圆的知识点总结及典型例题

圆的知识点总结（一）圆的有关性质知识归纳1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴； 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧； 推论 1-可编辑修改 -（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2） ）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3） ）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个： 过圆心；垂直于弦； 平分弦（不是直径） ；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。推论 2圆的两条平行弦所夹的弧相等。5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。此定理和推论可以理解成： 在同圆或等圆中， 满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：两个圆心角相等；两个圆心角所对的弧相等；两个圆心 角或两条弧所对的弦相等；两条弦的弦心距相等。圆心角的度数等于它所对的弧的度数。6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论 1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧也相等；推论 2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径； 推论 3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。7. 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。8.轨迹轨迹符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹。（1） 平面内，到一定点的距离等于定长的点的轨迹，是以这个定点为圆心，定长为半径的圆；（2） 平面内，和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线；（3） 平面内，到已知角两边的距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线。例题分析例 1.已知：如图 1，在o 中，半径 om弦ab 于点 n。图 1若 ab，on 1，求 mn 的长；若半径 omr，aob 120 ，求mn 的长。 解：ab ，半径 om ab ，an bnon 1，由勾股定理得oa 2mn om onoaon 1半径om ab，且aob 120 aom 60 on oa cos aon om cos60 说明：如图 1，一般地，若aob 2n，om ab 于 n，aor， onh，则 ab 2rsin n 2htan n 例 2. 已知：如图 2，在abc 中，acb 90，b25，以点c 为圆心、 ac 为半径作c，交 ab 于点 d，求的度数。图 2分析：因为弧与垂径定理有关；与圆心角、圆周角有关；与弦、弦心距有关；弧与弧之间还存在着和、差、倍、半的关系，因此这道题有很多解法，仅选几种供参考。解法一：（用垂径定理求）如图21，过点 c 作 ce ab 于点 e，交于点 f。图 2 1又acb 90，b 25，fca 25的度数为 25 ，的度数为 50 。解法二：（用圆周角求）如图22，延长 ac 交c 于点 e，连结 ed图 2 2ae 是直径，ade 90 acb 90 ，b 25 ，eb25 的度数为 50 。解法三：（用圆心角求）如图23，连结 cd图 2 3acb 90 ，b 25 ，a65 ca cd，adc a65 acd 50 ，的度数为 50 。例 3. 已知：如图 3，abc 内接于o 且 abac，o 的半径等于 6cm ，o 点到 bc的距离 od 等于 2cm ，求 ab 的长。析：因为不知道a 是锐角还是钝角，因此圆心有可能在三角形内部，还可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论。略解：（ 1）假若a 是锐角，abc 是锐角三角形。如图3，由 ab ac，可知点 a 是优弧的中点，因为 od bc 且 abac ，根据垂径定理推论可知， do 的延长线必过点a，连结 bobo 6， od2在 rt adb 中， addo ao 6 2 8图 3图 3 1（2）若a 是钝角，则abc 是钝角三角形，如图31 添加辅助线及求出， 在 rtadb 中， adao do 624ab综上所述 ab小结：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。例 4. 已知：如图 4，ab 是o 的直径，弦 cd ab， f 是 cd 延长线上一点， af 交o 于 e。求证： aeef eced图 4分析：求证的等积式ae ef ec ed 中，有两条线段 ef、ed 在edf 中，另两条线段ae、ec 没有在同一三角形中，欲将其置于三角形中，只要添加辅助线ac，设法证明fedcea 即可。证明：连结 ac四边形deac 内接于圆fde cae ，fed dca直径ab cd ，dca cea ，fed ceafed cea，ae ef ec ed小结：四边形内接于圆这一条件，常常不是在已知条件中明确给出的，而是隐含在图形之中，在分析已知条件时，千万不要忽略这一重要条件。例 5. 已知：如图 5，am 是o 的直径，过 o 上一点 b 作 bn am ，垂足为 n，其延长线交o 于点 c，弦 cd 交 am 于点 e。图 5（1） 如果 cd ab ，求证： ennm ；（2） 如果弦 cd 交 ab 于点 f，且 cd ab，求证 ce2ef ed ；（3） 如果弦 cd 绕点 c 旋转，并且与 ab 的延长线交于点f，且 cd ab，那么（ 2 ） 的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。证明：（ 1）连结 bm（如图 51）图 5 1am 是直径，abm 90cd ab ，bm cdecn mbn ，又 am bc，cn bnrt cen rtbmn ，en nm（2） 连结 bd，be，ac（如图 52）图 52点e 是 bc 垂直平分线 am 上一点，be eccd ab，acd bdc ，又 abac，aeaeabe ace ，abe acd bdcbed 是公共角，bed febbe 2ef ed ，ce 2ef ed（3） 结论成立。