分式的运算技巧

分式概念形如（ a、b 是整式， b 中含有字母）的式子叫做分式。其中a 叫做分式的分子，b叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式； 当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。注意 ：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式， 关键要满足： 分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。方法：数看结果，式看形。分式条件 :1. 分式有意义条件：分母不为0。2. 分式值为 0 条件：分子为0 且分母不为0 。3. 分式值为正 (负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。4. 分式值为 1 的条件：分子 = 分母 0。5. 分式值为 -1 的条件：分子分母互为相反数，且都不为0 。代数式分类整式和分式统称为有理式。精品资料带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。无理式和有理式统称代数式。分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0 的整式，分式的值不变。用式子表示为：（ a,b,c 为整式，且b、 c0）运算法则约分根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。 约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。约分步骤：1. 如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式 约去。2. 分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。公因式的提取方法：系数取 分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母 ， 指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。最简分式： 一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。通分： 异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。分式的乘法法则：（1 ）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。（2 ）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。用字母表示为：分式的加减法法则：同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用字母表示为：异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:乘方分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分，最后化成最简：分式方程的意义 ：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解法：（1） ）去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）（2） ）按解整式方程的步骤求出未知数的值（3） ）验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）。分式方程解法的归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。【基础精讲】一、分式的概念1、正确理解分式的概念：【例 1 】有理式（ 1）1； （ 2）x； （3 ）2xy3x； （4 ）y；（ 5 ）1；（ 6 ）x2xy3x11中，属于整式的有：；属于分式的有：。.2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零.(1) 例如，当x 为时，分式x2x2x有意义3错解： x3 时原分式有意义(2) 不要随意用“或”与“且”。例如当 x 时，分式有意义？ 错解：由分母，得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制x1x1x21当 x时，分式x1 有意义当x时，分式x1 无意义当x时，分式x1值为 0二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.(1) 分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它理解分式的基本性质时， 必须注意 ：分式的基本性质中的a、b、m 表示的都是整式在分式的基本性质中，m0分子、分母必须“同时”乘以 m(m0) ，不要只乘分子（或分母）性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的(2) 注意：根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以( 或除以 )同一个不等于零的整式 ,而不能同时加上(或减去 )同一个整式【例 3 】下列变形正确的是（）a abab ;b aac ababababd ccbcbc5 xabababab【例 4 】如果把分式中的2 xyx, y 都扩大 3 倍,那么分式的值一定() a. 扩大 3 倍b. 扩大 9 倍c.扩大 6 倍d. 