最值问题解题思路奥数

马到成功奥数专题:离散最值引言：在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：1. 着眼于极端情形；2. 分析推理 确定最值；3. 枚举比较 确定最值；4. 估计并构造。离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中，学好它可为解决数论，计数， 应用问题等打下扎实的基础。一、从极端情形入手从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。题目 1.一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10 个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“ 4” ，黄色小球上标有数字“ 5” ，绿色小球上标有数字“ 6 ” 。小明从袋中摸出 8 个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？解：假设摸出的8 个球全是红球，则数字之和为（4 8= ） 32，与实际的和39 相差 7 ，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球，数字和可增加（6 4= ） 2 ，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（ 5-4= ）1 。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在7 2=31 ，因此可用 3 个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样8 个球的数字之和正好等于39 。所以要使8 个球的数字之和为39 ，其中最多可能有（8-3-1= ） 4 个是红球。精品资料题目 2.有 13 个不同正整数， 它们的和是100 。问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？ 解： 2+4+6+8+10+12+14+16=72还要有 5 个奇数，但和是奇数，100 是偶数，所以只能少一个偶数，2+4+6+8+10+12+14=56100-56=4242=1+3+5+7+9+17，最多有7 个偶数。 1+3+5+7+9+11+13+15=64还要 5 个偶数， 100-64=3636=2+4+6+8+16最 少 有 5 个偶数。题目 3.一种小型天平称备有1 克、 3 克、 5 克、 7 克、 9 克 5 种砝码。为了能称出1 克到91 克的任意一种整数克重量，如果只允许在天平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个。解：要能称出1 克到 91 克的任意一种整数克重量，要有9 个 9 克 、 1 个 5 克 、 1 个 3 克 、2 个 1 克，它们的和是91，这样即可。需要9+1+1+2=13个。题目 4.一台计算器大部分按键失灵，只有数字“ 7” 和“ 0 ”以及加法键尚能使用，因此可以输入77，707 这样只含数字7 和 0 的数，并且进行加法运算。为了显示出222222 ， 最少要按 “ 7” 键多少次？222222-70000*3=12222按下了 3 个 712222-7000*1=5222按 下 了 1 个 75222-700*7=322按 下 了 7 个 7322-70*4=42按 下 了 4 个742-7*6=0按下了6 个 7 。3+1+7+4+6=21次二、枚举法与逐步调整当我们在有限数中求最大（或最小）值时，枚举法是常用基本方法之一。这种方法的大意是： 将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。题目 5.将 6，7，8 ，9，10 按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？解：要使乘积最小，就要每个数尽可能小。对于10，旁边添6 和 7 ，这样积小一些。于是有两种添法：-题目 6.某公共汽车从起点开往终点站，中途共有13 个停车站。 如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？解法 1：只需求车上最多有多少人。依题意列表如下：由上表可见，车上最多有56 人，这就是说至少应有56 个座位。说明： 本题问句出现了“ 至少” 二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人 数。所以， 我们不能只看表面现象，误认为有了 “ 至少 ” 就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。解法 2 ：因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站 1 人）， 这一人数也和本站上车的人数一样多，因此车开出时人数 = （以前的站数+1 ） 以后站数=站号 （ 15- 站号）。因此只要比较下列数的大小：1 14 ， 2 13，3 12，4 11 ， 5 10 ，6 9 ，7 8 ， 8 7， 9 6， 10 5，11 4 ， 12 3，13 2，14 1 。由这些数，得知7 8 和 8 7 是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是56 人，所以它应有 56 个座位。