如图5 3图 53证明：仿（ 2）可证abe acebe ce ，且abe ace又ab cd ，acb dbc ，bd acbde ace 180 而fbe abe 180 bde fbe ，而bed 是公共角bed febbe 2 ef ed ，ce 2ef ed（二）直线与圆的关系距离 d 与半径 r 的关系1. 直线与圆的位置关系直线和圆的位置相离相切相交公共点的个数012公共点名称无切点交点直线名称圆心到直线的无切线割线2. 切线的判定经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。3. 切线的性质（1） 圆的切线垂直于经过切点的半径；（2） 推论 1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（3） 推论 2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。此定理及推论可理解为以下三个条件中任知其中两个就可推出第三个：垂直于切线；经过切点；经过圆心。4. 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。5. 弦切角定理（1） ）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2） ）推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3） ）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。6. 和圆有关的比例线段（1） ）相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；（2） ）推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项；（3） ）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（4） ）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。7. 三角形的内切圆（1） ）有关概念：三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；（2） ）作图：作一个圆，使它和已知三角形的各边都相切。例题分析例 6. 已知：如图 6，ab 是o 的直径， c 是 ab 延长线上一点， cg 切o 于 d， de ab 于 e。图 6求证：cdb edb 。分析：由 ab 是o 的直径，联想到直径的三个性质：图 6 1图 62（1）直径上的圆周角是直角。若连结图 63ad ，则得 rtabd ；（2）垂径定理。如图 6 2，若延长 de 交o 于 f，则可得 de ef，；（3） 过直径外端的切线与直径垂直。如图6 3，若过 b 点作o 的切线 bm，则 ab bm。由 cd 是o 的切线，联想到切线的三个性质：（1） 过切点的半径垂直于切线。如图6 1，若连结 od，则 od cd ；（2） 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。若连结ad，则cdb a；（3） 切割线定理。如图6 ，cd2 cb ca 。由 deab 于 e，联想到以下一些性质：（1） rt deb 中两锐角互余，即 edbebd 90；（2） 垂径定理。 如图 6 2，只要延长 de 交o 于 f，则可得到相等的线段， 相等的弧；（3） 构造与射影定理相关的基本图形。即连结ad ，则可得到adb 是直角三角形， de是斜边上的高，又可得到两对相等的锐角，三个相似的三角形，还可运用射影定理、勾股定理、面积公式等。证明：连结 ad，如图 6，ab 是直径，adb 90 。de ab ，edb acd 是o 的切线，cdb a，cdb edb此例题还有许多证法， 比如连结 od，如图 6 1，利用切线的定义；又比如延长 de 交 o 于 f，连结 bf，如图 62，利用垂径定理；还可以过点 b 作o 的切线交 cd 于点 m，如图 63，利用切线长定理，等等，这诸多证法，读者不妨试证之。小结：此例题证明 cdb edb ，即证明 bd 是cde 的平分线，由此证明可以联想到ad 也是gde 的平分线。图 64另外，通过对此例题的分析和证明可知，图64 中隐含着很多图形的性质，如相等的锐角、相等的线段、相等的弧及相似三角形等等，为此可将图6 4 分解成三个基本图形。如图65，以利于进一步理解线段之间的比例关系。图 65例 7. 已知：如图 7，点 p 是半圆 o 的直径 ba 延长线上的点， pc 切半圆于 c 点， cd ab 于 d 点，若 pa： pc1：2，db 4，求 tan pca 及 pc 的长。图 7证明：连结 cbpc 切半圆 o 于 c 点，pca bpp，pac pcbac ： bcpa： pcab 是半圆 o 的直径，acb 90又cd abab ad db 5例 8. 已知：如图 8，在 rtabc 中，b90 ，a 的平分线交 bc 于点 d，e 为 ab上的一点， de dc ，以 d 为圆心， db 长为半径作 d。图 8求证：（ 1）ac 是d 的切线；（2）abebac分析：（ 1）欲证 ac 与d 相切，只要证圆心d 到 ac 的距离等于 d 的半径 bd。因此要作 dfac 于 f（2）只要证 acaffcabeb，证明的关键是证 befc，这又转化为证ebd cfd 。证明：（ 1）如图 8，过 d 作 df ac ，f 为垂足ad 是bac 的平分线， db ab ，db df点d 到 ac 的距离等于圆 d 的半径ac 是d 的切线（2）abbd ，d 的半径等于 bd，ab 是d 的切线，ab af在rtbed 和 rtfcd 中， ed cd ，bdfdbed fcd ，be fcab beaffcac小结：有关切线的判定，主要有两个类型，若要判定的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直 ”的方法；若要判定的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类例 9. 已知： 如图 9，ab 为o 的弦， p 为 ba 延长线上一点， pe 与o 相切于点 e， c 为中点，连 ce 交 ab 于点 f。图 9求证：分析：由已知可得pe2pa pb ，因此要证 pf2 pa pb ，只要证 pepf。即证 pfe pef 。