不变2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.22abbabab【例 5 】（ 1）化简2的结果为（） abc dbaabxy2 yaaaxxyy（2） ）化简2x4 x4的结果（） ax2b c dx2x2x2x 26x9x3x 29x 29x3（3） ）化简2x6的结果是（） a 2b. 2c 2d 23、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：（ 1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；（ 2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积;三、分式的运算1、分式运算时注意：（ 1 ）注意运算顺序例如，计算1( 3a )1a ，应按照同一级运算从左到存依次1a3a计算的法则进行错解：原式1( 1a )1a12(1a )（2） ）通分时不能丢掉分母例如，计算xx1 ，出现了这样的解题错误：原式= x1xx11 分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；（3） ）忽视“分数线具有括号的作用” :分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略（4） ）最后的运算结果应化为最简分式2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.(1) 先把除法变为乘法；(2) 接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3) 再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4) 最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式3、加减的加减1) 同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。2) 异分母分式加减法则：运算步骤：先确定最简公分母；对每项通分,化为分母相同；按同分母分式运算法则进行；注意结果可否化简，化为最简 4、分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、 除运算， 再进行加、 减运算， 遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先 分解因式 ，能约分的先约分，再进行运算.a 24【例 6 】计算：（ 1）a2a21ax 2；（ 2）2x2x2 ；（3 ）12x1x4（ 4）已知 113 ，则代数式2 x14xy2 y 的值xx2x 22xxyx2xyy分式运算中的技巧与方法1在分式运算中， 若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法， 常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。一、整体通分法a 2例 1 化简：-a-1a1分析将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。a2a 2a2(a1)(a1)a 2(a 21)1解：-a-1=-(a+1)=-=a1a1a1a1a1a1二、逐项通分法112b4b3例 2 计算-22 -44abababab分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法112b4b 3解：-22 -44abababab(ab)( ab)2b4b3=a2b2-a2b2a 4b 42b2b4b3=-a2b2a2-b2a 4b42b( a 2b 2 )2b( a 2b 2 )4b3=a 4b 4-a 4b 44b3=a 4b44b3-=0a 4b 4三、先约分，后通分a2例 3 计算：2a6a+22aaa 244a4分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算a 26aa24a(a6)(a2)(a2)a6a22a4解： a 2+2aa24a4=+a(a2)(a2) 2=+a2a=22a2四、整体代入法112x5 xy2 y例 4 已知+=5 求的值xyx2 xyy2522( 11 )5112 x5 xy2 yyxxy2555解法 1 ：+x=5 xy 0,. 所以yx2 xyy=12111yxxy=252711xy解法 2 ：由+=5 得，=5,x+y=5xyxyxy2 x5xy2 y2( xy)5 xy25xy5xy5 xy5=x2 xyy( xy)2xy5 xy2 xy7 xy7五、 运用公式变形法例 5 已知 a 2-5a+1=0 ，计算 a 4 + 1a41解：由已知条件可得a 0,a+=5a1a 4+4a1=(a 2 +a21)2-2=(a+) 2-2 2 -2=(5 2-2) 2 -2=527a六、 设辅助参数法bcacab(ab)(bc)(ca)例 6 已知=，计算：abcabcbcacab解：设=k， 则 b+c=ak ； a+c=bk ；a+b=ck ；abc把这 3 个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若 a+b+c=0 ， a+b= -c, 则 k= -1若 a+b+c 0， 则 k=2(ab)(bc)(ca) abcak bk ck=k 3abc当 k=-1 时，原式 = -1当 k=2 时，原式 = 8七、 应用倒数变换法a例 7 已知a2a=7 ，求1a 4a 22的值a1a 2a1118解：由条件知a0, =,即 a+=a7a7a 4a2a 22a1 =a 2 + 1a249115+1=(a+)2 -1=a49 42= 15aa1八、 取常数值法yzxzxy例 8 已知： xyz 0,x+y+z=0, 计算+xyz解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2.yzxzxy则+=-3. 当然本题也可以设为其他合适的常数。