第2章概率论..doc

第2章 习题同步解析1. 下列给出的两个数列，是否为随机变量的分布律，并说明理由（1）；（2）；（3）解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证是否满足下列两个条件：，依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为；（3）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为2. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以表示取出的3个球中最大号码，求的概率分布解 依题意可能取到的值为，事件表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即；事件表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在号球中任选，此时；同理可得的分布律为3453. 某射手有5发子弹，现对一目标进行射击，每次射击命中率为，如果击中就停止射击，如果不中就一直射击到子弹用尽， 求子弹剩余数的分布列 解 令表示子弹剩余的数目，则可能取值，根据题意得 的分布律为12344. 试确定常数，使成为某个随机变量的分布律，并求：； 解 要使成为某个随机变量的分布律，必须有，由此解得； （2） （3）5. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有这样的数字从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字的分布律与分布函数解 可能取的值为，且，即的分布律为-312的分布函数 6. 设离散型随机变量的分布函数为，求的分布律 解 可以看出取值为，且在每点取值的概率是该点的跳跃高度，所以；所以其分布列为-1127. 设随机变量，已知，求与的值解 由于，因此由此可算得 即 解得；此时，8. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率解 设为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，服从的二项分布，即，由于较大，较小，因此也可以近似地认为服从的泊松分布，即，所求概率为9. 一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求(1)某一分钟恰有8 次呼唤的概率；(2) 某一分钟的呼唤的次数大于3的概率解 设为电话总机每分钟收到呼唤的次数，依题意，则（1）（2）10. 某航线的航班，常常有旅客预定票后又临时取消，每班平均为4人若预定票而又取消的人数服从以平均人数为参数的泊松分布，求: (1) 正好有4人取消的概率; (2) 不超过3人(含3人)取消的概率; (3) 超过6人(含6人)取消的概率; (4) 无人取消的概率.解 设为取消的人数，依题意，则（1）.（2）.（3）.（4）.11. 设连续型随机变量的密度函数为 求（1） 常数；（2）；(3).解：（1）密度函数为： （2）. （3） .12. 设随机变量的分布函数为求相应的密度函数，并求解：因为，知随机变量的密度函数为 所以.13. 设随机变量X具有概率密度（1）试确定常数； （2）求； （3）求.解： （1）由于，即=得.于是的概率密度；（2） =;（3）由定义= 。当时，=0；当时，= =所以.14. 若随机变量在上服从均匀分布，试求关于的方程有实根的概率是多少？解：方程有实根的条件是，由于在上服从均匀分布，其密度函数为所以有实根的概率为.15. 某类日光灯管的使用寿命(单位:小时)服从参数为的指数分布.问任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小时以上的概率 解：使用寿命的密度函数为： 所以.16. 设， （1）求； （2）试确定使得； （3）设满足，问至多为多少？解：（1）,.（2）由题意可知，即，查表可知.（3）因为，可知，得，查表可知，所以.17. 标准普尔中公司股票的价格（单位：美元）服从的正态分布，问（1） 某公司股票价格至少为40美元的概率是多少？（2） 某公司股票价格不超过26美元的概率是多少？（3） 若公司股票价格排名位于全部股票的前10%，则公司股票至少应达到多少？解：设股票价格为，由题意可知，（1）.（2）.（3）可设股票价格为美元，由题意知，即，查表可知，所以18. 设离散型随机变量的分布列为0.10.20.30.30.1求（1）的分布列；（2）的分布列解：（1）0.10.20.30.30.1 （2）0.30.50.219. 设随机变量服从上的均匀分布，求随机变量的概率密度函数解：由题意可知的概率密度为函数，其值域为，单调且有唯一反函数，；且，得的概率密度函数为20. 设随机变量，求的概率密度解：由题意可知的概率密度为函数，其值域为，单调且有唯一反函数，；且得的概率密度函数为21. 设，求（1）的概率密度；（2）求的概率密度解：（1）先求的分布函数注意到的值域是，因此，当时，当时，再用求导的方法求出的密度函数（2）先求的分布函数注意到的值域是，因此，当时，当时，再用求导的方法求出的密度函数第2章 自测题与答案（满分100分，测试时间100分钟）一、 填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）1随机变量的分布函数是事件 的概率2当的值为 时，才能成为随机变量的分布列 3已知离散型随机变量X的概率分布如下表1230.20.30.5则概率 ， 4设随机变量服从上的均匀分布，则 5设离散型随机变量，若，则 6已知连续型随机变量，若概率，则常数 7已知连续型随机变量，若，则 8设随机变量，若，则 9已知连续型随机变量的分布函数是，则 ， 10设随机变量，则服从 分布答案：1； 2 0.5； 30.5,0.8； 40.3； 50.6； 63； 7； 8；9, ； 10二、单项选择题（本大题共5个小题，每小题2分，共10分）1下面哪一个符合概率分布的要求( ) A. B. C. D. 2设随机变量，其概率密度的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. ； D. 3设连续型随机变量的分布函数是，密度函数是，则( ) A. B. C. D. 以上都不对4若函数是一随机变量的概率密度，则（ ）一定成立 A. 的定义域为0,1; B. 非负； C. 的值域为0,1; D. 在内连续5设随机变量，则随的增大，概率应（ ） A. 单调增大； B. 单调减小； C. 保持不变； D. 增减不定答案：1A 2D 3C 4B 5C三、计算题（本大题5个小题，每小题10分，共60分）1已知随机变量，求参数，并求解：由题意知，4分 所以 4分 2分2设随机变量的分布密度函数为 ，且，求解：，4分 2分 2分综上两式可推出2分3某大学学生入学数学成绩(分)近似服从正态分布.求数学成绩在85分以上的学生占大学新生的百分之几？解：6分 4分4设随机变量，求的密度函数解：由题意可知的概率密度为2分函数，其值域为，2分单调且有唯一反函数，；且2分得的概率密度函数为4分5已知随机变量的概率密度为（1）求系数；（2）求分布函数；（3）求解：（1）；2分（2）6分（3）2分四、应用题（本大