高考数学复习 第九章 直线、平面、简单几何体（B）9(B)8课件.ppt

基础知识一 棱柱的概念与性质 1 棱柱的概念如果一个多面体有两个面 而其余各面都是形 并且每相邻两个的公共边都 由此面围成的叫做棱柱 侧棱底面的棱柱叫做斜棱柱 侧棱底面的棱柱叫做直棱柱 底面是的直棱柱叫做正棱柱 互相平行 四边 四边形 互相 几何体 垂直于 不垂直于 正多边形 平行 2 棱柱的性质 所有的侧棱都相等 各个侧面都是 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的 过不相邻的两条侧棱的截面都是 3 棱柱的侧面积和体积公式 直棱柱的侧面积和体积公式如果直棱柱的底面周长是c 高是h 那么它的侧面积是s直棱柱侧 如果直棱柱的底面面积是s 高是h 那么它的体积是v直棱柱 平行四边形 全等多边形 平行四边形 ch sh 斜棱柱的侧面积和体积公式如果斜棱柱的直截面 垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面 的周长为c 侧棱长为l 那么斜棱柱的侧面积是s斜棱柱侧 如果斜棱柱的直截面的面积为s 侧棱长为l 那么它的体积是v斜棱柱 cl sl 二 长方体 1 几个概念 底面是叫做平行六面体 叫做直平行六面体 叫做长方体 叫做正方体 2 长方体的对角线的性质 长方体的一条对角线长的平方等于 平行四边形的四棱柱 侧棱与底面垂直的平行六面体 底面是矩形的直平行六面体 棱长都 相等的长方体 一个顶点上三条棱长的平方和 温馨提示 1 正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱 因此正四棱柱一定是长方体 长方体不一定是正四棱柱 三 棱锥的概念和性质 1 棱锥 如果一个多面体的一个面是多边形 其余各面是的三角形 那么这个多面体叫做棱锥 2 性质定理 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么所得的截面与底面相似 并且它们面积的比等于 有一个公共顶点 截 得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比 归纳拓展 1 如果棱锥的各侧棱相等或各侧棱与底面成等角 那么顶点在底面上的射影是底面多边形的外心 2 如果棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等 那么顶点在底面上的射影是底面多边形的内心 3 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直 那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心 四 正棱锥的概念与性质 1 正棱锥 如果一个棱锥的底面是 并且顶点在底面的射影是 这样的棱锥叫做正棱锥 2 正棱锥的性质 正棱锥各侧棱 各侧面都是 各等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的斜高 正棱锥的斜高相等 正棱锥的高 斜高和斜高在底面内的射影组成一个 正棱锥的高 侧棱 侧棱在底面内的射影也组成一个 正多边形 底面的中心 相等 全等的等腰三 角形 直角三角形 直角三角形 五 棱锥的面积与体积 1 棱锥的全面积 s全 等于底面积 s底 和侧面积 s侧 之和 即s全 若c为正棱锥的底面周长 h 为斜高 则s侧 ch 2 棱锥的体积等于它的底面积 s 与高 h 的乘积的三分之一 即v棱锥 sh s底 s侧 易错知识一 概念理解错误1 下面是关于正三棱锥的四个命题 底面是等边三角形 侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形 侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形 侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 侧棱与底面所成的角都相等 且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 其中 真命题的编号是 写出所有真命题的编号 解题思路 顶点在底面内的射影是内心 又底面是正三角形 故为中心 正确 如图 1 中 ac bc cd bd ad ab 每个侧面都是等腰三角形 但此棱锥不是正三棱锥 错误 如图 2 以正六边形abdefg的一边ab为边 作正 abc 正六边形的中心o为三棱锥s abc的顶点s的射影 满足条件 三棱锥的侧面积全相等 但不是正三棱锥 错误 由已知 顶点在底面内的射影是底面三角形的内心 也是外心 故底面三角形为正三角形 又可推导出各侧棱 斜高彼此相等 故各侧面为具有公共顶点的等腰三角形 故棱锥为正三棱锥 正确 综上所述 正确 失分警示 误区1 判断 是错误的 原因是把多面体的底面理解为其底面所在的平面 如图 2 二面角s ac o s bc o s ab o都相等 但不是正棱锥 注意 侧面sab与底面abc所成的二面角是s ab c 不是s ab o 误区2 判断 或 是正确的 