十二章 全等三角形.doc

第十二章 全等三角形 第 1 页 共 48 页 第十二章第十二章全等三角形全等三角形 单元 章 教学计划单元 章 教学计划 1 1 地位与作用 地位与作用 本章是在七年级学过线段 角 相交线 平行线以及三角形的有关知识的 基础上 进一步学习全等三角形 全等三角形的性质及各种三角形全等的判定 方法 同时学会如何利用全等三角形进行证明 让学生证明三角形两条对角线 的交点到三角形三边的距离相等 并进一步让学生得出这个交点在第三条角平 分线上 即三角形的三条角平分线交于一点 这也为学生今后在 圆 一章学 习内心作好了准备 也为今后更广泛的应用数学建模的思想方法奠定基础 具 有在代数学中承上启下的作用 渗透建立数学模型 分类讨论等数学思想 2 2 目标与要求 目标与要求 知识与技能知识与技能 1 了解全等三角形概念和性质 能够准确地辨认全等三角形中的对应元素 2 探索三角形全等的判定方法 能利用三角形全等进行证明 掌握综合法 证明的格式 3 了解角的平分线的性质 能利用三角形全等证明角的平分线的性质 会 利用角的平分线的性质进行证明 过程与方法过程与方法 1 学习全等三角形的概念和性质 探索全等三角形的条件和性质 2 掌握怎样找全等三角形的对应元素 能结合一些具体问题 依照全等 三角形的性质 完成线段和角的相等的推理 线段鱼角的计算问题 3 利用三角形全等的条件及角的平分线的性质 初步掌握经过一步一步 的推理 最后证明结论正确的方法 情感态度与价值观情感态度与价值观 把生产实际问题抽象转化为数学问题 渗透转化思想 培养抽象 概括 分析问题和解决问题的能力 3 3 重点与难点 重点与难点 重点是 三角形全等的条件 证明的基本过程 掌握证明的格式 第十二章 全等三角形 第 2 页 共 48 页 难点是 理解证明的基本过程 掌握用综合法证明的格式 4 4 教法与学法 教法与学法 根据教学内容 教学目标和学生的认知水平 主要采取教师启发引导 学 生自主探究 分类比较法 统一归纳法 自学讨论法 小组互动法等教学方法 教学过程中 创设适当的教学情境 证明的方向明确 过程简单 书写容易规 范化 引导学生独立思考 共同探究 5 5 活动步骤 活动步骤 一 创设情境 导入新课 二 探索新知 合作交流 三 应用迁移 提 高巩固 练习 四 总结反思 拓展升华 五 作业布置 6 6 时间安排 时间安排 11 1 全等三角形 1 课时 11 2 全等三角形的判定 5 课时 11 3 角的平分线的性质 2 课时 数学活动 复习与小结 2 课时 1212 1 1 全等三角形全等三角形 教学目标教学目标 知识与技能目标知识与技能目标 掌握怎样的两个图形是全等形 了解全等形 了解全等三角形的概念及表 示方法 知道全等三角形有关概念 掌握寻找全等三角形中对应元素的基本方 法 掌握全等三角形的性质 通过演译变换两个重合的三角形 呈现出它们之 间各种不同的位置关系 从中了解并体会图形的变换思想 逐步培养动态研究 几何意识 初步会用全等三角形的性质进行一些简单的计算 过程与方法目标 过程与方法目标 围绕全等三角形的对应元素这一中心 通过观察 操作 想象 交流 等 展开教学活动 设计一系列问题 给出三组组合图形 让学生找出它的对应顶 点 对应边 对应角 进面引入本节问题的主题 强化了本课的中心问题 全等三角形的性质 经历理解性质的过程 运用多媒体演示图形的位置变化 使学生认识到图形具有相对运动能力 变换两个重合的三角形的位置 使它们 第十二章 全等三角形 第 3 页 共 48 页 呈现各种不同的位置关系 让学生从中了解 体会图形的变换思想 逐步培养 学生动态研究几何图形的意识 情感与态度目标情感与态度目标 学生在富有趣味的活动中进行全等三角形的学习 提供学生发现规律的空 间 激发学生学习兴趣 给学生以充分的思考时间 有利于不同层次学生的学 习 教学重点教学重点 全等三角形的性质 教学难点教学难点 寻找全等三角形中的对应元素 教学方法教学方法 采用启发诱导 实例探究 讲练结合 小组合作等方法 课前准备课前准备 多媒体课件 教学教程教学教程 一 创设情境 引入新课一 创设情境 引入新课 1 电脑显示 问题 各组图形的形状与大小有什么特点 一般学生都能发现这两个图形是完全重合的 归纳 能够完全重合的两个图形叫做全等形 2 学生动手操作 在纸板上任意画一个三角形 ABC 并剪下 然后说出三角形的三个角 三条边和每个角的对边 每个边的对角 问题 如何在另一张纸板再剪一个三角形 DEF 使它与 ABC 全等 3 板书课题 全等三角形 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 全等 用 表示 读着 全等于 如图中的两个三角形全等 记作 ABC DEF 二 二 探究探究 全等三角形中的对应元素全等三角形中的对应元素 1 问题 你手中的两个三角形是全等的 但是如果任意摆放能重合吗 该 怎样做它们才能重合呢 2 学生讨论 交流 归纳得出 第十二章 全等三角形 第 4 页 共 48 页 A B C DE O A B C DE O 两个全等三角形任意摆放时 并不一定能完全重合 只有当把相同的角 重合到一起 或相同的边重合到一起 时它们才能完全重合 这时我们把重合 在一起的顶点 角 边分别称为对应顶点 对应角 对应边 表示两个全等三角形时 通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上 这样便于确定两个三角形的对应关系 全等三角形的性质全等三角形的性质 1 观察与思考 寻找甲图中两三角形的对应元素 它们的对应边 有什么关系 对应角呢 全等三角形的性质 