说明： 此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。题 目 7.在如图 18-2 所示得 2*8 方格表中，第一行得8 个方格内依次写着1、2 、3 、4 、5、 6、7 、8。如果再把1 、2、 3、4、5 、6、 7、8 按适当得顺序分别填入第二行的8 个方格内，使得每列两数的8 个差数两两不同，那么第二行所显示的八位数最大可能值是多少？解：这 8 个差分别是0 ， 1， 2， 3 ，4 ， 5， 6， 7 ，和为 28，分成两组，每组14 。8 和 7 必然填在 1，2 两个方格内。前两列的差是7 和 5 ，第 3 个如果填6，那么 7+5+3超过 14 ，所以只能填5，此时3 个差为7、5 、2，和为 14 ，第 4 个格子只能填4，填 6 就会有重复。数字 6 只能填在第7 格，再凑一凑即可得出87541362 。三、从简单情形入手解决复杂问题可以从简单问题入手，经过分析得出规律，也就找到了解决复杂问题的方法。题目 8.从 123456789101199100 中 划去100 个数字， 其他数字顺序不变，求剩下数中的最大数和与最大数位数相同的最小数。分析与解将此题简化为从12345678910中划去 9 个数字 .利用枚举法不难得出剩下的两位数最大数为91 ，最小数为10，也就是在求最大数时，高位上的数字尽可能取大数字；求最小数时，高位上尽可能取小数字。本题中从12345678910中划去10 个数字剩下9；从111213484950 中 划去76 个数字剩下4 个 9 ；再从 51525354555657585960中划去 14个数字剩下尽可能大的数是785960 ，从而得到所求的最大数999997859606199100 。求最小值时，从12345678910中划去 9 个数字剩下10，从 11121314484950中划去 76个数字剩下4 个 0，再从 51525354555657585960中划去 15 个数字剩下尽可能小的数12340 ，从而得到所求最小数10000012340616299100 。题目 9.将 1，2 ， 3 ， 49 ，50 任意分成10 组，每组5 个数。在每一组中，数值居中的那个数称为“ 中位数 ” 。求这 10 个中位数之和的最大值与最小值。解： 1 ， 2， 3， 49 ，50 4 ， 5 ， 6，47 ， 4828 ， 29 ，30 ， 31， 32 3+6+30=165 （最小值）1 ，2 ， 48， 49 ，50 3 ，4 ， 45 ，46 ， 4719 ， 20 ， 21， 22， 2348+45+21=345 （最大值）1 9 10 1 9 92+8=10 2 8=163 7=10 3 7=214+6=10 4 6=245+5 10 5 5=25四、和一定问题例如， 和为 10 的两个自然数， 它们的积的最大值是什么？我们知道和为10 的自然数共有5 对，每对自然数乘积后又得到5 个不同的数，如下表：由此我们得到，当这两个自然数都取5 时积有最大值25 。成立。也就是和一定时差最小乘积越大。题 目 10.有 3 条线段 a,b,c ，线段a 长 2.12 米 ， 线段b 场 2.71 米 ， 线段c 长 3.53 米 。 如图18-1 ，以它们作为上底、下底和高，可以作出3 个相同的梯形。问第几号梯形的面积最大？解：由于梯形体积=（上底 +下底） *高/2在和一定的情况下，要使乘积最大，让两个数越接近。可见a+b 与 c 十分接近，所以 的面积最大。题目 11.如果将进货单价为40 元的商品按50 元售出，那么每个的利润是10 元，但只能卖出 500 个。当这种商品每个涨价1 元时，其销售量就减少10 个。为了赚得最多的利润， 售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x ）元，则销量为（500-10x ）个。总共可以获利（ 50 x-40 ） （ 500-10x ）=10 （10+x ）（ 50-x ）（元）。因（10+x ）+（ 50 x）=60 为一定值， 故当 10+x=50 x 即 x=20 时， 它们的积最大。此时，每个的销售价为50 20=70 （元）题目 12.用 3 ， 4， 5， 6， 7 ， 8 六个数字排成三个两位数相乘，要求它们的乘积最大。应该怎样排列？【分析与解】 十位数字分别是8、7、6，876, 个位数字分别是5 ，4，3 ，543 ，依据 “ 接近原则 ” ，大小搭配可得83 74 65 ，三个数最接近因而它们的乘积最大。综上数例，可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。简单地说就是：数越接近，乘积越大。综上数例，可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。简单地说就是：数越接近，乘积越大 。五、积一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量， 如果在变化的过程中，乘积始终保持不变，那么它们的差越小，和就越小。若它们能够相等，则当它们相等时，和最小。题目 13.长方形的面积为144 cm 2 ，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？解：设长方形的长和宽分别为xcm 和ycm ，则有xy 144 。故当 x=y=12 时， x+y 有最小值，从而长方形周长2（ x y）也有最小值。题目 14.