xyz九、 把未知数当成已知数法a 2b2c2例 9 已知 3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算 :abbcac解：把 c 当作已知数，用c 表示 a,b得,a=3c,b=2c222abc=abbcac14c14211c2 = 11 .十、 巧用因式分解法例 10已知 a+b+c=0 ，计算a 2+2a 2bcb 2+2b 2acc22c2ab解:a+b+c=0,a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b2a 2 +bc=a 2+a 2+bc=a 2 +a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)同理可得2b2 +ac=(b-c)(b-a),2c2+ab=(c-a)(c-b)a 22a 2b2+bc2b 2acc2+=2c2aba2(a-b)(a-c)b2+(b-c)(b-a)c2+(c-a)(c-b)a2b 2c2a2 (bc)b2 ( ac)c2 (ab)=-+=(a-b)(a-c)(a-b)(b-c)(c-a)(c-b)( ab)( ac)(bc)a2 (bc)b 2ab2cc2 ac2 ba2 (bc)a(bc)( bc)bc(bc)=( ab)( ac)(bc)(ab)( ac)( bc)( ab)( ac)(bc)( ab)( ac)(bc)(bc)( a 2abacbc )=1(ab)(ac)( bc)分式运算的几种技巧 (二）x1x 22 x1、先约分后通分技巧例 1计算x23 x2 +x 24分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算x1x( x2)解：原式 = ( x1)( x2) + ( x2)( x2)1=x2xx1+ x2 = x2x23x3x 25 x712、分离整数技巧例 2计算x 23x2 - x 25 x6 - x24 x3分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。解：原式 =( x2x 23x2)13x2-( x2x 25x6)15x6-x214x3=1+x213x2-1-x215 x6 - x 214 x3= ( x11)( x2)- ( x12)( x3)- ( x11)( x3)x3( x1)( x2)xx=( x1)( x2)( x3)=( x1)( x2)( x3)=- ( x1)( x2)( x3)3、裂项相消技巧例 3计算1x( x1) + ( x21)( x3) + ( x33)(x6)分析：此类题可利用1n(nm)11= m （ n1- m ）裂项相消计算。1解：原式 =（ x1- x12） + 21（ x1 -13x3 ） + 3 （11x3- x6 ）11=x - x6 =6x( x6)4、分组计算技巧例 4 计算1a2 +2a1 -21a1 - a2分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2 -4 ，第二项、第三项分母乘积为a 2-1 ， 采取分组计算简捷。解：原式 =（1a2 -1a2 ）+ （2a1 -2a1 ）4= a 24 +4a 21 =(a 2124)( a21)15、变形技巧例 5已知 x2-3x+1=0 ，求 x 2+x21的值。分析： 将已知两边同除以x（ x0 ）可变出 x+ x1，然后利用完全平方公式的逆用可求出x 2+x 2的值。解：由 x 2-3x+1=0 ，两边同除以x（x 0 ），得1x-3+x1=0 ，即 x+x =311所以 x2 + x 2=（ x+x） 2 -2=3 2-2=7二、分式求值中的整体思想例 1若分式22 y 23y的值为7111，则244 y6 y1的值为（）1a 、1b、 -1c、-d、75解：由已知22 y 23 y= 1 得 2y 2+3y+7=8742y 2+3y=1 ，4y 2+6y=2所以14 y 26 y1=1 ，故选 a。121例 2已知11+=4 ，则ab4a3ab4b=。3a2ab3b分析：由已知可得到a+b 与 ab 的关系式，所求式通过分解因式可得到用a+b 与 ab的表达式，然后将a+b 用 ab 代换即可求出所求式的值。解：由已知得ab=4a+b=4abab4a3ab4b=3a2ab3b4(ab)3(ab)3ab=2ab44ab34ab3ab19=-2ab10点评：本题还可以将所求式分子、分母同除以ab 得到443ba=332ba4(1a( 1a1)3b1 )2b然后将已知式代入求值，这种方法也是常用的一种方法。例 3已知 a 2-3a+1=0 ，求a 2a 41的值。11解：由已知a 2 -3a+1=0知 a 0，将已知等式两边同除以a 得 a-3+=0 ，a+=3aaa 41所以2a=a 2+1a 2=（a+1 ） 2 -2=3 2-2=7 a= 12aa417点评：所求式的倒数与已知式有联系时，先求所求式的倒数，再得所求式。 a2 1a21=（ aa） 22 这一变换在以后经常用到同学们务必掌握。例 4已知1111+=，ab6b11+=，c9111+=，求ac15abcabac1的值。bc11分析：将所求式分子、 分母同除以abc 可得到1a1+即可。c11 ，只要将已知式变换出a + bbc解：因为111+=，a b6111+=，b c9111+=ac15，将、左、右分别相加，得112 （+ab11111） =+c63111+915abc1180+ab=c180所以abac=bc1c=1131bax12x例 5 有一道题：“先化简再求值： （)1，其中 x=2008 ”，小明做题x1x21x 21时把“x=2008 ”错抄成了“x=2008 ”，但他的计算结果也是正确，请你通过计算解释这是怎么回事？解析 :首先对原分式进行化简,再根据化简结果说理.