讲解：求解共点力平衡问题的八种方法

.求解共点力平衡问题的八种方法一、分解法一个物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将其中任意一个力沿其他两个力的反方向分解， 这样把三力平衡问题转化为两个方向上的二力平衡问题，则每个方向上的一对力大小相等。二、合成法对于三力平衡时，将三个力中的任意两个力合成为一个力，则其合力与第三个力平衡， 把三力平衡转化为二力平衡问题。例 1如图 1 所示，重物的质量为m，轻细绳 ao 和 bo 的 a 端、 b 端是固定的，平衡时 ao 是水平的， bo 与水平面的夹角为，ao 的拉力 f1 和 bo 的拉力 f 2 的大小是 ()图 1a f1 mgcos bf 1 mgcot cf 2 mgsin d f2 mg/sin 解析解法一 (分解法 )用效果分解法求解。f 2 共产生两个效果：一个是水平方向沿a o 拉绳子 ao，另一个是拉着竖直方向的绳子。如图2 甲所示，将f2 分解在这两个方向上，结合力的平衡等知识;.f2解得 f 1 f2 mgcot ，f 2 sinmg。显然， 也可以按mg(或 f 1)产生的效果分解mg(或 sin f1) 来求解此题。图 2解法二 (合成法 )由平行四边形定则，作出f 1、f2 的合力 f12，如图乙所示。又考虑到f12 mg，解直角三角形得 f 1 mgcot ， f 2 mg/sin ，故选项b 、d 正确。答案bd三、正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用处于平衡状态时，常用正交分解法列平衡方程求解：fx 合 0， fy 合 0。为方便计算，建立坐标系时以使尽可能多的力落在坐标轴上为原则。例 2如图 3 所示，用与水平成角的推力f 作用在物块上，随着逐渐减小直到水平的过程中， 物块始终沿水平面做匀速直线运动。关于物块受到的外力，下列判断正确的是()图 3a 推力 f 先增大后减小b推力 f 一直减小c物块受到的摩擦力先减小后增大d物块受到的摩擦力一直不变解析对物体受力分析，建立如图4 所示的坐标系。图 4由平衡条件得fcos ff 0fn (mgf sin ) 0又 ff fn联立可得 f mgcos sin 可见，当 减小时 ， f 一直减小 ， 故选项 b 正确 。答案b四、整体法和隔离法若一个系统中涉及两个或者两个以上物体的平衡问题，在选取研究对象时，要灵活运用整体法和隔离法。对于多物体问题，如果不求物体间的相互作用力，优先采用整体法，这样涉及的研究对象少，未知量少，方程少，求解简便；很多情况下，通常采用整体法和隔离法相结合的方法。例 3(多选) 如图 5 所示，放置在水平地面上的质量为m 的直角劈上有一个质量为m的物体，若物体在直角劈上匀速下滑，直角劈仍保持静止，那么下列说法正确的是()图 5 a 直角劈对地面的压力等于(m m)g b直角劈对地面的压力大于(m m)g c地面对直角劈没有摩擦力d地面对直角劈有向左的摩擦力解析方法一 ： 隔离法先隔离物体，物体受重力mg、斜面对它的支持力fn 、沿斜面向上的摩擦力ff，因物体沿斜面匀速下滑，所以支持力fn 和沿斜面向上的摩擦力ff 可根据平衡条件求出。再隔离直角劈，直角劈受竖直向下的重力mg 、地面对它竖直向上的支持力fn 地，由牛顿第三定律得， 物体对直角劈有垂直斜面向下的压力fn 和沿斜面向下的摩擦力ff ，直角劈相对地面有没有运动趋势，关键看ff 和 fn 在水平方向上的分量是否相等，若二者相等，则直角劈相对地面无运动趋势，若二者不相等， 则直角劈相对地面有运动趋势，而摩擦力方向应根据具体的相对运动趋势的方向确定。对物体进行受力分析，建立坐标系如图6 甲所示， 因物体沿斜面匀速下滑，由平衡条件得：支持力fn mgcos ，摩擦力ff mgsin 。图 6对直角劈进行受力分析，建立坐标系如图乙所示，由牛顿第三定律得fn fn， ff ff， 在水平方向上， 压力 fn 的水平分量fn sin mgcos sin ，摩擦力 ff 的水平分 量 ff cos mgsin cos ，可见 ff cos fn sin ，所以直角劈相对地面没有运动趋势，所以地面对直角劈没有摩擦力。在竖直方向上，直角劈受力平衡，由平衡条件得：fn 地 ff sin fn cos mg mg mg。方法二： 整体法直角劈对地面的压力和地面对直角劈的支持力是一对作用力和反作用力，大小相等、 方向相反。 