共边定理典型题解析

apb 面积aqb 面积 pm qmppppqambaa bmqabmmbqq共边定理图：四种位置关系1 如图， abc中， d 、e 分别是ab 、 ac 边上的中点，用面积方法证明：de bc且1de bc 2证明：d、e 分别是 ab 、ac 边上的中点， ade bde ade cde 11 bde cde de bcdbc ade由共角定理得： ade/ abc ad de/ab bc 1/4ad 1abde 21bc2这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四边形例 2： (1983 年美国中学数学竞赛题) 如图的三角形 abc 的面积为 10 ，d、ae、f分别在边 bc 、ca 、ab 上，且 bd 2， dc 3，若bce 与四边形edcef 的面积相等，则这个面积是（）f510ac db 3b c不确定d-可编辑修改 -解：由bce 与四边形 dcef 的面积相等，在四边形 bcef 中分别减去这两个面积，得 bfd 与bfe 同底且面积相等，所以 bf de ，可以得到 ab 为边的两个三角形 abd 与abe 面积相等， 因为三角形 abc 的面积为 10 ，且bd 2，dc 3 ，所以abd 的面积等于 4 ，即abe 面积等于 4，所以bce 的面积等于 10 4 6，故选 c这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目ad o例 3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形bc证明： oa oc， ob od ，由共角定理得： aob/ cod oa oboc od 1即 aob cod ， 共底的两个三角形 acb cbd ， ad bc ； 同理可证 ab cd问：共边定理怎么证线段相等？a答：常常是共边与共角两个定理都会用到。利用面积相等，并且面积比中有相等的线段，消去等量，于是剩下的也是等量之比。例 4：(等腰三角形两腰上的高相等)已知：如图， ab ac ，ce ab 于 e，bd acedbc于 d ，求证： bd ce 解：由三角形面积定理得：s abc 1 ab ce 21 ac bd2 ab ac ， bd ce；本题是直接用等底三角形面积相等推出高相等，相比于全等三角形证法要简洁得多。例 5： 如图，已知ad 平分 bac ， bd ad ， de ac ，de 交 ab 于 f 点求证： be ec af-可编辑修改 -bec证明：连接c 、f，由平行线性质，得 dfc dfa ；由 ad 平分 bac ， df ac ，可得 fad fda ， af fd由 bd ad ，得 fbd fdb ， bf df ； af bf dfb dfa ； dfc dfb ； be ec dfc dfb 11 ，即 be ec 本题是用共边三角形面积相等推出线段相等。a例 6： 如图，abc 中， ab ac ， bd ce ，求证： df ef.证明：连接cd 、be ，ab ac dbc 与 bce 互补，由共角三角形d定理： dbc bce bd bc ce bcbfcab ac ， bd ce ，得 dbc bce ，e再由共边定理得：dbc bce df fe 1 1df ef.本题先用共角三角形定理证得 dbc 与 bce 面积相等，再由共边定理推出线段相等。相比于先作平行线构造全等三角形，再由全等三角形证线段相等的证法，面积法显然更巧妙。例 7：在等腰直角三角形abc 的斜边 bc 上取一点 d ，使 dc1 bc ，作 be3ad 交 ac于 e ，求证：aeec 1证明：连结cf ，由 dcbc ，得图中两个阴影三角形的面积之比为1 2 ，即： afc3 afb 1 2，又由 bead ，等腰直角三角形abc 的条件，得c-可编辑修改 -def12a3b1 2 3 2 90， 1 3，由共角定理得： af ac ab bf afc afb1 2af bf 12，由 afb 与 aeb 相似，得ae ab 12 ， ab ac ae ec本题先用 cd db 1 2 得到两个阴影三角形的面积之比为1 2 ，再由共角三角形定理证得 af bf 12 ，过程相当简洁明了。