直观认为正三棱锥满足 的条件 而又举不出反例 就认为正确 误区3 判断 错误 原因是由三角形的内心 外心重合而推导不出三角形为正三角形 或者对正三棱锥的概念理解不透 底面是正三角形 顶点在底面内的射影是底面正三角形的中心两个条件吃不准 而妄加判断 启示 对棱柱 棱锥 正棱柱 正棱锥的有关概念 相应性质要深刻理解 把握准确 特别是正棱柱 正棱锥条件要求很高 不可缺少 答案 二 公式应用错误3 如图 设三棱柱abc a1b1c1的体积为v p q分别是侧棱aa1 cc1上的点 且pa qc1 则四棱锥b apqc的体积为 解题思路 设侧面aa1c1c的面积为s b到侧面aa1c1c的距离为h 则v sh 由于pa c1q 则pq平分侧面aa1c1c的面积 即四边形apqc的面积为s 由棱锥的体积公式得vb apqc 失分警示 三棱柱的体积由一个侧面面积s与这个侧面和它相对棱的距离h表示为v sh 可以用补形法推导公式 这个公式可能有的同学记不住或不会灵活应用 而使本题思维受阻 答案 c 回归教材1 下列说法正确的是 a 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱b 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱c 底面是正多边形的棱柱是正棱柱d 侧面是全等矩形的棱柱是正棱柱 解析 考查4个命题 a不正确 两个相对的侧面是矩形 但另一对相对侧面不是矩形 这样的棱柱不是直棱柱 b正确 根据两相交平面垂直于第三个平面 那么它们的交线也垂直于这个平面 可得到侧棱必垂直于底面 c不正确 当侧棱不与底面垂直时 不是正棱柱 d不正确 如底面是菱形的直棱柱符合条件 但这样的棱柱不是正棱柱 故选b 答案 b 2 教材改编题 有四个命题 底面是矩形的平行六面体是长方体 棱长相等的直四棱柱是正方体 有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 对角线相等的平行六面体是直平行六面体 其中正确的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 对于 不正确 因为底面是矩形 若侧棱不垂直于底面 这时四棱柱仍然是斜平行六面体 对于 不正确 若底面是菱形 底面边长与棱长相等 但该直四棱柱不是正方体 对于 不正确 因为有两条侧棱垂直于底面一边 这时两条侧棱所在的侧面是矩形 但是不能推出侧棱与底面垂直 对于 正确 由对角线相等可得出平行六面体的对角面是矩形 从而推得侧棱与底面垂直 这个平行六面体是直平行六面体 答案 a 3 正三棱锥的底面边长为2 侧面均为直角三角形 则此三棱锥的体积为 答案 c 4 教材改编题 已知长方体的高是2cm 长与宽的比为4 3 一条对角线长为则它的长与宽分别为 a 4 3b 3 4c 8 6d 6 8答案 c 5 2009 江苏 8 在平面上 若两个正三角形的边长的比为1 2 则它们的面积比为1 4 类似地 在空间中 若两个正四面体的棱长的比为1 2 则它们的体积比为 答案 1 8 例1 如果四棱锥的四条侧棱都相等 就称它为 等腰四棱锥 四条侧棱称为它的腰 以下4个命题中 假命题是 a 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等b 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补c 等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆d 等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 思路点拨 过顶点作底面的垂线 找到线面角 利用四点共圆的条件判断a c 找到球心判断d 解析 如图所示 等腰四棱锥的侧棱均相等 其侧棱在底面的射影也相等 则其腰与底面所成的角相等 即a正确 底面四边形必有一个外接圆 即c正确 在高线上可以找到一个点o 使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等 这个点即为外接球的球心 即d正确 但四棱锥的侧面与底面所成的角不一定相等或互补 若为正四棱锥则成立 故仅命题b为假命题 答案 b 拓展提升 解决这类问题需在理解棱柱 棱锥几何特征与性质的基础上 准确理解几何体的定义 把握几何体的结构特征 高考中往往综合考查线面位置关系 需要有较强的空间想象能力 当需要否定一个命题时 举一个反例即可 作为选择题 利用四选一的特点 排除三个 可确定第四个为答案 探究 等腰四棱锥的底面形状确定吗 解析 不确定 根据定义 底面四边形只要是一个圆内接四边形即可 下面是关于四棱柱的四个命题 若有两个侧面垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面 则该四棱柱为直四棱柱 若四个侧面两两全等 则该四棱柱为直四棱柱 若四棱柱的四条对角线两两相等 则该四棱柱为直四棱柱 其中 真命题的编号是 写出所有真命题的编号 答案 解析 若有两个侧面垂直于底面 如果是两个相邻的侧面垂直于底面 