而地面对直角劈的支持力、地面对直角劈的摩擦力是直角劈和物体整体的外力，所以要讨论这两个问题，可以以整体为研究对象。整体在竖直方向上受到重力和支持力，因物体在斜面上匀速下滑、直角劈静止不动，即整体处于平衡状态，所以竖直方向上地面对直角 劈的支持力等于物体和直角劈整体的重力。水平方向上地面若对直角劈有摩擦力，无论摩擦力的方向向左还是向右，水平方向上整体都不能处于平衡状态，所以整体在水平方向上不受 摩擦力，整体受力如图丙所示。答案ac五、三力汇交原理物体受三个共面非平行力作用而平衡时，这三个力必为共点力。例 4一根长 2 m，重为 g 的不均匀直棒ab，用两根细绳水平悬挂在天花板上，当棒平衡时细绳与水平面的夹角如图7 所示，则关于直棒重心c 的位置下列说法正确的是()图 7a 距离 b 端 0.5 m 处b. 距 离 b 端 0.75 m 处3c. 距离 b 端 2m 处d. 距离 b 端33m 处解析当一个物体受三个力作用而处于平衡状态，如果其中两个力的作用线相交于一点，则第三个力的作用线必通过前两个力作用线的相交点，把 o1a 和 o2b 延长相交于o 点，则重心 c 一定在过o 点的竖直线上，如图8 所示。由几何知识可知：bo12ab 1 m， bc1 2bo 0.5 m，故重心应在距b 端 0.5 m 处。 a 项正确。图 8答案a六、正弦定理法三力平衡时，三力合力为零。三个力可构成一个封闭三角形，如图9 所示。则有：f1 f 2图 9 f 3 。sin sin sin 例 5 一盏电灯重力为 g，悬于天花板上 a 点，在电线 o 处系一细线 ob，使电线 oa 与竖直方向的夹角为 30，如图 10 所示。现保持 角不变，缓慢调整 ob 方向至 ob 线上拉力最小为止，此时 ob 与水平方向的夹角 等于多少？最小拉力是多少？图 10解析 对电灯受力分析如图 11 所示， 据三力平衡特点可知 ： oa、ob 对 o 点的作用力 ta、tb 的合力 t 与 g 等大反向 ， 即 t g图 11在 otbt 中， totb 90 又 ottb toa ，故 otbt 180 (90 ) 90 tbt由正弦定理得sin sin 90 联立 解得 tbgsin cos 因 不变 ， 故当 30时， tb 最小 ， 且 tb gsin g/2。答案30 g2七、相似三角形法物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，画出其中任意两个力的合力与第三个力等 值反向的平行四边形中，可能有力三角形与题设图中的几何三角形相似，进而得到力的三角形与几何三角形对应边成比例，根据比值便可计算出未知力的大小与方向。例 6如图 12 所示是固定在水平面上的光滑半球，球心 o的正上方固定一小定滑轮， 细线一端拴一小球a，另一端绕过定滑轮。今将小球从如图所示的初位置缓慢地拉至b 点。在小球到达b 点前的过程中，半球对小球的支持力fn 及细线的拉力f1 的大小变化情况是()图 12a fn 变大， f 1 变小b fn 变小， f1 变大cfn 不变， f 1 变小d fn 变大， f1 变大解析由于三力f1、fn 与 g 首尾相接构成的矢量三角形与几何三角形aoo 相似 ， 如图 13 所示 ，图 13所以有 g oo， g oo ，f 1oafnr所以 f g1oa，oof gnr，oo由题意知当小球缓慢上移时， oa 减小 ， oo 不变 ， r 不变， 故 f 1 减小 ， fn 不变， 故c 对。答案c八、图解法1. 图解法对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下力的矢 量图 (画在同一个图中)，然后根据有向线段(表示力 )的长度变化情况判断各个力的变化情况。2. 图解法主要用来解决三力作用下的动态平衡问题所谓动态平衡问题就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢变化。从宏观上看，物体是运动的，但从微观上理解，物体是平衡的，即任一时刻物体均处于平衡状态。3 利用图解法解题的条件是(1) 物体受三个力的作用而处于平衡状态。(2) 一个力不变，另一个力的方向不变或大小不变，第三个力的大小、方向均变化。例 7如图 14 所示，一个重为g 的匀质球放在光滑斜面上，斜面倾角为，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态，今使板与斜面的夹角缓慢增大，问：在此过程中，球对挡板和球对斜面的