问：共边定理怎么证比例线段？答：共边定理最适合用来求同一直线上的两条线段的比值，或反过来， 已知同一直线上的两条线段的比值求共边三角形的面积比。由于共边定理有四种位置图形却对应同一个比值，所以怎样选取最合适的两个三角形就成为正确解题的关键。也因为图形选择的差异，造成了不止一种解法。只有通过一定的练习量，才能做到迅速正确地选择适当的共边三角形。例 1： 已知在 abc 中， d 为 bc 的中点， e 为 ad 的中点， be 的连线交ac 于 fa-可编辑修改 -求证： af1 ac 3f例 1 图ebcd解答：构造以bf 为公共边的两个三角形abf 和dbf ，则由两个中点的条件，得三个三角形abf 和dbf 、dcf 面积都相等，由图易得afabffccbf 1 ，所以 af21 ac 3例 2： abc 中， d 是 bc 上的一点，bd=2 ，e 为 ad 上一点，dcae1=，aed4fafbe求，fcef解答： 构造以 be 为公共边的两个三角形 abe 和 cbe ，则 af fc1 e例 2 题图 142bdcabe cbe，由图易得af1fc6构造以 ad 为公共边的两个三角形 bad 和 fad ，则 be efafe1例 2 题图 2bad由fadaf1fc6，设 fad 1, 则 fdc 6 ， adc 7；由14bdbe=2 ，得 bad 14, dcefbad14fad16bdc例 3： (三角形角平分线性质定理) 如图， ad 平分 bac ，a求证：证明： ad 平分 bac ，由共角三角形定理：adb adc ab adac ad ab ac又 adb adc bd cdab ac bd dc 问：全等和相似方法在新概念几何中应当保留吗？bdc在新概念几何中，可以由面积法先推导出正弦定理和余弦定理，再推出全等三角形判定 定理和相似三角形判定定理，实际上， 新教材中可以完全不用全等和相似方法但作为欧式几何的宝贵遗产， 在许多问题中它们有明显的优势，为了让两种教材更好地兼容，各取所长， 减少新几何推广的阻力，张景中也是主张保留全等和相似方法的例如下面这道题目，三种解法就各有利弊ae1 在abc 内任取一点p，连接 pa 、pb 、 pc 分别交对边于x、y、z 点bc求证：pxpypz 1axybzcfd证明： 这是一道用共边定理证明的典型好题，在传统证法难以入手的题中，正好是共边定理一个极其简单的直接应用，只要用p 点与各边分成的每一个小三角形与大三角形相比再相加，立即得到结论！azpy pybcxpxpypzaxybzcpbcabcpcaabcpab 1abc例( 梅涅劳斯定理 )：在abc 的两边取 x、y ，直线 xy 与bc 的延长线交于 z点ax求证：xbbz cy 1azcyaaxbzcyaxzbxzcxz证明：xbzcyabxzcxz1 也是一步！xaxzybcz2著名数学大师华罗庚在1978年全国中学生数学竞赛题解前言中，给出了这样的一道几何题： 如图， 凸四边形 abcd的两边 da 、cb延长后交于dk，另外两边 ab 、dc 延长后交于 l，对角线 db 、ac延长后amc分别与 kl交于 f、gbkfkg求证：=kflgflglkf证明：fldbk dbl(以 bd 为公共边的两个三角形的面积比)dbk kbl kbldbldcka(乘以同一个三角形kbl ，化为两组面积的比)clad(化为两组线段的比)dac kac(化为有同一个三角形dac 的两组面积的比)lacdackaclac kg (消去公共三角形，化为线段的比)gl这道题的的难点在于没有全等，没有相似，也没有给定的比值，按照传统方法步骤相当多，也不易理解，所以20 多年没有人给出简单巧妙的解在熟悉了共边定理以后，这一类题真的变简单了问：怎样用面积法证面积题？答：已知比例求面积的题目，传统证法往往不易找到思路，所以成了难题，往往在中小学数学竞赛中出现其实，这类题使用共边定理是最好的方法4： 如图，四边形abcd 中， aod 面积 2 ， doc 面积 3a2dcob 面积 6，求 aob 面积？