高考理科数学复习圆锥曲线题型总结1

直线和圆锥曲线常考题型（1）运用的知识：1、中点坐标公式：xx1x2 ,yy1y2，其中x, y 是点a( x, y )， b(x, y )的中点坐标。1122222、弦长公式：若点a( x1, y1)， b( x2 ,y2 ) 在直线ykxb(k0) 上，则 y1kx1b， y2kx2b ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，ab( xx )2( yy )2( xx )2( kxkx ) 2(1k 2 )( xx )21212121212(1k2 )( xx )24x x 121 222112212或 者 ab( x1x2 )( y1y2 )(x1 kx2 )( y1ky2 )(1k2 )( y1y2 )1212(12 )( y1ky )24 y y 。3、两条直线l1 :yk1 xb1, l2: yk2 xb2 垂直：则k1k21两条直线垂直，则直线所在的向量2v1 v20bc4、韦达定理：若一元二次方程常见的一些题型：axbxc0(a0) 有两个不同的根x1 , x2 ， 则 x1x2, x1 x2。aa题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系x2y2例题 1、已知直线l : ykx1 与椭圆c :1 始终有交点，求m 的取值范围4mx2y2解：根据直线l : ykx1 的方程可知，直线恒过定点（0 ， 1），椭圆c :1 过动点（0，m ), 且m4 ，如果直线4mx2y2l : ykx1 和椭圆c :1 始终有交点，则m1，且 m4 ，即 1m且m4 。4m题型二：弦的垂直平分线问题例题 2、过点 t(-1,0) 作直线 l 与曲线 n ： y2x 交于 a、b 两点， 在 x 轴上是否存在一点e( x0 ,0)，使得abe 是等边三角形， 若存在，求出 x0 ；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线l : yk( x1) ， k0 ， a( x1 , y1) ， b( x2 , y2 ) 。yk( x由1)消 y 整理，得y2xk 2 x2(2k 21)xk20由直线和抛物线交于两点，得(2 k 21)24k44k210即 0k2142k 21由韦达定理，得：x1x2k 2, x1 x21 。则线段 ab 的中点为 (2k22k 211,) 。2 k线段的垂直平分线方程为：1112k 2y( x2) 2kk2k1111令 y=0, 得 x0，则 e(,0)2k 222k 22abe为正三角形，113e( 2k 2,0)2到直线 ab 的距离 d 为ab 。22ab( xx )2( yy ) 2214k1k 21 k 2d2 k1212k314k22k21k 21 k 22 k395解得 k满足式此时x0。133题型三：动弦过定点的问题x2y 23例题 3、已知椭圆c：2a（i）求椭圆的方程；21(abb0) 的离心率为，且在 x 轴上的顶点分别为a 1(-2,0),a 2 (2,0)。2（ii ）若直线l : xt (t2) 与 x 轴交于点t,点 p 为直线 l 上异于点 t 的任一点，直线pa1,pa2 分别与椭圆交于m 、n 点，试问直线mn是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论解：（ i）由已知椭圆c 的离心率 eca3 ， a22 ,则得 c3, b1。2x从而椭圆的方程为y214（ ii ）设m (x1,y1 ) ，n (x2 , y2 ) ，直线a1m 的斜率为k1 ,则直线a1m 的方程yk1( x2)222为 yk1 ( x2) ，由x24y2消 y 整理得4(14k1 ) x16k2 x16k1402和x是方程的两个根，2x16k14211114k 2128k21则 x， y4k1，2114k1114k 2即点 m 的坐标为28k 21(14k 2,4k1) ，14k 2118k 224k同理，设直线a 2n 的斜率为 k2，则得点 n 的坐标为(214k 2,2)14k 2yk (t2), yk (t2)22k1k22 ，p1p2k1k2t直线 mn 的方程为：yy1xx1y2y1，x2x1令 y=0 ， 得 xx2 y1y14x1 y2 y2，将点 m 、n 的坐标代入，化简后得：x4t又t2 ，02椭圆的焦点为(3, 0) t443433 ，即 t故当 t时， mn 过椭圆的焦点。t33题型四：过已知曲线上定点的弦的问题x2y2例题 4、已知点a、b、c 是椭圆 e：221ab( ab0) 上的三点，其中点a (23,0) 是椭圆的右顶点，直线bc 过椭圆的中心 o，且ac bc0 ， bc2 ac ，如图。(i) 求点 c 的坐标及椭圆e 的方程；(ii) 若椭圆 e 上存在两点 p、q，使得直线pc 与直线 qc 关于直线 x3 对称，求直线pq 的斜率。解： (i)bc2ac ，且 bc 过椭圆的中心oocacac bc0aco又a (23,0)2点 c 的坐标为 (3,3) 。