证明一：如图 9，作直径 cd ，交 ab 于点 g，连结 ed，ced 90 点c 为的中点，cd ab ，cfg dpe 为o 切线， e 为切点pef d，pef cfgcfg pfe ，pfe pef ，pe pfpe 2 pa pb ，pf 2pa pb证明二：如图 91，连结 ac、ae图 9 1点c 是的中点，cab aecpe 切o 于点 e，pea cpfe cab c，pef pea aecpfe pef ，pe pfpe 2 pa pb ，pf 2pa pb例 10.（1）如图 10，已知直线 ab 过圆心 o，交o 于 a、b，直线 af 交o 于 f（不与 b 重合），直线 l 交o 于 c、d，交 ba 延长线于 e，且与 af 垂直，垂足为 g，连结 ac、ad图 10图 10 1求证：bad cag ；ac ad ae af（2）在问题（ 1）中，当直线 l 向上平行移动，与 o 相切时，其它条件不变。请你在图 101 中画出变化后的图形，并对照图10 标记字母；问题（ 1）中的两个结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由。证明：（ 1）连结 bdab 是o 的直径，adb 90agc adb 90 又acdb 是o 内接四边形acg b，bad cag连结 cfbad cag ，eag fabdae fac又adc f，ade afc，ac ad ae af（2）见图 10 1两个结论都成立，证明如下：连结 bc，ab 是直径，acb 90 acb agc 90 gc 切o 于 c，gca abcbac cag （即bad cag ）连结 cfcag bac ，gcf gac ，gcf cae ，acf acg gfc ，eacg caeacf e，acf aec ，ac 2 ae af （即 ac ad ae af ）说明：本题通过变化图形的位置，考查了学生动手画图的能力，并通过探究式的提问加强了对学生证明题的考查，这是当前热点的考题，希望引起大家的关注。例 11.如图 11 ，ab 是o 的直径，o 过 ac 的中点 d，de bc ，垂足为 e。图 11（1） 由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求，不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4 个结论即可）。（2） 若abc 为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？ 并画出图形。分析：（ 1）若连结 do ，可证得 de 是o 的切线。若连结 db ，由直径 ab 和点 d 是 ac 的中点， 可得 abbc ，ac 等。而且 de bc于点 e，又由双垂图形，可得，等。（2）连结 do 、ob。方法同上。答：下列结论可供选择，如图11 1图 11 1（ 1） de 是o 的切线abbcacde 2 be ce cd 2 cecbccde 90 （2） ）ce bede be de cede abcb 是o 的切线bacde 45ccde 45cb 2 cdca(11) (12)说明：本题是结论开放的探索性问题，答案不唯一。寻找结论的关键是抓住命题的条件及其特点（尤其是利用特殊几何图形的判定和性质），在几何中诸如：相等关系、特殊图形、两图形的关系等。（三）圆和圆的位置关系知识归纳1. 基本概念（1） 两圆外离、外切、相交、内切、内含的定义。（2） 两圆的公切线、外公切线、内公切线、公切线长的定义。（3） 两圆的连心线、圆心距、公共弦。2. 圆和圆的位置关系两圆的位置圆心距 d 与两圆的半径 r、r 的关系外公切 内公线条数 切线条数公切线条数外离224外切213相交202内切101内含0003. 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦4. 相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。例题分析例 12.已知两圆外切时，圆心距为10cm ，两圆内切时，圆心距为4cm ，求两圆半径的长。解：设两圆的半径分别为rcm 和 r cm 。依题意，得答：大圆的半径为7cm ，小圆的半径为 3cm 。例 13.已知：如图 12 ，两圆相交于 a、b，过点 a 的直线交两圆于c、d，过点 b 的直线交两圆于 e、f。图 12求证： ce fd。分析：要证 ce fd，可通过角的关系证平行，即只要证 ebfd 或证ecd d 180 ，若证ebfd ，只需将bfd 转化成与 o1 有关的圆周角，或圆内接四边形的外角，只要连结 ab 即可；若要证ecdd 180 ，也需连结ab ，得eba d，eba ecd 180 ，则也可得证。证明一：（用同位角证）连结ab四边形ebac 内接于o1，bad e又bfd bad ，bfd ece fd证明二：（用同旁内角证）连结ab四边形ebac 内接于o1，cb180 ，又bd，cd180 ，ec fd小结：两圆相交时，常添的辅助线是作两圆的公共弦。（四）正多边形和圆知识归纳1. 基本概念正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角以及平面镶嵌等。2. 正多边形的判定与性质（1） 把圆分成等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。（2） 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。3. 正多边形的有关计算正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的直角三角形。如图 16 所示，设正 n 边形的中心角为，半径为 r，边长为，边心距为 rn，周长为pn，面积为 sn，则由有关图形的性质可以推得：图 16（1）（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；4. 与圆有关的计算（1）圆的周长；（2）弧长；（3）圆的面积；（4）扇形面积；（5）弓形面积（如图 16）5. 与圆有关的作图（1） ）过不在同一条直线上的三点作圆；（2） ）作三角形的内切圆；（3） ）等分圆周（三、六、十二、四、八、五等分），作正三角形、正四边形、正六边形。6. 圆柱和圆锥的侧面展开图（1） ）圆柱的侧面积：（ r：底面半径， h：圆柱高）（2） ）圆锥的侧面积：（ l 2 r，r 是圆锥母线长， r 是底面半径）。（n 为侧面展开图扇形的圆心角的度数，r 为母线长）。例题分析例 14.已知：如图 17，在两个同心圆中，大圆的弦ab 与小圆相切于点 c， ab 的长为 12cm ，求两个圆所围成的环形面积。图 17解：连结 oc、ob设