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 2 用几何语言表示全等三角形的性质 如图 ABC DEF AB DE AC DF BC EF 全等三角形对应边相等 A D B E C F 全等三角形对应角相等 探求全等三角形对应元素的找法探求全等三角形对应元素的找法 1 动画 几何画板 演示 1 图中的各对三角形是全等三角形 怎样改变其中一个三角形的位置 使它能与另一个三角形完全重合 归纳归纳 两个全等的三角形经过一定的转换可以重合 一般是平移 翻折 旋转的方法 2 说出每个图中各对全等三角形的对应边 对应角 归纳归纳 从运动角度可以很轻松解决找对应元素的问题 可见图形转换的奇 妙 2 动画 几何画板 演示 图中的两个三角形通过怎样的变换才能重合 用式子表示全等关系 并说出 其中的对应关系 C B D A 第十二章 全等三角形 第 5 页 共 48 页 A BC D E F A BC D E F A B C DE O A B C DE O 3 归纳归纳 找对应元素的常用方法有两种 1 从运动角度看 a 翻折法 一个三角形沿某条直线翻折与另一个三角形重合 从而发现对 应元素 b 旋转法 三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合 从而发现 对应元素 c 平移法 沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素 2 根据位置元素来推理 a 有公共边的 公共边是对应边 b 有公共角的 公共角是对应角 c 有对顶角的 对顶角是对应角 d 两个全等三角形最大的边是对应边 最小的边也是对应边 e 两个全等三角形最大的角是对应角 最小的角也是对应角 三 课堂练习三 课堂练习 练习 1 ABD ACE 若 B 25 BD 6 AD 4 你能得出 ACE 中哪些角的大小 哪些边的长度吗 为什么 练习 2 ABC FED 写出图中相等的线段 相等的角 图中线段除相等外 还有什么关系吗 请与同伴交 流并写出来 四 课堂小结四 课堂小结 通过本节课学习 我们了解了全等的概念 发现了全等三角形的性质 探 索了找两个全等三角形对应元素的方法 并且利用性质解决简单的问题 找对应元素的常用方法有三种 一 从运动角度看 1 平移法 沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素 FB A C D E 第十二章 全等三角形 第 6 页 共 48 页 2 翻转法 找到中心线 沿中心线翻折后能相互重合 从而发现对应元 素 3 旋转法 三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合 从而发现 对应元素 二 根据位置元素来推理 1 全等三角形对应角所对的边是对应边 两个对应角所夹的边是对应边 2 全等三角形对应边所对的角是对应角 两条对应边所夹的角是对应角 三 根据经验来判断 1 大边对应大边 大角对应大角 2 公共边是对应边 公共角是对应角 五 课堂作业五 课堂作业 教科书习题 12 1 第 3 5 6 题 六 板书设计六 板书设计 12 1 全等三角形 一 概念 二 全等三角形的性质 三 性质应用 例题 四 小结 找对应元素的方法 运动法 翻折 旋转 平移 位置法 对应角 对应边 对应边 对应角 经验法 大边 大边 大角 大角 公共边是对应边 公共角是对应 角 第十二章 全等三角形 第 7 页 共 48 页 12 212 2 三角形全等的判定三角形全等的判定 第第 1 1 课时课时 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 掌握三角形全等的 边边边 的条件 了解三角形的稳定 性 过程与方法 过程与方法 经历探索三角形全等条件的过程 体会利用操作 归纳获得数学结论的 过程 通过对问题的共同探讨 培养学生的协作精神 情感态度与价值观 情感态度与价值观 让学生在自主探索三角形全等的过程中 经历画图 观察 比较 推理 交流等环节 从而获得正确的学习方法和享受良好的情感 体验 让学生体验数学来源于生活 又服务于生活的辩证思想 教学重点学重点 三角形全等的条件 教学难点教学难点 寻求三角形全等的条件 教学方法教学方法 采用启发诱导 实例探究 讲练结合 小组合作等方法 课前准备课前准备 多媒体课件 教学过程教学过程 一 创设情境 引入新课一 创设情境 引入新课 师 出示投影片一 回忆前面研究过的 全等三角形 已知 ABC A B C 找出其中相 等的边与角 生 图中相等的边是 AB A B BC B C AC A C 相等的角是 A A B B C C 师 很好 老师这里有一个三角形纸片 你能画一个三角形与它全等吗 怎样画 C B A CB A 第十二章 全等三角形 第 8 页 共 48 页 生 能 先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数 再作出一个三角形 使它的边 角分别和已知的三角形纸片的对应边 对应角相等 这样作出的三 角形一定与已知的三角形纸片全等 师 这位同学利用了全等三角形的定义来作图 请问 是否一定需要六个 条件呢 条件能否尽可能少呢 现在我们就来探究这个问题 出示投影片二 1 只给一个条件 一组对应边相等或一组对应角相等 画出的两个三角 形一定全等吗 2 给出两个条件画三角形时 有几种可能的情况 每种情况下作出的三角 形一定全等吗 分别按下列条件做一做 三角形一内角为 30 一条边为 3cm 三角形两内角分别为 30 和 50 三角形两条边分别为 4cm 6cm 学生活动 分组讨论 探索 归纳 