a (23,0) 是椭圆的右顶点，x2y 2a23 ，则椭圆方程为：2112b2将 点 c (3,3) 代入方程，得b4 ，x2y2椭圆 e 的方程为1124(ii)直线 pc 与直线 qc 关于直线 x3 对称，设直线 pc 的斜率为 k ，则直线qc 的斜率为k ，从而直线pc 的方程为：y3k( x3) ， 即ykx3(1k) ，由ykx3(1k) 消 y，整理得：x23 y2120(13k 2 )x263k(1k ) x9k 218k30x3 是方程的一个根，2x39k18k3p13k 2即 xp9k18k3223(13k )同理可得：9k 218k3xq3(13k 2 )ypyqkxp3(1k)kxq3(1k) k( xpxq )23k12 k3(13k 2 )xpxq9k218k3(13k39k218k32 )3(13k 2 )36 kypyq13(13k 2 )kpq1xpxq3则直线 pq 的斜率为定值。3题型六：面积问题22例题 6、已知椭圆c： xay2621 （ ab0）的离心率为,b3短轴一个端点到右焦点的距离为3 。（）求椭圆c 的方程；（）设直线l 与椭圆 c 交于 a、b 两点，坐标原点o 到直线 l 的距离为3 ，求 aob 面积的最大值。2c6 ，解：（）设椭圆的半焦距为c ，依题意a3a3，2b1 ，所求椭圆方程为x3y21。（）设a(x1， y1) ， b( x2， y2 ) 。（1）当 ab x轴时，ab3 。（ 2）当 ab 与 x 轴不垂直时，设直线 ab 的方程为 ykxm 。由已知m1k 23 ， 得 m223 ( k241) 。把 ykxm 代入椭圆方程，整理得(3k 21)x26kmx3m230 ，6km3(m21)x1x23k 2， x1x21。3k 212222ab(1k 2 )( xx ) 2(1k2 )36k m12(m1)21(3k 21)23k 2112( k21)(3k 21m2 )3(k 21)(9k21)(3k 21)2(3k 21)212k 212123429k6k139 k21(k26k0) 34 。236当且仅当9k2132 ， 即 k时等号成立。当kk30 时， ab3 ，综上所述ab max2。133当 ab 最大时， aob 面积取最大值sabmax。题型七：弦或弦长为定值问题222=2py（ p0）相交于a、b 两点。例题 7、在平面直角坐标系xoy 中，过定点c（ 0，p）作直线与抛物线x2（）若点n 是点 c 关于坐标原点o 的对称点，求anb 面积的最小值；（）是否存在垂直于y 轴的直线l，使得 l 被以 ac 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。x2（）依题意，点n 的坐标为 n（ 0,-p） ,可设 a （x 1,y 1）,b （x2,y2），直线 ab 的方程为 y=kx+p, 与 x2=2py 联立得2 py消去y 得 x2-2pkx-2p 2=0.由韦达定理得x1 +x2=2pk,x 1x2=-2p 2.ykxp.于 是 s abns bcns acn12 p x1x22 p xxp( xx ) 24x x12121 2 p4p2k 28 p22 p2k 22.当k0时，（ s abn）min22 p2 .（）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a,ac的中点为o ,t与ac为直径的圆相交于点p、q， pq 的中点为h，则o hpq,o 点的坐标为（x1 , y1p） 22o p1 ac 2122122x1( y1p)2y1p.2o hay1p 21 2ayp , 21222pho po h122=( y1p ) 4p1 ( 2a42y1p) (a) y12a( pa),22pq( 2 ph )= 4 (ap) y22a( pa) .a令p0 ， 得 a 2p , 此时 pq 2p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为yp ，2即抛物线的通径所在的直线.解 法 2：（）前同解法1，再由弦长公式得ab1k 2 xx1k 2( xx )24 x x1k24 p2 k28 p212121 2 2 p1k 2k 22.又由点到直线的距离公式得d2 p.1k 2从而，s abn1 dab12 p1k 2k 222 p2 p 2k 22 ,221k2当k0时，（ sabn）max22 p2.（）假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a ，则以 ac 为直径的圆的方程为( x0)( xx1 )( yp )( yy1 )0, 将直线方程y=a 代入得2xx1 x1则x2(a4(ap)(ap)( ay1)0,y1 )4 (ap)y1 2a( pa).11设直线 l 与以 ac 为直径的圆的交点为p（ x2,y2） ,q（x 4,y4） ,则有pqx3x44 (ap) y 2a( pa)2( ap) y 2a( pa).令 ap 20,得ap ,此时 pq 2p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为yp .2即抛物线的通径所在的直线。