o36解法 1 ： aod 面积 doc 面积 2 3 ao oc aob 面积 cob 面积， cob 面积 6 aob 面积 4解法 2 ：bc第 7 题图 aod 面积 doc 面积 ao oc aob 面积 cob 面积， aob 面积 doc 面积 cob 面积 aod 面积这里得到一个新的定理： 四边形对角线分成的四个三角形中， 相对的两个三角形面积的乘积与另一组相对的两个三角形面积的乘积相等 用上这个定理， 就可以跳过共边定理直接用最后一步解题了 aob 面积 26 3 4 a5（ 17 届希望杯全国赛初二第二试19 题）：ep如图，等腰 abc 中， ab ac ， p 点在 bc 边上的高ad 上，且 ap = 1 ，pd2-可编辑修改 -bdcbp 的延长线交ac 于 e ，若s abc10 ，则s abe ； s dec ； ae ec 解： sabe sdbe ap pd 12 sdec s deb即 s abe s dbe sdec 12 2，s abc 10 ，sabe 2；s dec 4；ae ec saed sced 1 4bd16abc 中， d 点在 bc 边上，且dc，p 点在 bc 边上的高ad3aap1e上，且pd2pbp 的延长线交ac 于 e，若 sabc 18 ，则s abe ，sdec ae ec bdc解： sabe sdbe sdec1 2 3则sabe 3 ，s dec 6 ae ec 1 5 7 如图： abc 中， e 为中点， ad dc 2 1， ebf 面积是 15 ，求 abc 的面积a解：连结 cf ， e 为中点且 ebf 面积是 15； ecf 面积 ebf 面积 15；ad dc 2 1 afb 面积 fcb 面积 21 afb 面积 60， e 为中点 acf 面积 afb 面积 60 abc 的面积 15+15+60+60 150 60dfc1515b e8： 如图所示，已知在平行四边形abcd中， ae eb 12 adef-可编辑修改 -bc（1） ）求 aef 与cdf 的周长比；（2） ）如果 s abcd 6 平方厘米，求s ade 解答： ae eb 12 ae ab ae cd 1 3 ，由 aef cdf ，可得它们的周长比为1 3 ；s ade 1 s abd 1s abcd s abcd 6 平方厘米 s ade 1 平方36厘米；例 11 ：如图所示， bd ，cf 将长方形abcd 分成 4 块， def 的面积是4cm 2 ， ced 的面积是 6cm 2问：四边形abef 的面积是多少平方厘米？f解：连结 bf ，则 bdf 面积 cdf 面积 10 ， bef 面积 6；设面积为x，a4de 6则有：bc4x 66，x 9 ； bdc 面积 15 ，长方形 abcd面积 30 四边形 abef 的面积是15 411 平方厘米9 如图， fb、ad 、ec 互相平行， abc 的面积为1，求 fde 的面积。fe解：由 ad ec ，得 adc ade ，同理 abd afd ，a 得ade afd abc 1bdc又由 fb ec ，得 ecb ecf ，abc ace aef ace即 abc aef 1 fde aef ade afd 2f10 如图，已知三角形abc 面积为 1 ，延长 ab 至 d ，使 bd ab ，延长-可编辑修改 -cabdebc 至 e，使 ce 2bc ，延长 ca 至 f，使 af 3ac ，求三角形def 的面积。解：连结 bd ， ec ，由已知条件可得， dab 1 ， dbe 2 ， cbe 2，fce 6， fcd 6 ，def 1 1 2 2 6 6 18这题也是面积法最基本的题型.11 在abc 的三边 bc 、ca 、ab 上分别取点d 、e、f，使 bd 3dc ， ce 3ae ， af 3fb ，连 ad 、be 、cf 相交得三角形pqr ，已知三角形abc 的面积为13cm 2 ，求三角形pqr 的面积aaepep-可编辑修改 -fqrbdcbdc图 1图 2解：由图 1 得： pqr abc (abp bcq car) ；观察图 2 ，连结 pc ，由 ce 3ae ，得 ape cpe 1 3，又由 bd 3dc ，得 apb apc 3 1设 ape 1 ，则 cpe 3 ， apb 12 ， abe 13；由 ce 3ae ，得 abe abc1