sin（x）在 0，2 内的递减区间【解答】 解：对于函数f（ x）=2sin（ x），令 2k+x2k+，求得 2k+ x2k+，可得函数的减区间为 2k+，2k+ ，kz再结合 x 0，2 ，可得函数在 0， 2 内的递减区间是 ， ，故答案为： ， 10若函数 f（x）=是奇函数，则实数【考点】 函数奇偶性的判断a=1【分析】 由题意， f（ x） = f（x），即=，可得a的值【解答】 解：由题意， f（ x）=f（x），即=，（ xa）（ x+1）=（xa）（ x+1）， a=1，故答案为 111已知函数 f（ x）=，则不等式 f（ x）2 的解集是（ 1，1）【考点】 其他不等式的解法【分析】根据函数的解析式对x 分类讨论，分别由指数函数的性质、一元二次不等式的解法求出对应的解集，最后再求出并集，即可得到不等式f（x） 2 的解集【解答】 解：由题意知， f（x）=，当 x0 时，不等式 f（ x） 2 为 2x2， 解得 x1，即 0 x 1；当 x0 时，不等式 f（ x） 2 为 x2+12， 解得 1x1，即 1 x0，综上，不等式的解集是（1，1），故答案为：（ 1，1）由=【考点】 函数的零点与方程根的关系【分析】方程 2sin xlgx2=0，可化为方程 sin x lg| x| =0，即求 y=sin 与x y=lg| x|交点的个数，利用图象，可得结论【解答】 解：方程 2sin xlgx2=0，可化为方程 sin xlg| x| =0，即求 y=sin 与x y=lg| x| 交点的个数，大致图象，如图所示由图象可得，交点个数为20， 故答案为 2014. 设定义在 ， 上的函数 f（x） =cosx4x2，则不等式 f（lnx）+20 的解集是（0，）（，+）【考点】 利用导数研究函数的单调性【分析】 根据函数 f（ x）的单调性求出f（lnx） 2=f（），得到关于 lnx 的不等式，解出即可【解答】 解： f （x）=sinx8x，f （x）=cosx 8 0，故 f （x）在 ， 递减，而 f （0）=0，故 x ，0）时， f （x） 0， x（ 0， 时， f （ x） 0，故 f（ x）在 ，0）递增，在（ 0， 递减， 而 f（ x）=f（ x）， f（x）在 ， 是偶函数，f（）=f（） = 2，不等式 f（lnx）+20， 即 f（ lnx） 2=f（），故 lnx | ，故 lnx，或 lnx，解得： 0x或 x，故答案为：（ 0，）（，+）二、解答题（共6 小题，满分 90 分）15. 已知实数 a 为常数，u=r，设集合 a= x| 0 ，b= x| y= ，c= x| x2（ 4+a）x+4a0 （1） ）求 ab；（2） ）若?ua? c，求 a 的取值范围【考点】 交、并、补集的混合运算【分析】（1）求出集合 a、b，再根据交集的定义写出ab；（ 2）由补集与子集的定义，列出不等式组，求出解集即可【解答】 解：（1）集合 a= x| 0 = x| x 1x3 ，b= x| y= = x| log2x10 = x| x 2 ， a b= x| x 3 ；（ 2）又?ua= x| 1 x 3 ，c= x| x2（ 4+a）x+4a0 = x| （x4）（x a） 0 ，若?ua? c，则，a 的取值范围是 a 116. 已知 sin（ ） 2sin（+）=0（1） ）求 sin cos+sin2的值（2） ）若 tan（+） = 1，求 tan 的值【考点】 两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值【分析】（1）由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求tan =，2 利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解（ 2）由 tan =，2 利用两角和的正切函数公式即可计算得解【解答】 解：（1） sin（） 2sin（+）=0，sin 2cos=，0 可得： tan =，2sin cos+sin2=（ 2） tan =，2可得： tan（+） =解得： tan =3=1，17设 （ 0，），且 cos（+）=（1） ）求 sin 的值；（2） ）求 sin（2+）的值【考点】 两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin（+），将 变形为（ +），将 +看作整体，利用两角差的正弦函数公式计算即可（ 2）由（ 1）可求 cos，利用两角和的正弦函数公式即可计算求值得解【解答】 解：（1） （ 0，），且 cos（ +）= +（，）， sin（+）=，sin =si（n +） =sin（ +）cos cos（ +）sin=（ 2）由（ 1）可得： cos=cso （+） =cos（ +）cos+sin（+）sin=+=，可得： sin（2+）=sin （+）+ =sin（ +）cos+cos（+）sin =+=18. 已知实数 a 为常数，函数 f（x）=a?4x 2x+1（1） ）已知 a=，求函数 f（x）的值域；（2） ）如果函数 y=f（x）在（ 0， 1）内有唯一零点，求实数a 的范围；（3） ）若函数 f（ x）是减函数，求证： a0【考点】 函数零点的判定定理【分析】（1）将 a 代入，对函数配方，利用二次函数求值域；（2） ）换元，设2x=t，t（ 1，2），则 f（t）有唯一零点，利用零点存在定理得到 f（ 1） f（2） 0 即求；（3） ）利用复合函数的单调性得到f（t）=at2t +1，（t 0）为减函数，对 a 进行讨论得到 a 的范围【解答】 解：实数 a 为常数，函数 f（x）=a?4x2x+1（ 1） a=，函数 f（ x） =?4x2x+1=，所以其值域为 ）；（2） ）如果函数 y=f（x）在（0，1）内有唯一零点，设 2x=t，t（ 1，2），则 f（ t）有唯一零点，所以 f（1）f（2） 0 即 a（4a1） 0 解得 0a；（3） ）证明：若函数 f（x）是减函数，则 f（t ）=at2t +1，（t 0）为减函数， a=0， f（t） = t+1 为减函数，满足题意； a0，二次函数开口向上，不满足题意；a 0，对称轴小于 0，满足题意；综上a019. 某养殖场原有一块直角梯形的水域abcd，其中 bc，ad 与边ab 垂直， ad=800m，ab=2bc=600m为满足钓鱼爱好者需要， 计划修建两道互相垂直的水上栈道 mf 与 me，点 m，e，f 都在岸边上，其中m 为 ab 的中点，点 e在岸边bc上，设 emb= rad，水上栈道 mf 与 me 的长度和记为 f（）（单位： m）（1） ）写出 f（）关于 的函数关系式，并指出tan 的范围；（2） ）求 f（）的最小值，并求出此时的值【考点】 三角形中的几何计算【分析】（1）由 e 在 bc上， emb= ，得出 045；利用直角三角形的边角关系求出me、mf，写出 f（ ） =me+mf；（ 2）求出 f（）的导数，利用 f （）=0 求出 f（ ）的最小值以及对应的值【解答】 解：（ 1）梯形 abcd中， bcab，adbc，ad=800m，ab=2bc=600m； mfme，且 m 为 ab 的中点，点 e在 bc上，设 emb=，则 045； me=，mf=，f（）=+，其中 0 45， 0 tan 1；（ 2）由 f（）=+，得 f （）=300（）=300?，令 f （）=0，解得 sin =cos，=45，且 045时， f （ ） 0， f（ ）单调递减；=45时， f（）=+=600，为最小值20. 设常数 （ 0，），函数 f（ x） =2cos2（x） 1，且对任意实数x， f（