垂径定理教学设计

垂径定理（第一课时）教学设计兰甲明【教学内容】73 垂径定理（初三几何课本p76p 78）【教学目标】1. 知识目标：通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段。2. 能力目标：通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；向学生渗透“ 由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3. 情感目标：结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。【教学重点】垂径定理及其应用。【教学难点】垂径定理的证明。【教学方法】探究发现法。【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规。【教学设计】一、实例导入，激疑引趣1. 实例：同学们都学过 中国石拱桥 这篇课文（初二语文第三册第一课茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的精品资料巨大石拱桥，距今已有1400 多年历史，被誉为“ 华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。2. 导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4c米，拱高（弧的中点到弦ab 的距离，也叫弓高）为7.2 米。请问：桥拱的1-?adb?半径（即 ab 所在圆的半径）是多少？? ?通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。（图 1 ）二、尝试诱导，发现定理1. 复习过渡：如图 2(a) ，弦 ab 将 o 分成几部分？各部分的名称是什么？如图 2(b) ，将弦 ab 变成直径， o 被分成的两部分各叫什么？在图 2(b) 中，若将 o 沿直径 ab 对折，两部分是否重合？ccobaoacaobboaobeabddd(a)(b)(a)(b)(c)（图 2）（ 图 3）2. 实验验证：让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。3. 运动变换：如图 3(a) ， ab 、cd 是 o 的两条直径，图中有哪些相等的线段和相等的弧？如图 3(b) ，当 abcd 时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？如图 3(c) ，当 ab 向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？4. 提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的猜想（板书）cd是圆o的直径aebdacbccd弦ab, 垂足为eadbd5. 验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c) 中沿直径cd 对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为垂直于弦的直径。三、引导探究，证明定理1. 引导证明：猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。证明“ ae=be ”，可通过连结oa、ob 来实现，利用等腰三角形性质证明。证明“ 弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。2. 归纳定理：根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3. 巩固定理：在下列图形（如图4(a)(d) ）中，ab 是 o 的弦， cd 是 o 的弦，它们是否适用于“ 垂径定理” ？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。ccooeeababddacoeboaeb(a) ab cd 于 e(b)e 是 ab 中点(c)oc ab 于 e(d)oe ab 于 e（ 图 4）向学生强调： (1)定理中的两个条件缺一不可；(2) 定理的变式图形。四、例题示范，变式练习1. 运用定理进行计算。例 1如图 5，在 o 中，若弦 ab 的长为 8cm ，圆心 o 到 ab 的距离为 3cm ，求 o 的半径。分析：因为已知“ 圆心 o 到 ab 的距离为 3cm ”，所以要作辅助线 oe ab；因为要求半径，所以还要连结oa。aeb o解：（略）学生口述，教师板书。（ 图 5）变式一在图5 中，若 o 的半径为 10cm ，oe=6cm ，则 ab=。cab思考一：若圆的半径为r，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d，eo则 r、a、d 三者之间的关系式是。变式二如图6，在 o 中，半径ocab，垂足为 e，若 ce=2cm ，ab=8cm ，则 o 的半径=。（图 6）思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法）2. 运用定理进行证明例 2已知：如图7，在以 o 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦 ab 交小圆于c、d 两点。oacdb求证： acbd。（ 图 7）分析：证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样证明？（证明 oac obd 或证明 oadobc ）此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理） 证法一：连结oa 、ob、oc、od，用“ 三角形全等” 证明。证法二：过点o 作 oeab 于 e，用“ 垂径定理” 证明。（详见课本p77 例 2）注 1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。注 2：辅助线“ 过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常用辅助线。思考：在图7 中，若 ac=2 ， ab=10 ，则圆环的面积是。变式一若将图7 中的大圆隐去，还需什么条件， 才能保证ac=bd ？变式二若将图7 中的小圆隐去，还需什么条件，才能保证ac=bd ？变式三将图7 变成图 8（三个同心圆），你可以oeacdbf证明哪些线段相等？（ 图 8）例 3（选讲）如图9，rt abc 中， acb 90，cac3，bc 62 ，以 c 为圆心、 ca 长为半径画弧，交斜边 ab 于 d，求 ad 的长。（答案： 2）adb略解：过点c 作 ce ab 于 e，先用勾股定理求得（ 图 9）ab=9 ，再用面积法求得ce= 22 ，最后用勾股定理求得ae=1 ，由垂径定理得ad=2 。五、师生小结，纳入系统1. 定理的三种基本图形如图10 、11、12。2. 计算中三个量的关系如图13 ， rd 2( a )。2223. 证明中常用的辅助线过圆心作弦的垂线段。coo eooaebabd de rdabaab（ 图 10 ）（ 图 11 ）（ 图 12 ）（ 图 13）六、达标检测，反馈效果1（课本p78 练习第 1 题）如图14 ，在 o 的半径为50mm ，弦 ab=50mm ，则点 o 到 ab 的 距 离为， aob度。ab 2作图题：经过已知o 内的已知点a 作弦，ooa使它以点 a 为中点（如图15 ）。3课本 p 78 练习第 2 题。（ 图 14 ）（ 图 15 ）课堂练习姓名得分1. 如图， o 的半径为 50mm ，弦 ab=50mm ，则点 o 到ab 的距离为，aob度。ooaab（ 第 1 题）（第 2 题）2. 作图题：经过已知o 内的