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文档简介

3 2利用向量解决平行与垂直问题 2 设空间两条直线的方向向量为两个平面的法向量分别为 例1如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 ad 3 ab 4 2 点m在棱上 且am 2 点n在棱上 且点q r分别是 ab的中点 求证 mq rn 典型例题 法1 建系 利用坐标进行证明 法2 利用向量共线定理进行证明 变式 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f g h分别是 ab 的中点 求证 ef hg d h e a b c d b c a f g 感悟 利用向量证明线线平行的一般步骤1 证明两向量共线2 证明其中一个向量上所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上3 得出结论 例2如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是c1c b1c1的中点 求证 mn 平面a1bd 典型例题 分析 证明线面问题 可利用三种方法 一是证明与平面a1bd的法向量垂直 二是在平面a1bd内找一向量与平行 三是证明可以用平面a1bd中的两不共线向量线性表示 例2如图 在正方形abcd a1b1c1d1中 m n分别是c1c b1c1的中点 求证 mn 平面a1bd 法1 建立如图所示的空间直角坐标系 设正方体的棱长为1 则可求得m 0 1 1 2 n 1 2 1 1 d 0 0 0 a1 1 0 1 b 1 1 0 于是 设平面a1bd的法向量是则得 取x 1 得y 1 z 1 例2如图 在正方形abcd a1b1c1d1中 m n分别是c1c b1c1的中点 求证 mn 平面a1bd 法2 法3 即可用与线性表示 故与是共面向量 mn 平面a1bd 感悟 用向量方法证明线面平行 1 可以用共面定理来证明 即证明直线的方向向量可以用平面内两个向量线性表示 2 也可证明该直线的方向向量与平面内某直线平行 即数字表示 此时注意交代直线不在平面内 变式 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 棱长为4 m n e f分别是 的中点 求证 平面amn 平面efbd d e a b c d b c a f m n 小结 1 用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题 主要运用了直线的方向向量和平面的法向量 同时也要借助空间中已有的一些关于平行 垂直的定理 2 用向量方法证明平行垂直问题的步骤 1 建立空间图形与空间向量的关系 建系或不建系都可
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