农场计划挖一个面积为432 m 2 的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3m 和 4m的堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？ 解：如图所示，设水池的长和宽分别为xm 和 ym ，则有xy 432 。占地总面积为s= （ x 6 ）（ y 8） cm 2 。于是s=xy+6y+8x 48 6y+8x+480。我们知道6y 8x=48 432 为一定值，故当6y=8x时， s 最小，此时有6y=8x=144， 故 y=24 ， x=18 。六、从整体入手从整体抓住数据的本质特征进行分析，较易突破难点。题目 15.在 10 ，9 ，8 ，7 ，6，5 ，4 ，3， 2，1 这 10 个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1 ）算式的结果等于37；（ 2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？题目 16.在 10， 9， 8， 7， 6， 5， 4， 3，2， 1 这 10 个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1 ）算式的结果等于37 ；（ 2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？解：把 10 个数都添上加号， 它们的和是55 ，如果把其中一个数的前面的加号换成减号， 使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的2 倍 。因为 55-37 18 ，所以我们变成减数的这些数之和是18 2=9 。对于大于2 的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好 （不包括1）。9 最多可拆成三数之和2 3 4=9 ，因此这些减数的最大乘积是2 3 4 24 ，添上加、 减号的算式是10 9 8 7 65- 4- 3- 21 37 。七、抓不等关系题目 17.某校决定出版“ 作文集 ” ，费用是 30 册以内为80 元，超过 30 册的每册增加1.20元。当印刷多少册以上时，每册费用在1.50 元以内？解：显然印刷的册数应该大于30。设印刷了（30 x）册，于是总用费为（80+1.2x ）元。故有80+1.2x 1.5 （ 30+x ），答案 :117+30=147 以内。题目 18.有 4 袋糖块，其中任意3 袋的总和都超过60 块。那么这4 袋糖块的总和最少有多少块？解：要使其中任意3 袋的总和都超过60 块，那么至少也是61 ，先在每袋中放20 个糖块， 但任意 3 袋中至少一个21，否则就无法超过60。要使任意3 袋中至少一个21，这 4 个袋子的糖块分别是20， 20 ，21 ， 21。和为 20+20+21+21=82八、抓相等关系题目 19.10 位小学生的平均身高是1.5 米。其中有一些低于1.5 米的， 他们的平均身高是1.2 米；另一些高于1.5 米的平均身高是1.7 米。那么最多有多少位同学的身高恰好是1.5米？解: 要最多有多少位同学的身高恰好是1.5 米，就要使低于和高于1.5 米的人越少，设高于和低于的人分别为a,b。可得： 1.2a+1.7b=1.5(a+b)2b=3a至少是 5 人那么最多有 10-5=5位同学的身高恰好是1.5 米 。-题目 20.4 个不同的真分数的分子都是1，它们的分母只有2 个奇数、 2 个是偶数，而且 2个分母是奇数的分数之和与2 个分母是偶数的分数之和相等。这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的偶数尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？解： 1/ 奇+1/ 奇=1/ 偶+1/ 偶偶/奇=（偶 +偶)/偶偶奇*（偶+ 偶） =偶*偶*偶。因为偶 *偶*偶是 8 的倍数所以偶+偶是 8 的倍数若 是 8 ， 只 能 为 2 和 6 则 1/2+1/6=1/3+1/3不符合题意，因为奇相等;若是 16，有1/6+1/10=1/5+1/15因此本题答案是16 。九、位值展开式题目 21.一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？ 解：设两位数位ab（ a 表示十位数字，b 表 示 个 位 数 字 ） ab=(10a+b)/(a+b)=(9a)/(a+b)+1a+b 最大是 18 ，此时余数为9当 a+b=17 ， 若 a=9余数为 13若 b=9余数为4题目 22.当 a+b=16 ， 若 a=9余数为 1若 b=9余数为 15此时余数最大。由 3 个 非零数字组成的三位数与这3 个数字之和的商记为k 。如果 k 是整数，那么k 的最大值是多少？解：设这个数为abc （ a 表示百位数字，b 表示十位数字，c 表示个位数字）那么 abc/ （ a+b+c ） =k(100a+10b+c)/(a+b+c)=k要使这个算式最大，就要让a 尽可能大， b,c 尽可能的小。 试一下： 911/ （9+1+1 ）=829 ，811/ （8+1+1 ）=811，711/（7+1+1 ） =79 ，所以k 最大是 79 。题目 23. 用 1 ，3，5 ，7，9 这 5 个数组成一个三位数 abc 和一个两位数 de ，再用 0 ，2 ， 4， 6 ， 8 这 5 个数组成一个三位数 fgh 和一个两位数 ij。