（ x12x)1( x1) 22x( x21)(x1) 22xx 21 .x1x 21x 21(x1)( x1)因 为 当 x2008和 x2008时 ,x 21 的 值 都 是2009,所 以 小 明 把“x=2008 ”错抄成了“x=2008 ”,计算结果也是正确的.1例 6已知 x 2-3x+1=0 ，求 x2 + x 2的值。1分析：将已知两边同除以x（ x0 ）可变出 x+x1，然后利用完全平方公式的逆用可求出x 2+x 2的值。解：由 x 2-3x+1=0 ，两边同除以x（x 0 ），得1x-3+x1=0 ，即 x+x1=3 所以 x2 + x 21=（ x+ x） 2-2=3 2-2=7三、分式运算新型题1m例 2请利用、m3m33和这三个分式组成一个算式,来表示其中两个分m29式的商减去第三个分式的差,并化简 .解析:本题为开放性问题,答案不唯一 .按题目的要求可得到10 多个不同的算式,选取其中一个进行化简即可,但一般应选择一个计算较简便的算式,以减少运算量,提高正确率 .3如,m2m139m3m3(m3)( m-=m313)mm3313=m1,等等 .m( m3)m3m(m3)m温馨提示 :这类开放型问题有利于思维能力和创新意识的培养,已成为各类考试的热点,但所考查的知识却是我们所熟悉的.例 3先化简代数式a2a2a21a24 ,然后选取一个合适的 a 值,代入求值 .解析 :本题用“合适”二字设置了一个“陷阱”, 解题时必须明确“合适”在题中的含义,即选取的 a 的值不但要使原式有意义,而且还要尽量使运算简便.原式=a(a2)2(a2)(a 24)( a2)( a2)= a(a2)2(a2)a 24 .由题意知 , a 的值不能取2 和-2, 所以当 a =0 时,原式 =4.温馨提示 : 本题既检测了同学们分析问题的能力, 又考查了识别隐含信息的能力,题目的形式也体现了鼓励解题者的主动参与意识.这类题目也是近年出现的热点题型,为我们提供了较为广阔的思考空间,但所选字母的值应保证原式有意义,以防掉入解题“陷阱”.一、开放性问题例 1 在下列三个不为零的式子x24, x 22x, x 24x4 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是，把这个分式化简所得的结果是.分析：此例是答案不唯一的开放题，分式由学生自主构造，题型新颖活泼，呈现出人性化与趣味化 .解：本题存在6 种不同的结果，任选其一即可.2（1） xx24 , x22xx；（2）x 24x2,;x 24x4x2（3）x 22xx24x,x；（4） x24x2x 22x ,x;4x2（5）x24xx 244 , xx2 ;(6)2x24x4x 22x, x2 .x说明： 其实解决本题的关键就是分式的约分，但它又不完全等同于分式的约分，它需要我们先构造出分式后再约分，让我们在分析探索后解决问题，而不是直接把问题摆在我们面 前.二、探索运算程序例 2 任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（）m平方- mm+2结果a mb m 2c m+1d m -1分析：本题设计新颖，意在创新，明确计算程序是正确解答本题的前提.m 2mm m1解：计算程序可表示为：2 ，化简：原式 =2 =m-1+2=m+1 ，故mm选 c.说明：这是一道比较容易的题，但要注意其运算的顺序，否则就会出现错误的答案.三、自选数值求解例 3 化简1xx112，并选择你最喜欢的数代入求值xx分析：这是近年来出现的一种新题型，具有一定的灵活性。此题从难度上来说并不大，但是要注意混合运算的运算顺序，运算结果要化成最简形式.在选取x 的数值时，一定要保证原式有意义，而且尽量使运算简便为好.解：原式x1x11x( x1)x ，当 x=2 时，原式 =-2.x1x(x1)x11说明：这里的x 不能取 0 与 1，否则分母的值为0，原式就没有意义了.四、运算说理题例 4 在解题目： “当x1949时，求代数式x24 x4x24x22 xx211 的值”时，聪聪x认为 x 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果你认为他说的有理吗？请说明理由分析：本题是说理型试题，有很强的创新性，但将其转化为代数式的化简与求值，解决问题就很方便，同时要注意说的“理由”要充分合理.解：聪聪说的有理x24 x42x22 x11( x2)2x2111111x4x2x( x2)( x2)x( x2)xxx只要使原式有意义，无论x 取何值，原式的值都相同，为常数1 说明： 解决此类问题， 首先要化简所给的代数式，然后再根据化简的结果去解释题目所问的问题 .先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题1221112323111343411111111(1) 计算1223344556（ 2）探究111122334.1n( n1)（用含有n 的式子表示）（ 3）若111.117的值为，求 n 的值133557(2 n1)(2 n1)355 n解：（ 1）（ 2）6 n11111（ 3 ）.133557(2 n1)(2 n1)= 1 (11)231 (11 )2351 (1251) + +71 (122n11)2n1= 1 (121) =n2n12n1n17由=2 n135解得 n17经检验 n17 是方程的根， n17【精练】计算：【分析】 本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母比较复杂，其运算难度较大.不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的办法.【解】=1. 顺次相加法例 1： 计算：【分析】本题的解法与例1 完全一样 .【解】=2. 整体通分法【例 2 】计算：【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（ -a-1 ）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1 的分式 .【解】=.3. 化简后通分分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然， 化简后再通分计算会方便许多4. 