则其交线必垂直于底面 就可以判定为直棱柱 如果是两个相对的侧面垂直于底面 则不能判定 但题目没有强调是相邻 所以不能判定 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面 则其交线垂直于底面 而侧棱与该交线平行 所以侧棱垂直于底面 满足条件的四棱柱为直棱柱 由各边长相等且全等的菱形为侧面 可组成一个四棱柱 则其可能为平行六面体 而非一定是直四棱柱 四棱柱的过相对侧棱的截面为平行四边形 若其对角线相等则其为矩形 即侧棱垂直于底面 所以满足条件的四棱柱为直四棱柱 例2 如图 在多面体abcdef中 已知abcd是边长为1的正方形 且 ade bcf均为正三角形 ef ab ef 2 则该多面体的体积为 解析 如下图所示 过bc做ef的直截面bcg 做面adm 面bcg 答案 a 2009 辽宁 11 正六棱锥p abcdef中 g为pb的中点 则三棱锥d gac与三棱锥p gac体积之比为 a 1 1b 1 2c 2 1d 3 2答案 c 解析 g为pb中点 vp gac vp abc vg abc 2vg abc vg abc vg abc 又多边形abcdef是正六边形 s abc s acd vd gac vg acd 2vg abc vd gac vp gac 2 1 例3 2009 山东 18 如图所示 在直四棱柱abcd a1b1c1d1中 底面abcd为等腰梯形 ab cd ab 4 bc cd 2 aa1 2 e e1分别是棱ad aa1的中点 1 设f是棱ab的中点 求证 直线ee1 平面fcc1 2 求证 平面d1ac 平面bb1c1c 证明 1 证法一 取a1b1的中点为f1 连结ff1 c1f1 由于ff1 bb1 cc1 所以f1 平面fcc1 因此平面fcc1即为平面c1cff1 连结a1d f1c 由于a1f1綊d1c1綊cd 所以四边形a1dcf1为平行四边形 因此a1d f1c 又ee1 a1d 得ee1 f1c 而ee1 平面fcc1 f1c 平面fcc1 故ee1 平面fcc1 证法二 因为f为ab的中点 cd 2 ab 2 ab cd 所以cd綊af 因此四边形afcd为平行四边形 所以ad fc 又cc1 dd1 fc cc1 c fc 平面fcc1 cc1 平面fcc1 所以平面add1a1 平面fcc1 又ee1 平面add1a1 所以ee1 平面fcc1 2 证明 连结ac 在 fbc中 fc bc fb 又f为ab的中点 所以af fc fb 因此 acb 90 即ac bc 又ac cc1 且cc1 bc c 所以ac 平面bb1c1c 而ac 平面d1ac 故平面d1ac 平面bb1c1c 如图 四棱锥p abcd中 pa 底面abcd pc ad 底面abcd为梯形 ab dc ab bc pa ab bc 点e在棱pb上 且pe 2eb 1 求证 平面pab 平面pcb 2 求证 pd 平面eac 3 求二面角a ec p的大小 解析 1 证明 pa 底面abcd pa bc 又ab bc pa ab a bc 平面pab 又bc 平面pcb 平面pab 平面pcb 2 pa 底面abcd ac为pc在平面abcd内的射影 又 pc ad ac ad 在梯形abcd中 由ab bc ab bc 3 在等腰直角 pab中 取pb的中点n 连结an 则an pb 平面pab 平面pcb 且平面pab 平面pcb pb an 平面pbc 在平面pbc内 过n作nh 直线ce于h 连结ah 由于nh是ah在平面ceb内的射影 故ah ce ahn就是二面角a ce p的平面角 在rt pbc中 设cb a 由nh ce eb cb可知 neh ceb 代入解得nh 在rt ahn中 例4 2009 石家庄一模 在四棱锥p abcd中 底面abcd是边长为2的菱形 bad 120 pa 2 pb pc pd e是pb的中点 1 求证 pa 平面abcd 2 求二面角e ac p的大小 3 设f是直线dc上的动点 求点e到平面paf的最大距离 解析 1 如图 取bc的中点m 连结pm am 四边形abcd为菱形 bad 120 则bc am bc pm bc 平面apm 从而bc pa 同理dc pa 故pa 平面abcd 或用同一法可证 2 先求二面角e ac b的大小 取ab的中点h 过h作hn ac于点n 连结en 则eh 平面abcd enh是二面角e ac b的平面角 可求得 enh arctan 又 平面pac 平面abcd 所以二面角e ac p的大小为 3 先求点b到平面paf的最大距离 pa 平面abcd 平面paf 平面abcd 平面paf 平面abcd af 点b到直线af的距离即为点b到平面paf的距离过点b作直线af的垂线段 在所有的垂线段中长度最大为ab 2故点e到平面paf的最大距离为1 2009 衡中模拟 13分 如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 aa1 2 ab 1 abc 90 点d e分别在bb1 a1d上 且b1e a1d 四棱锥c abda1与直三棱柱的体积之比为3