最后以组为单位出示结果作补充交 流 结果展示 1 只给定一条边时 只给定一个角时 2 给出的两个条件可能是 一边一内角 两内角 两边 3cm 3cm 3cm 30 30 30 50 50 30 30 6cm 4cm4cm 6cm 第十二章 全等三角形 第 9 页 共 48 页 可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等 师 那么 给出三个条件画三角形 你能说出有几种可能的情况吗 生 四种可能 即 三内角 三条边 两边一内角 两内有一边 师 在大家刚才的探索中 我们已经发现三内角不能保证三角形全等 下 面我们就来逐一探索其余的三种情况 二二 探究探究 出示投影片三 做一做 已知一个三角形的三条边长分别为 6cm 8cm 10cm 你能画出这个三角形 吗 把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较 它们全等吗 学生活动 1 讨论作法 2 比较 验证结果 3 探究 发现 总结规律 教师活动 教师可参与到学生的制作与讨论中 及时发现问题 因势利导 活动结果展示 1 作图方法 先画一线段 AB 使得 AB 6cm 再分别以 A B 为圆心 8cm 10cm 为半径 画弧 两弧交点记作 C 连结线段 AC BC 就可以得到三角形 ABC 使得它们 的边长分别为 AB 6cm AC 8cm BC 10cm 2 以小组为单位 把剪下的三角形重叠在一起 发现都能够重合 这说 明这些三角形都是全等的 3 特殊的三角形有这样的规律 要是任意画一个三角形 ABC 根据前面作 法 同样可以作出一个三角形 A B C 使 AB A B AC A C BC B C 将 A B C 剪下 发现两三角形重合 这反映了一个规律 三边对应相等的两个三角形全等 简写为三边对应相等的两个三角形全等 简写为 边边边边边边 或或 SSS SSS 师 用上面的规律可以判断两个三角形全等 判断两个三角形全等的推理 过程 叫做证明三角形全等 所以 SSS 是证明三角形全等的一个依据 请看 第十二章 全等三角形 第 10 页 共 48 页 例题 三 例题三 例题 例例 如图 ABC 是一个钢架 AB AC AD 是连结点 A 与 BC 中点 D 的支 架 求证 ABD ACD 师生共析 要证 ABD ACD 可以看这两个 三角形的三条边是否对应相等 证明 因为 D 是 BC 的中点 所以 BD DC 在 ABD 和 ACD 中 ABAC BDCD ADAD 公公公 所以 ABD ACD SSS 生活实践介绍 用三根木条钉成三角形框架 它的大小和形状是固定不变 的 而用四根木条钉成的框架 它的形状是可以改变的 三角形的这个性质叫 做三角形的稳定性 所以日常生活中常利用三角形做支架 就是利用三角形的 稳定性 例如屋顶的人字梁 大桥钢架 索道支架等 四 课时小结四 课时小结 本节课我们探索得到了三角形全等的条件 发现了证明三角形全等的一个 规律 SSS 并利用它可以证明简单的三角形全等问题 五 布置作业五 布置作业 必做题 教科书习题 12 2 第 1 9 题 选做题 如图 ABC 和 EFD 中 AB EF AC ED 点B D C F 在 一条直线上 1 添加一个条件 由 SSS 可判定 ABC EFD 2 在 1 的基础上 求证 AB EF DCB A 第十二章 全等三角形 第 11 页 共 48 页 六 板书设计六 板书设计 12 212 2 三角形全等的条件三角形全等的条件 第第 2 2 课时课时 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 理解三角形全等的 边角边 的条件 掌握三角形全等的 SAS 条件 了解三角形的稳定性 能运用 SAS 证明简单的三角形全等问 题 过程与方法 过程与方法 经历探究全等三角形条件的过程 体会利用操作 归纳获得 数学规律的过程 掌握三角形全等的 边角边 条件 在探索全等三角形条件 及其运用过程中 培养有条理分析 推理 并进行简单的证明 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过画图 思考 探究来激发学生学习的积极性和主 动性 并使学生了解一些研究问题的经验和方法 开拓实践能力与创新精神 教学重点教学重点 三角形全等的条件 教学难点教学难点 寻求三角形全等的条件 教学方法教学方法 采用启发诱导 实例探究 讲练结合 小组合作等方法 课前准备课前准备 多媒体课件 教学过程教学过程 一 创设情境 导入新课一 创设情境 导入新课 师 在上节课的讨论中 我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时 都不能保证所画出的三角形一定全等 给出三个条件时 有四种可能 能说出 是哪四种吗 12 1 三角形全等判定 1 一 复习导入 二 尝试活动 探索新知 三 应用新知 解决问题 四 总结提高 第十二章 全等三角形 第 12 页 共 48 页 生 三内角 三条边 两边一内角 两内角一边 师 很好 这四种情况中我们已经研究了两种 三内角对应相等不能保证 两三角形一定全等 三条边对应相等的两三角形全等 今天我们接着研究第三 种情况 两边一内角 一 问题 如果已知一个三角形的两边及一内角 那么它有几种可能情 况 生 两种 1 两边及其夹角 2 两边及一边的对角 师 按照上节方法 我们有两个问题需要探究 二 探究 1 先画一个任意 ABC 再画出一个 A B C 使 AB A B AC A C A A 即保证两边和它们的夹角对应相等 把画好的三 角形 A B C 剪下 放到 ABC 上 它们全等吗 探究 2 