求算式 abc de fgh ij 的计算结果的最大值。解：要使 abc*de-fgh*ij这个算式最大就要使abc*de最大， fgh*ij最小。那么前面最大是 751*93 。后面最小是468*20 。那么算式的最小值是751*93-468*20=60483十、“ 估计+构造”“ 估计 +构造 ” 是解离散最值问题的一种常用方法，要求某个离散最值，先估计该量的上界或下界， 然后构造出一个实例说明此上界或下界能够达到，这样便求出了这个量的最大值或最小值。题目 24.把 1 ，2 ，3 ，12 填在左下图的12 个圆圈里， 然后将任意两个相邻的数相加， 得到一些和，要使这些和都不超过整数n， n 至少是多少？为什么？并请你设计一种填法， 满足你的结论。解：因为1+2 3 12=78 ， 78 2 12 13，所以 n 13。又考虑到与12 相邻的数最小是1 和 2， 所 以 n 至 少是14。右上图是一种满足要求的填法。十一、转化与对称思想转化思想是数学思想之一，把复杂问题转化成简单问题，从而达到解决问题的目的.在平面上有两个点a、 b，把 a、b 用线连结起来有许多种方法，可用线段、弧线、折线等. 在这无穷多种连结方法中，线段最短，因而我们也称线段ab 的 长叫a、 b 两点间的距离。我们可以做一个有趣的实验：在一个长方体的上面n 点放上食品， 在长方体侧面abcd 上 m 点放一只蚂蚁（如图3），蚂蚁从侧面经过棱ad 到 n 有无穷多种走法（如图4 ）， 我们关心的问题是蚂蚁怎样走路程最短？在这个立体图形中找出答案是很困难的，直接连结mn 则不经过棱ad ，与条件不符. 为了使问题简化，我们将长方体展成平面图形，连结mn 交 ad 于 p. 由公理，两点之间线段最短，可知蚂蚁从m 点沿直线mp 爬到 p 后， 再由 p 点沿直线pn 爬到 n 时走过的路程最短。题目 25.如图 11 某次划船比赛规定从a 点出发，先到左岸然后到右岸然后再到b 点，时间少者取胜 .请你设计一条航线，使船走的路程最短.由于两点间的距离线段最短，我们想办法把问题转化为求两点距离问题。如图，找到a 点关于左岸的轴对称点，b 点关于右岸的轴对称点，连结a b ，与左岸、右岸分别有交点c 、d ，沿折线acdb 航行就是最短航线。十二、学写说理题题目 26.23 个不同的自然数的和是4845 。问：这23 个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少？写出你的结论，并说明理由。.17 。解：设这23 个彼此不同的自然数为a1， a2 ， a22 ， a23 ，并且它们的最大公约数是d，则a1=db1 ， a2=db2 ， a22=db22 ， a23=db23 。依题意，有4845=a1+a2+a22+a23=d （ b1+b2+b22+b23 ） 。因为 b1 ， b2 ，b22 ，b23 也是彼此不等的自然数，所以b1+b2+b23 1+2+23=276 。因 为 4845=d （ b1+b2+b22+b23 ） 276 d，所以又因为 4845=19 17 15 ，因此 d 的最大值可能是17 。当 a1=17 ，a2=17 2，a3=17 3，a21=17 21 ，a22=17 22 ，a23=17 32 时，得a1+a2+a22+a23=17 （ 1+2+22 ） +17 32=17 253+17 32=17 285=4845 。而（ a1 ， a2 ，a22 ，a23 ） =17 。所以 d 的最大值等于17。解题在于实践：题目 27.设 a 1，a 2，a3， a4 ，a5， a6 是 1 到 9 中任意 6 个不同的正整数，并且a 1 a 2 a3a 4 a5 a 6。试用这6 个数分别组成2 个三位数，使它们的乘积最大。分析与解：由于 a1 ， ， a6 具体大小不清楚，因此先取特殊数 1， 2 ， 3， 4， 5，6 这 6 个不同的数考虑。 要使 2 个三位数的乘积最大， 必须使这 2 个数的百位数最大， 应分别是 6 ， 5；而十位数次大，应分别为 4 ， 3，个位数最小，应分别为 2 ，1 。因为当 2 个数之和一定时，这 2 个数之差越小， 它们的乘积越大，所以这 2 个数是 631和 542 。题目 28.8 个互不相同的正整数的总和是56 ，如果去掉最大的数及最小的数，那么剩下的数的总和是44 。问：剩下的数中，最小的数是多少？解：因为最大数与最小数的和是56 44=12 ，所以最大数不会超过11 。去掉最大和最小数后剩下的6 个互不相同的自然数在2 10 之间，且总和为44 ，这 6 个数只能是4， 6 ， 7， 8 ， 9， 10 。题目 29.采石场采出了200 块花岗石料，其中有120 块各重 7 吨，其余的每块各重9吨，每节火车车皮至多载重40 吨，为了运出这批石料，至少需要多少节车皮？解：每节车皮所装石料不能超出5 块，故车皮数不能少于200 5=40 （节），而40 节车皮可按如下办法分装石料：每节装运3 块 7 吨的和两块9 吨的石料，故知 40 节可以满足要求。题目 30.一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开 4 个进水管时需要5 小时才能注满水池；当打开 2 个进水管时， 需要 15 小时才能注满水池；现在需要在2 小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？分析 本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引入参