抛物线讲义(备课)

抛物线的标准方程知识要点：1. 定义：平面内与一个定点f 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 。点 f 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。2. 标准方程坐标系：使坐标轴经过点f 且垂直于直线l 于 k ，并使原点与线段kf 的中点重合。设 |kf| =p（ p0 ），则抛物线的标准方程及焦点坐标、准线方程如下表：图形y标准方程焦点坐标准线方程lm2y2 px( p0)fxp2， 0xkop2yly22 px ( p0)p， 0xp2fokx2yfx 22 py( p0)0， pyoxp2kl2ykolxx22 py ( p0)0，p2yp2f精品资料3. 几何性质：以抛物线y 2=2px （p0 ）为例。（ 1） 范围 。x0 ， |y|随 x 增大而增大，但无渐近线。（ 2） 对称性 。关于 x 轴对称。（对称轴与准线垂直）（ 3） 顶点 。对称轴与抛物线的交点。（ 4） 离心率 。同椭圆、双曲线离心率定义。e=1 （注 e 与抛物线开口大小无关，开口大小由 p 值确定，画特征草图时，先画出通径（2p ）过焦点且与对称轴垂直的弦）。4. 几个重要的解析结果：（ 1）平行抛物线对称轴的直线和抛物线只有一个交点。（ 2）焦点弦两端点的纵坐标乘积为常数即y 1y 2= p 2（ p0 ）p（ 3）焦半径公式：mfxm2（ 4 ） 焦 点 弦 长 公 式 ： |ab|=x 1+x 2+p （ x 1 、 x 2分 别 为a 、 b的 横 坐 标 ）ab例题：2 psin 2( 为ab的倾斜角），由此可知，通径长为焦点长的最小值：2 p例 1在抛物线y2 =12x 上，求与焦点的距离等于9 的点的坐标 .例 2已知顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线被直线l:y=2x+1截得的弦长为15 ， 求抛物线方程：例 3如果抛物线y2 =px 和圆 (x-2) 2+y 2 =3 相交，它们在x 轴上方的交点为a、 b，那么当 p 为何值时，线段ab 的中点 m 在直线 y=x 上?例 4过抛物线y2 =2px(p 0) 的焦点 f，引两条相互垂直的弦ac 、bd ，求四边形 abcd面积的最小值 .例 5直线 l1 和 l2 相交于 m ，l 1l2，点 n l 1，以 a， b 为端点的曲线段c 上任一点到l217的距离与到点n 的距离相等，若 amn为锐角三角形，am =， an =3 ，且bn =6 ，建立适当坐标系，求曲线段c 的方程 .例 6已知抛物线y 2=2px(p 0). 过动点 m(a,0) 且斜率为1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 a 、b， ab 2p.()求 a 的取值范围 .()若线段 ab 的垂直平分线交x 轴于点 n，求 rt nab 面积的最大值.习题练习：a 级一、选择题1. 抛物线 y=-11 x 2 的准线方程是 ()81a.x=32b.x=2c.y=2d.y=42. 直线 y=kx-2 交抛物线y2 =8x 于 a、b 两点，若 ab 中点的横坐标为2，则 k 等于 ()a.0b.1c.2d.33. 直线和抛物线有且仅有一个公共点是直线和抛物线相切的()a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分也不必要条件4. 若点 p 到点 f(4,0) 的距离比它到定直线x+5=0 的距离小 1 ，则 p 点的轨迹方程是() a.y 2 =-16xb.y 2 =-32xc.y 2=16xd.y 2 =32x5. 抛物线 y 2=2px 上横坐标为6 的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是()a.4b.8c.16d.32二、填空题6. 抛物线 y 2=8x 关于直线y=x 对称的曲线方程是.7. 