问题九：四点共线问题x2y2例题 9、设椭圆c : a 2b21(ab0) 过 点m (2,1) ，且着焦点为f1 (2,0)（）求椭圆c 的方程；（）当过点p (4,1) 的动直线 l 与椭圆 c 相交与两不同点a, b 时，在线段 ab 上取点 q ，满足apqbaqpb，证明： 点q总在某定直线上解 (1) 由题意：c22211，解得 a 24, b 22 ，所求椭圆方程为x2y21a2b242c2a2b2(2) 方法一设点 q、a 、b 的坐标分别为(x, y),( x1,y1 ),( x 2 , y2 ) 。由题设知ap , pb, aq, qb 均不为零，记apaqpbqb,则0 且1又 a， p， b，q 四点共线，从而appb, aqqb于是4x1x2 ，1x1x21y1y21y1y2x，y11从而xx222124x ，（ 1）222yy12y ，（2）1212又点 a、b 在椭圆 c 上，即x22 y24,(3)x22 y 24,(4)1122（ 1）+（2） 2 并结合（ 3），（ 4）得 4s2 y4即点 q( x, y) 总在定直线 2xy20 上方法二设点 q( x, y), a(x1, y1 ), b(x2 , y2 )，由题设，pa , pb, aq, qb 均不为零。papb且aqqb又p, a, q, b 四点共线，可设paaq, pbbq(0,1) ,于是x4x , y1y（ 1）1111x4x1y2, y2（2）11由 于 a(x , y ), b( x , y) 在椭圆 c 上，将（ 1），（2）分别代入c 的方程 x22 y24, 整理得1122( x22 y24)24(2 xy2)140（ 3）( x22 y24)24(2 xy2)140(4)(4) (3)得8(2 xy2)00, 2xy20即点 q( x, y) 总在定直线2xy20 上问题十：范围问题（本质是函数问题）x2设 f1 、 f2 分别是椭圆4y21 的左、右焦点。（）若 p 是该椭圆上的一个动点，求pf1 pf2的最大值和最小值；（）设过定点m (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点a、 b ，且 aob 为锐角（其中o 为坐标原点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围。解：（）解法一：易知a2, b1,c3所 以 f13,0, f23,0，设 px, y，则x21pf1pf23 x,y,3x,yx2y23x2133 x2844因 为 x2,2，故当 x0 ，即点 p 为椭圆短轴端点时，pf1pf2 有最小值2当 x2 ，即点 p 为椭圆长轴端点时，pf1pf2 有最大值 1解法二：易知a2, b1,c3 ，所以 f13,0, f23,0，设 px, y，则222pf1pf2pf1pf2cosf1 pf2pf1pf2pf1pf2 2 pf1f1 f2 pf21222222x3yx32y12xy3 （以下同解法一）（）显然直线x0不满足题设条件，可设直线l : ykx2, ax1 , y2, bx2, y2，ykx联立x2y22，消去 y ，整理得：k 211 x244kx304 x1x24k1 , x1x2k 23k214421由4k4k434k 230 得：33k或 k220又 0a0 b900cosa0 b0oa ob0 oa obx1x2y1 y20又 y1 y2kx12 kx222k x1 x22kx1x23k24k 28k241k 2144k 21k 2143k 21k 21k210 ，即k242k244故由、得332k或k2 22问题十一、存在性问题： （存在点，存在直线y=kx+m ，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）x2y2设椭圆 e:221（ a,b0） 过 m （2，2 ） ， n(6 ,1)两点， o 为坐标原点，ab（i）求椭圆 e 的方程；（ii ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆e 恒有两个交点a,b, 且 oaob ？若存在， 写出该圆的方程， 并求| ab| 的取值范围，若不存在说明理由。2解:（ 1）因为椭圆e:xa 2421y2b21 （a,b0）过 m （ 2，2 ） ，n(6 ,1) 两点,11a2b 2a 28a28x2y2所以解得61所以11b2椭圆 e 的方程为1484a2b 21b24（ 2 ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆e 恒有两个交点a,b, 且 oaob ,设该圆的切线方程为22ykxmykxm 解方程组x2y1得 x2(kxm)28 ,即 (12k 2 ) x24kmx2 m280 , w.w.w.k.s.5.u.c.o.m则 = 16k 2m2xx844(12k 2 )(2 m24km8)8(8k 2m24)0 ,即 8k2m2401212k2,2m28x1 x2212kk2 (2 m28)4k2 m2m28k 2222y1 y2(kx1m)( kx2m)k x1x2km( x1x2 )m12 k212k 2m12k 2要使 oaob ,22222m8m8k2223m822需 使 x1x2y1 y20 ,即12 k212 k20 ,所以 3m8k80 ,所以 k0