函数的单调性与导数ppt课件.ppt

4 1 1函数的单调性与导数 高二数学选修1 1第四章导数及其应用 1 4 对数函数的导数 5 指数函数的导数 3 三角函数 1 常函数 C 0 c为常数 2 幂函数 xn nxn 1 一 复习回顾 基本初等函数的导数公式 2 函数y f x 在给定区间G上 任意x1 x2 G且x1 x2时 单调函数的图象特征 1 都有f x1 f x2 则f x 在G上是增函数 2 都有f x1 f x2 则f x 在G上是减函数 若f x 在G上是增函数或减函数 增函数 减函数 则f x 在G上具有严格的单调性 G称为单调区间 G a b 二 复习引入 问题1 函数单调性的定义怎样描述的 3 2 作差f x1 f x2 作商 2 用定义证明函数的单调性的一般步骤 1 任取x1 x2 D 且x1 x2 4 定号 判断差f x1 f x2 的正负 与 比较 3 变形 因式分解 配方 通分 提取公因式 5 结论 4 练习 讨论函数y x2 4x 3的单调性 定义法 单增区间 单减区间 图象法 5 思考 那么如何求出下列函数的单调性呢 1 f x 2x3 6x2 7 2 f x ex x 1 3 f x sinx x 发现问题 用单调性定义讨论函数单调性虽然可行 但十分麻烦 尤其是在不知道函数图象时 例如 2x3 6x2 7 是否有更为简捷的方法呢 下面我们通过函数的y x2 4x 3图象来考察单调性与导数有什么关系 6 2 再观察函数y x2 4x 3的图象 总结 该函数在区间 2 上单减 切线斜率小于0 即其导数为负 而当x 2时其切线斜率为0 即导数为0 函数在该点单调性发生改变 为转折点 在区间 2 上单增 切线斜率大于0 即其导数为正 7 x y O x y O x y O x y O y x y x2 y x3 观察下面一些函数的图象 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系 在某个区间 a b 内 如果 那么函数在这个区间内单调递增 如果 那么函数在这个区间内单调递减 如果恒有 则是常数 8 函数单调性与导数正负的关系 注意 应正确理解 某个区间 的含义 它必是定义域内的某个区间 如果恒有 则是常数 设函数y f x 在某个区间 a b 内可导 9 例1 求函数f x 2x3 3x2 36x 16的单调区间 例题分析 f x 的单增区间为 2 和 3 f x 的单减区间 2 3 说明 当x 2或3时 f x 0 即函数在该点单调性发生改变 10 小结 根据导数确定函数的单调性步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求出函数的导数f x 3 解不等式f x 0 得函数单增区间 解不等式f x 0 得函数单减区间 注 单调区间不以 并集 出现 4 回答增减区间 11 例1已知导函数的下列信息 当1 x 4时 当x 4 或x 1时 当x 4 或x 1时 试画出函数的图象的大致形状 解 当1 x 4时 可知在此区间内单调递增 当x 4 或x 1时 可知在此区间内单调递减 当x 4 或x 1时 综上 函数图象的大致形状如右图所示 题型 应用导数信息确定函数大致图象 分析 临界点 12 A B C D C 04浙江理工类 高 考 试 练习 尝 设是函数的导函数 的图象如右图所示 则的图象最有可能的是 13 例2判断下列函数的单调性 并求出单调区间 解 1 因为 所以 因此 函数在上单调递增 2 因为 所以 当 即时 函数单调递增 当 即时 函数单调递减 题型 求函数的单调性 单调区间p83 p86 14 例2判断下列函数的单调性 并求出单调区间 解 3 因为 所以 因此 函数在上单调递减 4 因为 所以 当 即时 函数单调递增 当 即时 函数单调递减 15 总结 当遇到三次或三次以上的 或图象很难画出的函数求单调性问题时 应考虑导数法 纳 1 什么情况下 用 导数法 求函数单调性 单调区间较简便 2 试总结用 导数法 求单调区间的步骤 归 总结 注 单调区间不以 并集 出现 令 16 3 证明可导函数f x 在 a b 内的单调性的方法 1 求f x 2 确认f x 在 a b 内的符号 3 作出结论 总结 17 求函数的单调区间 变1 求函数的单调区间 理解训练 解 的单调递增区间为 单调递减区间为 变3 求函数的单调区间 解 解 18 一般地 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 那么函数在这个范围内变化得快 这时 函数的图象就比较 陡峭 向上或向下 反之 函数的图象就 平缓 一些 如图 函数在或内的图象 陡峭 在或内的图象 平缓 通过函数图像 不仅可以看出函数的增或减 还可以看出其变化的快慢 结合图像 从导数的角度解释变化快慢的情况 19 练习 4 求证 函数在内是减函数 解 由 解得 所以函数的递减区间是 即函数在内是减函数 20 函数单调性与导数的关系 1 如果在区间 a b 内f x 0 f x 0 那么函数f x 在 a b 内为增函数 减函数 2 如果函数f x 在 a b 内为增函数 减函数 那么f x 0 f x 0 在区间 a b 内恒成立 21 题型 根据函数的单调性求参数的取值范围 22 函数在 0 1 上单调递增 23 注 在某个区间上 f x 在这个区间上单调递增 递减 但由f x 在这个区间上单调递增 递减 而仅仅得到是不够的 还有可能导数等于0也能使f x 在这个区间上单调 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证 本题用到一个重要的转化 24 25 练习 已知函数f x ax 3x x 1在R上是减函数 求a的取值范围 解 f x ax 3x x 1在R上是减函数 f x 3ax2 6x 1 0在R上恒成立 a 0且 36 12a 0 a 3 26 例3 方程根的问题求证 方程只有一个根 27 练习 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 28 已知导函数的下列信息 试画出函数图象的大致形状 分析 题型 应用导数信息确定函数大致图象 29 已知导函数的下列信息 试画出函数图象的大致形状 分析 题型 应用导数信息确定函数大致图象 解 的大致形状如右图 30 练习 2 函数的图象如图所示 试画出导函数图象的大致形状 O a b c x y 31 例3如图 水以常速 即单位时间内注入水的体积相同 注入下面四种底面积相同的容器中 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数