抛物线 y=4x 2 上到直线y=4x-5 的距离最近的点的坐标是.8.p(x 1 ,y1),p 2 (x 2,y2 )是过抛物线y 2=2px(p 0) 的焦点的弦的两端， 则 y1 y2 =.三、解答题9. 已知抛物线y=ax 2-1 上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a 的取值范围 .10. 已知 a 、b 是抛物线y 2=2px(p 0) 上的两点， 且 oaob(o 为坐标原点 )，求证：(1)a 、 b 两点的横坐标之积为定值；(2) 直线 ab 经过定点 .aa 级一、选择题1. 已知 p(x 0,y0 )是抛物线y2 =2mx 上的任意一点，则点p 到焦点的距离是()a. x0-mmb. x 0+22c. x0-m d. x 0+m 2. 过抛物线的焦点f 的直线与抛物线交于a、b 两点，若a、b 两点在抛物线的准线上的射影是 a 1、 b1 ，则a1 fb 1 等于()a.45 b.60 c.90 d. 1203. 过抛物线 y 2=4x 的焦点 f 作直线，交抛物线于a(x 1,y1)、b(x 2,y2)两点，若x1+x 2=6 ， 则 ab 等于 ()a.4b.6c.8d.104. 动点 p 在曲线 y=2x 2 +1 上移动，则点 p 和定点 a(0 ，-1) 连线的中点的轨迹方程是() a.y=2x 2b.y=4x 2c.y=6x 2d.y=8x 25.f 是抛物线 y 2=2x 的焦点， p 是抛物线上任一点，a(3 ，1)是定点， 则 pf + pa 的最小值是 ()7a.2b.21c.3d.2二、填空题6. 若(4 ，m) 是抛物线y 2=2px 上的一点， f 是抛物线的焦点，且 pf =5, 则抛物线的方程是.7. 抛物线 y 2=2x 上的两点a、b 到焦点 f 的距离之和是5 ，则线段 ab 的中点 m 的横坐标是.8. 若抛物线y2-mx-2y+4m+1=0的准线与双曲线22xy-=1 的右准线重合，则m 的值124是.三、解答题9. 已知椭圆x 2+y 2=1 的焦点为f1 、f 2，抛物线y 2=px(p 0)与椭圆在第一象限的交点4为 q ，若f1 qf 2=60 ，(1) 求f1 qf 2 的面积； (2) 求此抛物线的方程.10. 已知直线l 过原点，抛物线c 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，若a(-1 ，0) ， b(0 ， 8) 关于直线l 对称的点都在c 上，求直线l 和抛物线c 的方程 .aaa 级一、选择题1. 抛物线 y=2ax 2 (a 0) 的焦点坐标是 ()a.(a,0)b.(0,2a)c.(211,0)d.(0,)8a8a2. 长度为 4 的线段 ab 的两个端点a、b 都在抛物线x2 =4y 上，则线段ab 的中点 m 的纵坐标的最小值为()1a.2b.1c.2d.43. 抛物线 y=x 2 上到直线2x-y-4=0最近的点的坐标是()1a.(，21)b.(1 ，1)c.(439，)d.(2 ， 4)244. 已知抛物线y2 =2px(p 0) 上有一点m(4,y) ，它到焦点f 的距离为5 ，则ofm 的面积(o 为原点 ) 为()a.1b.2c.2d.225. 若点 p 在抛物线y 2=x 上，点 q 在圆 (x-3) 2 +y 2=1 上，则 pq 的最小值等于()a.3-1b.10-1c.2d.21 (11 -2)2二、填空题6. 已知抛物线y2 =4ax(a 0) 上一点 a(m,n) 到焦点 f 的距离为4a ，则 m=,n=.7. 抛物线y2=16x上的一点p 到 x 轴的距离为12 ，则 p 与焦点f 间的距离 pf =；8. 定点 a(3 ，2) 是抛物线y2=2px(p 0) 内部的一点， f 是抛物线的焦点，点q 在抛物线上移动，已知aq + qf 的最小值为4，则 p=.三、解答题9. 设抛物线 y 2=2px(p 0) 的弦 pq 交 x 轴于点 r，过 p、q 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 m、n，求证： or 是