先画一个任意 ABC 再画出 A B C 使 AB A B AC A C B B 即保证两边和其中一边的对角对应相等 把画好的 A B C 剪 下 放到 ABC 上 它们全等吗 学生活动 1 学生自己动手 利用直尺 三角尺 量角器等工具画出 ABC 与 A B C 将 A B C 剪下 与 ABC 重叠 比较结果 2 作好图后 与同伴交流作图心得 讨论发现什么样的规律 教师活动 教师可学生作完图后 由一个学生口述作图方法 教师进行多媒体播放画 图过程 再次体会探究全等三角形条件的过程 二二 探究探究 操作结果展示 对于探究 1 画一个 A B C 使 A B AB A C AC A A 1 画 DA E A 2 在射线 A D 上截取 A B AB 在射线 A E 上截取 A C AC 第十二章 全等三角形 第 13 页 共 48 页 3 连结 B C 将 A B C 剪下 发现 ABC 与 A B C 全 等 这就是说 两边和它们的夹角对应相等的两个 三角形全等 可以简写为 边角边 或 SAS 播放课件 两边和它们的夹角对应角相等的两个三角形全等 简称 边角边 和 SAS 如图 在 ABC 和 DEF 中 ABDE BEABCDEF BCEF 对于探究 2 学生画出的图形各式各样 有的说全等 有的说不全等 教师在此可引导 学生总结画图方法 1 画 DB E B 2 在射线 B D 上截取 B A BA 3 以 A 为圆心 以 AC 长为半径画弧 此时只要 C 90 弧线一定和 射线 B E 交于两点 C F 也就是说可以得到两个三角形满足条件 而两个三角 形是不可能同时和 ABC 全等的 播放课件 也就是说 两边及其中一边的对角对应相等的两 个三角形不一定全等 所以它不能作为判定两三角形 全等的条件 归纳总结 两边及一内角 中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等 即 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 简记为 简记为 边角边边角边 或或 SAS SAS 三 应用举例三 应用举例 C B A D C B E A F D C B E A C B A F D E 第十二章 全等三角形 第 14 页 共 48 页 A A B B C C D D E E 例例 如图 有一池塘 要测池塘两端 A B 的距离 可先在平地上取一个可以直 接到达 A 和 B 的点 C 连结 AC 并延长到 D 使 CD CA 连结 BC 并延长到 E 使 CE CB 连结 DE 那么量出 DE 的长就是 A B 的距离 为什么 师生共析 如果能证明 ABC DEC 就可以得出 AB DE 在 ABC 和 DEC 中 AC DC BC EC 要是再有 1 2 那么 ABC 与 DEC 就全等了 而 1 和 2 是对顶角 所以它们相等 证明 在 ABC 和 DEC 中 12 ACDC BCEC 所以 ABC DEC SAS 所以 AB DE 例2 某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶点处打碎成两块 如图 现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃 请问如果只准带一块碎片 应该带哪 一块去 能试着说明理由吗 利用今天所学 边角边 知识 带1号的那块 因为它完整地保留了两边及 其夹角 一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了 这个三角形的形状 大小就确定下来了 四 练习四 练习 1 1 已知 AD BC AD CB 图3 求证 ADC CBA 2 1 D C B E A 第十二章 全等三角形 第 15 页 共 48 页 2 2 已知 AB AC AD AE 1 2 图4 求证 ABD ACE 五 课堂小结五 课堂小结 1 根据边角边公理判定两个三角形全等 要找出两边及夹角对应相等的三 个条件 2 找使结论成立所需条件 要充分利用已知条件 包括给出图形中的隐含 条件 如公共边 公共角等 并要善于运用学过的定义 公理 定理 六 布置作业六 布置作业 教科书习题 12 2 第 2 3 10 题 七 板书设计七 板书设计 12 212 2 三角形全等的判定三角形全等的判定 第第 3 3 课时课时 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 理解三角形全等的条件 角边角 角角边 三角形全等条件 小结 掌握三角形全等的 角边角 角角边 条件 能运用全等三角形的条件 解决简单的推理证明问题 过程与方法 过程与方法 经历探究全等三角形条件的过程 进一步体会操作 归纳获 得数学规律的过程 掌握三角形全等的 角边角 角角边 条件 能运用全等 三角形的条件 解决简单的推理证明问题 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过画图 探究 归纳 交流 使学生获得一些研究 问题的经验和方法 发展实践能力和创新精神 教学重点教学重点 已知两角一边的三角形全等探究 教学难点教学难点 灵活运用三角形全等条件证明 12 2 三角形全等判定 2 一 复习导入 二 尝试活动 探索新知 三 应用新知 解决问题 四 总结提高 第十二章 全等三角形 第 16 页 共 48 页 教学方法教学方法 采用启发诱导 实例探究 讲练结合 小组合作等方法 课前准备课前准备 多媒体课件 教学过程教学过程 一 创设情境 导入新课一 创设情境 导入新课 1 复习 1 三角形中已知三个元素 包括哪几种情况 