巧用拆项法例 4 计算：.分析：本题的10 个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），联想到，这样可抵消一些项.解：原式 =5. 分组运算法例 5：计算：分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便.解：=【错题警示】一、 错用分式的基本性质例 1化简错解：原式分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式， 分式的值不变”，而此题分子乘以3 ，分母乘以2，违反了分式的基本性质.正解：原式二、 错在颠倒运算顺序例 2计算错解：原式分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误 .正解：原式 三、错在约分例 1当为何值时，分式有意义？错解 原式.由得.时，分式有意义 .解析 上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.正解 由得且.当且，分式有意义 .四、错在以偏概全例 2为何值时，分式有意义？错解 当，得.当，原分式有意义.解析 上述解法中只考虑的分母， 没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.正解 ，得，由，得.当且时，原分式有意义.五、错在计算去分母例 3计算.错解 原式=.解析 上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.正解 原式.六、错在只考虑分子没有顾及分母例 4当为何值时，分式的值为零 . 错解 由，得.当或时，原分式的值为零.解析 当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.正解 由由，得.由，得且.当时，原分式的值为零.二、经典例题透析类型一：分式及其基本性质1. 当 x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）a.b.c.d.2. 若分式的值等于零，则x ；3. 求分式的最简公分母。【变式 1 】（ 1）已知分式的值是零，那么x 的值是（）a 1b 0c 1d（ 2）当 x 时，分式没有意义【变式 2 】下列各式从左到右的变形正确的是（）a b cd 类型二：分式的运算技巧(一) 通分约分4化简分式 :【变式 1 】顺次相加法计算：【变式 2 】整体通分法计算：（二）裂项或拆项或分组运算5 巧用裂项法计算：【变式 1 】分组通分法计算：【变式 2 】巧用拆项法计算：类型三：条件分式求值的常用技巧6 参数法已知，求的值【变式 1 】整体代入法已知，求的值 .【变式 2 】倒数法：在求代数式的值时，有时出现条件或所求分式不易变形，但当分式的分子、分母颠倒后，变形就非常的容易，这样的问题适合通常采用倒数法已知：，求的值【变式 3 】主元法：当已知条件为两个三元一次方程，而所求的分式的分子与分母是齐次式时，通常我们把三元看作两元，即把其中一元看作已知数来表示其它两元，代入分式求出分式的值已知：，求的值类型四 :解分式方程的方法解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活去分母的技巧（一）与异分母相关的分式方程7解方程=【变式 1 】换元法解方程：1x212xx3（二） 与同分母相关的分式方程8解方程xx323x3x【变式 1 】解方程x8717x8x【变式 2】解方程2x5552x类型五：分式（方程）的应用19甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000 斤糖，最近他俩同去买进了两次价格不同的糖，问两人中谁的平均价格低一些？【变式 1 】 甲开汽车，乙骑自行车，从相距180 千米的 a 地同时出发到b 若汽车的速度是自行车的速度的2 倍，汽车比自行车早到2 小时，那么汽车及自行车的速度各是多少？【变式 2 】 a、b 两地路程为150 千米，甲、乙两车分别从a、b 两地同时出发，相向而行， 2 小时后相遇， 相遇后， 各以原来的速度继续行驶，甲车到达 b 后，立即沿原路返回， 返回时的速度是原来速度的2 倍，结果甲、乙两车同时到达a 地，求甲车原来的速度和乙车的速度（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例 1】下列代数式中：x , 1 x 2y,a abx 2,bx12y, xyyxy，是分式的有：.题型二：考查分式有意义的条件【例 2】当 x 有何值时，下列分式有意义（ 1） x4（2）3x（ 3）2（4 ） 6x（ 5 ）1x4x22x 21| x |3x1 x题型三：考查分式的值为0 的条件【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为0.2（ 1） x1（ 2 ） | x |2（ 3 ） x2x3x3x 24x 25x6题型四：考查分式的值为正、负的条件【例 4】（ 1 ）当 x 为何值时，分式4为正；8x（ 2 ）当 x 为何值时，分式（ 3 ）当 x 为何值时，分式53(xx2x3x为负；1) 2为非负数 .练习：1. 当 x 取何值时，下列分式有意义：（ 1）1（2 ）3x（ 3）16 | x |3( x1) 2111x2. 当 x 为何值时，下列分式的值为零：5（ 1）| x1 |x4（2 ）25x2 x26x53. 解下列不等式（ 1）| x |20x1（2 ）x50x 22x3（二）分式的基本性质及有关题型1. 分式的基本性质：2. 分式的变号法则：aamam bbmbmaaaabbbb题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.1 x2 y（ 1） 23（2 ）0.2a0.03b1 x1 y340.04 ab题型二：分数的系数变号【例 2】不改变分式的值，把下列