均值不等式常考题型

精品资料22一均值不等式均值不等式及其应用221. （1）若 a, br ，则 ab2 ab(2) 若a, br ，则 aba b（当且仅当 a*2b 时取“=”）2. (1) 若a, br ，则 abab*2(2) 若 a, br ，则 ab2ab （当且仅当ab 时取“=”）(3) 若 a, br* ，则 ab12ab( 当且仅当 a2b 时取“=）”13. 若 x0 ，则 xx2(当且仅当 x1 时取“=”） ;若 x0 ，则 xx2(当且仅当 x1 时取“=）”若 x0 ，则 x112即 x12或x-2(当且仅当 ab 时取“=）”xxx3. 若 ab0，则 abb 2(当且仅当 aab 时取“=”）a babab若 ab0 ，则2即2或-2(当且仅当 ab 时取“=”）b ababa4. 若 a,br ，则( ab) 22ab（当且仅当a222b时取“=”）注：（ 1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（ 2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3) 均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例 1 ：求下列函数的值域1（ 1 ）y 3x 22x12（2） y x x解：（ 1） y 3x 2 12x 2123x 22x 26值域为6 ， +）1（ 2）当 x 0 时， y xx12x x 2；1当 x0 时，y xx1= （xx1）2x x= 2值域为（， 22 ， +） 解题技巧：技巧一：凑项例 1 ：已知 x5，求函数y44 x214x5的最大值。解：因 4x50 ，所以首先要“调整”符号，又 (4 x2)14x不是常数，所以对4x52 要进行拆、凑项，x5 ,54x0 ，y4 x2154x1323144 x1554x当且仅当54 x，即 x54x1时，上式等号成立，故当x1 时，ymax1 。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例 1.当时，求 yx(82 x) 的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式， 但其和不是定值。注意到 2 x(82x)8 为定值， 故只需将yx(82x) 凑上一个系数即可。当，即 x2 时取等号当 x 2 时，yx(82x)的最大值为8。评注： 本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。3变式：设0x，求函数 y 24x(32 x) 的最大值。解：0x3 32x20 y4 x(32x)22x(32x)2 2x232x922当且仅当 2 x33 2 x, 即 x430,时等号成立。2技巧三： 分离2x7 x10例 3.求 y( x1) 的值域。x1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x 1）的项，再将其分离。当,即时, y技巧四：换元2 （ x1)4x159 （当且仅当x 1 时取“”号）。解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x 1 ，化简原式在分离求最值。y(t1)27(t1）+10t 2=5t4t45ttt4当,即 t=时, y2tt59 （当 t=2 即 x1 时取“”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最a值。即化为ymg ( x)g( x)b(a0, b0) ，g(x) 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f ( x)xa 的单调性。x例：求函数yx25x24的值域。解：令x24t (t2) ，则 yx 252x411t( t2)x2411x24t因 t0,tt1 ，但 t解得 tt1 不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为 yt15在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故y。t25所以，所求函数的值域为,。2练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（ 1） yx23x x1 ,( x0)（ 2） y2x1, xx33(3) y2sin x1, x sin x(0,)2已知 0x1，求函数yx(1x) 的最大值 .； 3 0x2，求函数3yx(23x) 的最大值 .条件求最值1. 若实数满足ab2，则3 a3b 的最小值是.aba分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且33定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a 和3 b都是正数，33b 23a3b23a b6abab当 33 时等号成立，由ab2a及 33 得b1即当 abab1时， 33 的最小值是6变式：若log 4 xlog 4 y2 ，求11的最小值 .并求 x,y 的值xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知 x0, y190 ，且xy1，求 xy 的最小值。错解：x0, y0 ，且 191 ，xy1 9xy2 9 2xy12故xy12 。xyxyxymin错因：解法中两次连用均值不等式，在xy2xy 等号成立条件是xy ，在 1929等号成立xyxy条件是19 即 yxy9 x ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解 ：x0, y0, 191，xyxy19y9 x1061016xyxyxyy9x19当且仅当xy 时，上式等号成立，又1，可得 xxy4, y12 时，xy min16。变式：（1）若x, yr且 2 xy1 ，求 1 x1 的最小值y(2) 已知a, b, x, yr且 a xb1 ，求 xyy 的最小值y 2技巧七、已知x， y 为正实数，且x 2 1，求 x1 y 2 的最大值 .2a 2 b 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab 。2同时还应化简1 y 2 中 y2 前面的系数为11 y 2，x1 y 2 x2 222 x1y 222下面将 x，1y 222分别看成两个因式：1y 2x22x 2 (1y 2222y 21)2x 222324即x1 y 2 2 x1y 2223241技巧八：已知a， b 为正实数， 2 b ab a30 ，求函数y的最小值 .ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一： a30 2b b 1，ab30 2 bb 1b 2 b 2 30 b b1由 a 0 得， 0 b 15令 t b+1 ， 1 t 16 ， ab 2 t 2 34 t 31t16 2（ tt16） 34 t t162t 8t1 ab18 y18当且仅当t 4，即 b 3， a 6 时，等号成立。法二：由已知得：30 ab a 2b a2b22 ab 30 ab22 ab令 uab则 u222 u 30 0， 52 u321ab32 ， ab18，y18ab点评： 本题考查不等式2ab（ a, br ）的应用、 不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式 aba2b30（ a,br ）出发求得 ab 的范围， 关键是寻找到ab与ab 之间的关系， 由此想到不等式 abab（a , b 2r ），这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围 .变式： 1. 已知 a0 ， b0 ，ab (ab) 1，求 a b 的最小值。2. 若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知 x， y 为正实数， 3x 2y 10，求函数w3x 2y 的最值 .aba 2b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，本题很简单223x 2 y2（3x ） 2（2 y ） 2 23 x 2y 25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。w 0 ， w 2 3 x 2y 23 x 2 y 10 23 x 2y 10 (3 x )2(2y )2 10 (3 x 2 y) 20 w 20 25变式 : 求函数 y2 x152 x( 1x5 ) 的最大值。解析：注意到2 x221与 52 x 的和为定值。y 2(2 x152 x)242(2 x1)(52 x)4(2 x1)(52 x)8又 y0 ，所以 0y223当且仅当 2x1= 52 x ，即x时取等号。故2ymax22 。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1. 已知a, b, c 为两两不相等的实数，求证：a 2b 2c 2abbcca1）正数 a， b， c 满足 ab c1 ，求证： (1 a)(1 b)(1 c)8abc例 6 ：已知 a、b、cr ，且abc1。求证：1111118abc分 析 ： 不 等 式 右 边 数字8 ， 使 我 们 联 想 到 左边 因 式 分 别 使 用 均 值 不等 式 可 得 三 个 “2 ”连 乘 ， 又111abc2 bc，可由此变形入手。aaaa解：a、b、cr ， abc1。111 abc2 bc1。同理12ac1，12ab 。aaaabbcc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1111112bc2ac2ab8 。当且仅当abc1时取等号。abcabc3应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知 x0, y0 且 191 ，求使不等式xym恒成立的实数m 的取值范围。xy解：令xyk, x0, y0, 191 ，xy9x9 y1.