三个角 三个边 两边一角 两角一边 2 到目前为止 可以作为判别两三角形全等的方法有几种 各是什么 三种 定义 SSS SAS 2 师 在三角形中 已知三个元素的四种情况中 我们研究了三种 今天 我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢 二二 探究 探究 师 三角形中已知两角一边有几种可能 生 1 两角和它们的夹边 2 两角和其中一角的对边 做一做 三角形的两个内角分别是 60 和 80 它们的夹边为 4cm 你能画一个 三角形同时满足这些条件吗 将你画的三角形剪下 与同伴比较 观察它们是 不是全等 你能得出什么规律 学生活动 自己动手操作 然后与同伴交流 发现规律 教师活动 检查指导 帮助有困难的同学 活动结果展示 以小组为单位将所得三角形重叠在一起 发现完全重合 这说明这些三角 形全等 规律 规律 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 可以简写成 角边角 或 ASA 师 我们刚才做的三角形是一个特殊三角形 随意画一个三角形 ABC 能 不能作一个 A B C 使 A A B B AB A B 呢 生 能 第十二章 全等三角形 第 17 页 共 48 页 学生口述画法 教师进行多媒体课件演示 使学生加深对 ASA 的理解 生 先用量角器量出 A 与 B 的度数 再用直尺量出 AB 的边长 画线段 A B 使 A B AB 分别以 A B 为顶点 A B 为一边作 D A B EB A 使 D AB CAB EB A CBA 射线 A D 与 B E 交于一点 记为 C 即可得到 A B C 将 A B C 与 ABC 重叠 发现两三角形全等 师 于是我们发现规律 两角和它们的夹边对应相等的两三角两角和它们的夹边对应相等的两三角 形全等 可以简写成形全等 可以简写成 角边角角边角 或或 ASA ASA 这又是一个判定三角形全等的条件 生 在一个三角形中两角确定 第三个角一定确定 我们是不是可以不作 图 用 ASA 推出 两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等 呢 师 你提出的问题很好 温故而知新嘛 请同学们来验证这种想法 三 练习三 练习 如图 在 ABC 和 DEF 中 A D B E BC EF ABC 与 DEF 全 等吗 能利用角边角条件证明你的结论吗 证明 A B C D E F 180 A D B E A B D E C F 在 ABC 和 DEF 中 BE BCEF CF ABC DEF ASA 于是得规律 两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 可以简写成两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 可以简写成 角角角角 C A B D C A B E D C A BF E 第十二章 全等三角形 第 18 页 共 48 页 边边 或或 AAS AAS 四 例题四 例题 例例 1 1 如下图 D 在 AB 上 E 在 AC 上 AB AC B C 求证 AD AE 师生共析 AD 和 AE 分别在 ADC 和 AEB 中 所以要证 AD AE 只需证明 ADC AEB 即可 学生写出证明过程 证明 在 ADC 和 AEB 中 AA ACAB CB 所以 ADC AEB ASA 所以 AD AE 例例 2 2 如图 小明 小强一起踢球 不小心把一块三角形的装饰玻璃踢 碎了 摔成了 3 块 两人决定赔偿 你能告诉他们只带其中哪一块去玻璃店 就可以买到一块完全一样的玻璃吗 师 请同学们把三角形全等的判定方法做一个小结 学生活动 自我回忆总结 然后小组讨论交流 补充 有五种判定三角形全等的条件 1 全等三角形的定义 2 边边边 SSS 3 边角边 SAS 4 角边角 ASA 5 角角边 AAS 推证两三角形全等 要学会联系思考其条件 找它们对应相等的元素 这样有 利于获得解题途径 D C A B E 第十二章 全等三角形 第 19 页 共 48 页 练习 图中的两个三角形全等吗 请说明理由 五 课堂小结五 课堂小结 我们有五种判定三角形全等的方法 1 全等三角形的定义 2 判定定理 边边边 SSS 边角边 SAS 角边角 ASA 角角边 AAS 六 布置作业六 布置作业 习题 12 2 第 4 5 11 12 题 七 板书设计七 板书设计 12 212 2 三角形全等的判定三角形全等的判定 第第 4 4 课时课时 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 直角三角形全等的条件 斜边 直角边 过程与方法 过程与方法 经历探究直角三角形全等条件的过程 体会一般与特殊的辩 证关系 掌握直角三角形全等的条件 斜边 直角边 能运用全等三角形的 条件 解决简单的推理证明问题 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过画图 探究 归纳 交流使学生获得一些研究问 题的经验和方法 发展实践能力和创新精神 教学重点教学重点 运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题 教学难点教学难点 熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题 教学方法教学方法 采用启发诱导 实例探究 讲练结合 小组合作等方法 课前准备课前准备 多媒体课件 教学过程教学过程 29 29 D CAB 2 E 50 50 45 