矩阵的秩的性质

矩阵的秩的性质和矩阵秩与矩阵运算之间的关系要谈矩阵的秩， 就得从向量组的秩说起，向量组的秩，简而言之就是其极大无关组里向量的个数。进而扩展到线性方程组， 在线性方程组的概念中（课本 p90 ）定理 1 说：“线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。 ”那么不妨把矩阵用向量组的方式来看，则有行秩和列秩， 一个矩阵的行秩和列秩相同，而其初等变换又不会改变秩。自然而然，我们 就得到了一个判断矩阵秩的方法，就是将它转化为阶梯形矩阵，非零行数目即其秩。矩阵进一步发展就是运算了，包括数乘、加减、乘积 等，又涉及到单位矩阵、 三角矩阵、可逆矩阵以及矩阵的分块等概念， 综合所学，我们得到如下性质：1、矩阵的初等变换不改变秩，任一矩阵的行秩等于列秩。2、秩为 r 的 n 级矩阵（ nr ），任意 r+1 阶行列式为 0，并且至少有一个 r 阶子式不为 0.精品资料3、 rank ( ab)minrank ( a),rank (b)rank ( a)rank ( a)rank ( ab)rank( a)rank ( b)，rank (ka)rank ( a)4、设 a 是 sn 矩阵， b 为 ns 矩阵，则rank ( a)rank ( b)nrank ( ab)minrank ( a),rank ( b)5、设 a 是 sn 矩阵， p,q 分别是 s,n 阶可逆矩阵，则rank ( pa)rank (aq)rank ( a)6、设 a 是 sn 矩阵， b 为 ns 矩阵，且 ab=0 ，则rank ( a)rank ( b)n7、设 a 是 sn 矩阵，则rank ( aa)rank ( a a)rank ( a)其中，也涉及到线性方程组解得问题：8、对于齐次线性方程组，设其系数矩阵为a， rank( a)n则方程组有惟一非零解， 克莱姆法则，rank( a)n则有无穷多解，换言之，即为非齐次线性方程组有解时， 有无穷多解。还有满秩矩阵：rank ( a)n惟一解， rank ( a)n9、可逆满秩10 、行（列）向量组线性无关，即n级矩阵化为阶梯形矩阵后非零行数目为 n。扩展到矩阵的分块后：a10rankrank (a 1 )rank (a n )0an11 、acrankrank( a)rank( b)12 、0b证明：1、先证明初等变换不会改变秩，就先从行秩开始。设矩阵 a 的行向量组是1，2s ，设 a 经过 1初等变换 j+i*k变成矩阵 b，则 b 的行向量组是1,i , kij ,s ，显然，1 ,i , kij ,s可由1， 2s线性表出，由于j1k(ikj )，因此i1， 2s也可由1 ,i , kij ,s 线性表出，于是它们等价，而等价向量组有相同的秩，因此a的行秩等于 b 的列秩。容易证明， 2 型和 3型初等变换亦使所得矩阵的行向量组与原矩阵等价，从而不改变矩阵的行秩。进而列秩也可以得到证明， 又已知阶梯形矩阵的行秩与列秩相同，那么，讲一个矩阵通过初等变换得到阶梯形矩阵，行秩等于列秩的性质便得证。2、设 sn 矩阵 a 的秩为 r，则 a 的行向量组中有r 个线性无关的向量，设 a 的第i1 , i r行向量线性无关，它们组成一个矩阵a1（称 a1是 a 的子矩阵），由于 a1 的行向量组线性无关，因此a1 的行秩为 r，列秩也为 r。于是 a1 又 r 列线性无关。 设 a1 的第j1 ,j r 列线性无关，