造桥选址问题的拓展

造桥选址问题的拓展利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。下面就课本中一道习题，加以拓展探究，我们可发现其一般规律。一、原题再现如图 1， a 和 b 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥mn 。桥造在何处才能使从 a 到 b 的路径 amnb 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。（人教课标七年级下册2007 年第二版 37 页第 7 题）分析：由于河岸宽度是固定的，造的桥要与河垂直，因此路径amnb 中的mn 的长度是固定的。我们可以将点 a 沿与河垂直的方向平移mn 的距离到 a1，那么为了使 amnb最短，只需 a1 b 最短。根据两点之间距离最短，连接a1b，交河岸于点 n，在此处造桥 mn ，所得路径 amnb 就是最短路径。如图2。精品资料证明：如图 3，如果在不同于mn 的位置造桥 m1 n1 。由于 m1 n1=mn=aa 1； 又根据“两点之间，线段最短”。可知，an 1+n 1ba 1n+nb 。所以，路径 amnb 要短于 am 1n1 b。二、拓展应用拓展 1： 如图 4，如果 a、b 两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。我们如何找到这个最短的距离呢？方法 1：仿照上例，可以将点a 沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到a1、a2，路径中两座桥的长度是固定的。为了使路径最短，只要a2b 最短。连接 a2b，交河流 2 河岸于 n，在此处造桥 mn ；连接 a1 m，交河流 1 河岸于 p， 在此处造桥 pq。所得路径 aqpmnb 最短。方法 2：此题还可以用以下方法来确定建桥位置。如图 6，将点 a 沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到a1，将 b 沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到b1 ，连接 a1b1 与两条河分别相交于n、p， 在 n、p 两处，分别建桥mn 、pq，所得路径 aqpmnb 最短。拓展 2： 如图 7，如果 a、b 之间有三条平行的河流呢？方法 1：仿照拓展二方法 1 ，将点 a 沿与河垂直的方向平移 s 三个河宽分别到到 a1 、a2、a 3，路径中三座桥的长度是固定的。为了使路径最短，只要 a3b 最短。连接 a3b，交河流 3 于 n，在此处造桥 mn ；连接 a2n ，交河流 2 于 p，在此处造桥 pq ；连接 a1q ，交河流 1 于 r，在此处造桥 rs 。所得路径 asrqpmnb最短。方法 2：此处还可以先将a 沿与河流 1 河岸垂直的方向平移两个单位到a1 、a2，再将 b 沿与河流 3 河岸垂直的方向平移一个河宽到b1 ；或先将 a 沿与河岸垂直的方向平移1 个单位到 a1 ，再将 b 沿与河岸平移 2 一个河宽到 b1 、b2，来选择修桥位置。（请同学们自己画出图形。）拓展 3： 如图 9，如果在上述条件不变的情况下，两条河不平行，又该如何建桥？方法 1：如图 10 ，先将点 a 沿与河流 1 河岸垂直的方向平移一个河宽到a1， 再沿与河流 2 河岸垂直的方向平移一河宽到a2 ，连接 a2b，交河流 2 河岸于 n， 此处建桥 mn ；连接 a1m，交河流 1 于 p，在此处建桥 pq 。所得路径 aqpmnb 最短。方法 2：也可以将 a 沿与河流 1 垂直的方向平移 1 个河宽， 得到 a1 ，再将 b 沿与河流 2 河岸垂直的方向平移 1 个河宽得到 b1，连接 a 1b1 与河流 1、河流 2 分别相交于 n、p，分别作桥 mn、pq 。所得路径 aqpnmb 最短。由以上拓展，我们不难体会到，造桥选址问题，要使所得到的路径最短