45 D C A B 1 12 2 三角形全等判定 3 一 复习导入 二 尝试活动 探索新知 三 应用新知 解决问题 四 总结提高 第十二章 全等三角形 第 20 页 共 48 页 一 提出问题 复习旧知一 提出问题 复习旧知 1 判定两个三角形全等的方法 2 如图 Rt ABC 中 直角边是 斜边是 3 如图 AB BE 于 C DE BE 于 E 1 若 A D AB DE 则 ABC 与 DEF 填 全等 或 不全等 根据 用简写法 2 若 A D BC EF 则 ABC 与 DEF 填 全等 或 不全等 根据 用简写法 3 若 AB DE BC EF 则 ABC 与 DEF 填 全等 或 不全等 根据 用简写法 4 若 AB DE BC EF AC DF 则 ABC 与 DEF 填 全等 或 不全等 根据 用简写法 二二 创设情境 导入新课 创设情境 导入新课 如图 舞台背景的形状是两个 直角三角形 工作人员想知道这两 个直角三角形是否全等 但两个三 角形都有一条直角边被花盆遮住无 法测量 播放课件 1 你能帮他想个办法吗 2 如果他只带了一个卷尺 能完成这个任务吗 1 生 能有两种方法 第一种方法 用直尺量出斜边的长度 再用量角器量出其中一个锐角的大 小 若它们对应相等 根据 AAS 可以证明两直角三角形是全等的 第二种方法 用直尺量出不被遮住的直角边长度 再用量角器量出其中一 个锐角的大小 若它们对应相等 根据 ASA 或 AAS 可以证明这两个直角 第十二章 全等三角形 第 21 页 共 48 页 三角形全等 可是 没有量角器 只有卷尺 那么他只能量出斜边长度和不被遮住的直 角边边长 可是它们又不是 两边夹一角的关系 所以我没法判定它们全等 师 这位师傅量了斜边长和没遮住的直角边边长 发现它们对应相等 于 是他判断这两个三角形全等 你相信吗 三 探究三 探究 做一做 已知线段 AB 5cm BC 4cm 和一个直角 利用尺规做一个直角三角形 使 C 90 AB 作为斜边 做好后 将 ABC 剪下与同伴比较 看能发现什么规 律 学生自主完成后 与同伴交流作图心得 然后由一名同学口述作图方 法 老师做多媒体课件演示 激发学习兴趣 作法 第一步 作 MCN 90 第二步 在射线 CM 上截取 CB 4cm 第三步 以 B 为圆心 5cm 为半径画弧交射 线 CN 于点 A 第四步 连结 AB 就可以得到所想要的 Rt ABC 如下图所示 将 Rt ABC 剪下 同一组的同学做的三角形叠在一起 发现这些三角形全 等 可以验证 对一般的直角三角形也有这样的规律 探究结果总结 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 可以简写成 斜边 直角边 和 HL 师 你能用几种方法说明两个直角三角形全等呢 生 直角三角形也是三角形 一般来说 可以用 定义 SSS SAS ASA AAS 这五种方法 但它又具有特殊性 还可以用 HL 的 方法判定 第十二章 全等三角形 第 22 页 共 48 页 师 很好 两直角三角形中由于有直角相等的条件 所以判定两直角三角 形全等只须找两个条件 但这两个条件中至少要有一个条件是一对对应边才 行 四 例题 四 例题 例例 1 1 如图 AC BC BD AD AC BD 求证 BC AD 分析 BC 和 AD 分别在 ABC 和 ABD 中 所以只须证明 ABC BAD 就可以证明 BC AD 了 证明 AC BC BD AD D C 90 在 Rt ABC 和 Rt BAD 中 ABAB ACBD Rt ABC Rt BAD HL BC AD 例例 2 2 有两个长度相等的滑梯 左边滑梯的高 AC 与右边滑梯水平方向的长 度 DF 相等 两滑梯倾斜角 ABC 和 DFE 有什么关系 师生共析 ABC 和 DFE 分别在 Rt ABC 和 Rt DEF 中 已知条件中这 两个三角形又有一些对应的等量关系 所以可以证明这两个三角形全等得到对 应角相等 显然 可以看出这两个角不相等 它们又是直角三角形中的锐角 是不是互余呢 我们试试看 证明 在 Rt ABC 和 Rt DEF 中 BCEF ACDF 所以 Rt ABC Rt DEF HL ABC DEF 又 DEF DFE 90 ABC DFE 90 即两滑梯的倾斜角 ABC 与 DFE 互余 五 课时小结五 课时小结 第十二章 全等三角形 第 23 页 共 48 页 至此 我们有六种判定三角形全等的方法 1 全等三角形的定义 2 边边边 SSS 3 边角边 SAS 4 角边角 ASA 5 角角边 AAS 6 HL 仅用在直角三角形 中 六 布置作业六 布置作业 教科书习题 12 2 第 6 7 8 题 七 板书设计七 板书设计 12 212 2 三角形全等的判定三角形全等的判定 第第 5 5 课时课时 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 1 掌握全等三角形的判定方法 2 能结合已知条件合理选用某种判定方法证明两个三角形全等 过程与方法 过程与方法 经历探究全等三角形条件的过程 体会利用操作 归纳获得 数学规律的过程 掌握三角形全等的条件 在探索全等三角形条件及其运用过 程中 培养有条理分析 推理 并进行简单的证明 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过画图 思考 探究来激发学生学习的积极性和主 动性 并使学生了解一些研究问题的经验和方法 开拓实践能力与创新精神 12 2 三角形全等判定 4 一 复习导入 二 尝试活动 探索新知 三 应用新知 解决问题 四 总结提高 第十二章 全等三角形 第 24 页 共 48 页 教学重点教学重点 根据已知条件选择合适的判定方法证明两个三角形全等 教学难点教学难点 根据已知条件选择合适的判定方法证明两个三角形全等 教学方法教学方法 采用启发诱导 实例探究 讲练结合 小组合作等方法 课前准备课前准备 多媒体课件 教学过程教学过程 一 一 知识梳理知识梳理 问题 1 请同学们回答下列问题 1 判定两个三角形全等的方法有哪些 2 判定两个直角三角形全等的方法有哪些 3 在三角形全等的判定方法中 至少要几个条件 二 二 证题思路建构证题思路建构 问题 2 已知 如图 1 当AB DC时 再添一个条件证明 ABC DCB 这个条件可以是 2 当 A D 时 再添一个条件证明 ABC DCB 这个条件可以是 分析 分析 在 ABC 和 DCB 中 已经具备了什么条件 1 若要以 SAS 为依据 还缺条件 2 若要以 ASA 为依据 还缺条件 3 若要以 AAS 为依据 还缺条件 4 若要以 SSS 为依据 还缺条件 证明两个三角形全等的基本思路证明两个三角形全等的基本思路 1 已知两边 2 已知一边一角 第十二章 全等三角形 第 25 页 共 48 页 3 已知两角 三 三 典型例题典型例题 例 1 已知 如图 1 若AB DC A D 你能证明哪两个三角形全等 2 若AB DC A D 90 你能证明哪两个三角形全等 变式 1 已知 如图 ABC DCB BD CA 分别是 ABC DCB 的平分线 求证 AB DC 变式 2 已知 如图 AB DC AC DB 求证 EA ED 变式 3 已知 如图 AB DC AC BD 求证 EA ED 变式 4 如图 延长 BA CD 交于点 P 1 若PA PD PB PC 求证 BE CE 2 若PA PD B C 求证 BE CE 四 小结 四 小结 证两三角形全等的方法证两三角形全等的方法 1 先确定要证哪两个三角形全等 第十二章 全等三角形 第 26 页 共 48 页 2 在图中标出相等的边和角 公共边 公共角以及对顶角都是隐含 条件 3 分析已知条件 欠缺条件 选择判断方法 五 五 布置作业布置作业 教科书复习题 12 第 3 4 7 8 9 题 12 312 3 角平分线角平分线 第第 1 1 课时课时 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 理解角平分线的画法 应用三角形全等的知识 解释角平分 线的原理 会用尺规作一个已知角的平分线 过程与方法 过程与方法 在探索角的平分线的画法和性质中培养学生探究问题的兴趣 增强解决问题的信心 情感态度与价值观 情感态度与价值观 在利用尺规作图的过程中 培养学生动手操作能力与 探索精神 教学重点教学重点 利用尺规作已知角的平分线 教学难点教学难点 角的平分线性质的应用 教学方法教学方法 采用启发诱导 实例探究 讲练结合 小组合作等方法 课前准备课前准备 多媒体课件 教学过程教学过程 一 创设情境 导入新课一 创设情境 导入新课 问题 1 三角形中有哪些重要线段 第十二章 全等三角形 第 27 页 共 48 页 问题 2 你能作出这些线段吗 生甲 三角形中有三条重要线段 它们分别是 三角形的高 三角形的中 线 三角形的角的平分线 过三角形的顶点作这个顶点的对边的垂线 交对边于一点 顶点与垂足的 连线就是这个三角形的高 取三角形一边的中点 此中点与这个边对应顶点的连线就是这条边的中 线 用量角器量出三角形的角的大小 量角器零度线与这个角的一边重合 这 个角一半所对应的线就是这个角的角平分线 生乙 我不同意你对角平分线的描述 三角形的角平分线是一条线段 而 一个已知角的平分线是一条射线 这两个概念是有区别的 师 你补充得很好 数学是一门严密性很强的学科 你的这种精神值得我 们学习 如果老师手里只有直尺和圆规 你能帮我设计一个作角的平分线的操 作方案吗 生 我记得在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题 在 AOB 的两边 OA 和 OB 上分别取 OM ON MC OA NC OB MC 与 NC 交于 C 点 求证 MOC NOC 通过证明 Rt MOC Rt NOC 即可证明 MOC NOC 所以 射线 OC 就是 AOB 的平分线 受这个题的启示 我们能不能这样做 在已知 AOB 的两边上分别截取 OM ON 再分别过 M N 作 MC OA NC OB MC 与 NC 交于 C 点 连接 OC 那么 OC 就是 AOB 的平分线 了 师 他这个方案可行吗 师 这位同学不仅给了操作方法 而且还讲明了操作原理 这种学以致用 联想迁移的学习方法值得大家借鉴 议一议 下图是一个平分角的仪器 其中 AB AD BC DC 将点 A 放在角的 顶点 AB 和 AD 沿着角的两边放下 沿 AC 画一条射线 AE AE 就是角平分 第十二章 全等三角形 第 28 页 共 48 页 线 你能说明它的道理吗 教师活动 播放多媒体课件 演示角平分仪器的操作过程 使学生直观了解得到射线 AC 的方法 二二 探究 探究 学生活动 观看多媒体课件 讨论操作原理 生 1 要说明 AC 是 DAC 的平分线 其实就是证明 CAD CAB 生 2 CAD 和 CAB 分别在 CAD 和 CAB 中 那么证明这两个三角形全 等就可以了 生 3 我们看看条件够不够 ABAD BCDC ACAC 所以 ABC ADC SSS 所以 CAD CAB 即射线 AC 就是 DAB 的平分线 生 4 原来用三角形全等 就可以解决角相等 线段相等的一些问题 看 来温故是可以知新的 老师再提出问题 通过上述探究 能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法 自己动手 做做看 然后与同伴交流操作心得 讨论结果展示 作已知角的平分线的方法 作已知角的平分线的方法 已知 AOB 求作 AOB 的平分线 作法 1 以 O 为圆心 适当长为半径作弧 分别交 OA OB 于 M N 2 分别以 M N 为圆心 大于MN 的长为半径作弧 两弧在 AOB 内部 1 2 第十二章 全等三角形 第 29 页 共 48 页 交于点 C 3 作射线 OC 射线 OC 即为所求 练一练 任意画一角 AOB 作它的平分线 三 探索三 探索 按以下步骤折纸 1 在准备好的三角形的每个顶点上标好字母 A B C 把角 A 对折 使得 这个角的两边重合 2 在折痕 即平分线 上任意找一点 C 3 过点 C 折 OA 边的垂线 得到新的折痕 CD 其中 点 D 是折痕与 OA 的交 点 即垂足 4 将纸打开 新的折痕与 OB 边交点为 E 角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等 角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等 下面用我们学过的知识证明发现 如图 已知 AO 平分 BAC OE AB OD AC 求证 OE OD 解决简单问题 巩固角的平分线的性质解决简单问题 巩固角的平分线的性质 练习 如图 ABC中 B C AD 是 BAC的平分线 DE AB DF AC 垂足分别为E F 求证 EB FC 在此题的已知条件下 你还能得到哪些结论 四 课堂小结四 课堂小结 本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识 探究得到了角平分线仪器 的操作原理 由此归纳出角的平分线的尺规画法 并探究了角平分线的性质 第十二章 全等三角形 第 30 页 共 48 页 五 布置作业五 布置作业 教科书习题 12 3 第 4 5 题 六 板书设计六 板书设计 11 3 211 3 2 角平分线角平分线 第第 2 2 课时课时 教学目标教学目标 知识与技能 知识与技能 理解角的平分线的性质会叙述角的平分线的性质及 到角两 边距离相等的点在角的平分线上 能应用这两个性质解决一些简单的实际问 题 过程与方法 过程与方法 会叙述角的平分线的性质及 到角两边距离相等的点在角的 平分线上 能应用这两个性质解决一些简单的实际问题 探索 归纳的方法 情感态度与价值观 情感态度与价值观 通过折纸 画图 文字一符号的翻译活动 培养学生 的联想 探索 概括归纳的能力 激发学生学习数学的兴趣 教学重点教学重点 角平分线的性质及其应用 教学难点 教学难点 灵活应用两个性质解决问题 教学方法教学方法 采用启发诱导 实例探究 讲练结合 小组合作等方法 12 3 角的平分线的性质 1 1 角的平分线的画法 2 角的平分线的性质 3 角的平分线性质的应用 4 小结 5 巩固练习 第十二章 全等三角形 第 31 页 共 48 页 课前准备课前准备 多媒体课件 教学过程教学过程 一 创设情境 引入新课一 创设情境 引入新课 师 请同学们拿出准备好的折纸与剪刀 自己动手 剪一个角 把剪好的 角对折 使角的两边叠合在一起 再把纸片展开 你看到了什么 把对折的纸 片再任意折一次 然后把纸片展开 又看到了什么 生 我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线 再折一次 又会出现 两条折痕 而且这两条折痕是等长的 这种方法可以做无数次 所以这种等长 的折痕可以折出无数对 角平分线的性质即已知角的平分线 能推出什么样的结论 操作 1 折出如图所示的折痕 PD PE 2 你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求 画一画 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕 并度量所画 PD PE 是否等长 拿出两名同学的画图 放在投影下 请大家评一评 以达明确概念的目的 生 同学乙的画法是正确的 同学甲 画的是过角平分线上一点画角平分线的垂 线 而不是过角平分线上一点画两边的垂 线段 所以同学甲的画法不符合要求 生甲 噢 对于 我知道了 师 同学甲 你再做一遍加深一下印象 问题 1 你能用文字语言叙述所画图形的性质吗 生 角平分线上的点到角的两边的距离相等 二二 探究探究 第十二章 全等三角形 第 32 页 共 48 页 问题 2 出示投影片 能否用符号语言来翻译 角平分线上的点到角的两边的距离相等 这句 话 请填下表 学生通过讨论作出下列概括 已知事项 OC 平分 AOB PD OA PE OB D E 为垂 足 由已知事项推出的事项 PD PE 于是我们得角的平分线的性质 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等 师 那么到角的两边距离相等的点 是否在角的平分线上呢 出示投影 问题 3 根据下表中的图形和已知事项 猜想由已知事项可推出的事项 并用符 号语言填写下表 生讨论 已知事项符合直角三角形 全等的条件 所以 Rt PEO PDO HL 于是可得 PDE POD 由已知推出的事项 点 P 在 AOB 的平分线上 师 这样的话 我们又可以得到一个性质 到角的两边距离相等的点在角 的平分线上 同学们思考一下 这两个性质有什么联系吗 生 这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换 师 对 这是自己的语言 这一点在数学上叫 互逆性 下面请同学们思考