初三数学函数综合题型及解题方法讲解

.二次函数综合题型精讲精练题型一：二次函数中的最值问题例 1 ：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c经过 a （ 2 ， 4 ），o （ 0，0 ）， b（ 2 ，0 ）三点（ 1 ）求抛物线y=ax 2 +bx+c的解析式；（ 2 ）若点 m 是该抛物线对称轴上的一点，求am+om的最小值解析：（ 1）把 a （ 2 ， 4 ）， o（ 0 ， 0 ）， b（ 2， 0 ）三点的坐标代入y=ax 2 +bx+c中，得解这个方程组，得a= ， b=1 ，c=0 所以解析式为y= x 2+x （ 2 ）由 y= x 2+x= （ x 1） 2 +，可得抛物线的对称轴为x=1 ，并且对称轴垂直平分线段obom=bmom+am=bm+am连接 ab 交直线 x=1于 m 点，则此时om+am最小过点 a 作 an x 轴于点 n ，在 rt abn中， ab=4， 因此 om+am最小值为方法提炼：已知一条直线上一动点m 和直线同侧两个固定点a、b，求 am+bm最小值的问题，我们只需做出点 a 关于这条直线的对称点a ，将点 b 与 a 连接起来交直线与点m ，那么 a b 就是 am+bm的最小值。 同理， 我们也可以做出点b 关于这条直线的对称点b，将点 a 与 b连接起来交直线与点m ， 那么 ab 就是 am+bm的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。aabbm或者m ab;.例 2 ：已知抛物线c1 的函数解析式为yax 2bx3a(b0) ，若抛物线c1 经过点 (0,3) ，方程ax 2bx3a0 的两根为x1 ，x2 ，且x1x24 。（ 1 ）求抛物线 c1 的顶点坐标 .11（ 2 ）已知实数x0 ，请证明：x2 ,并说明 x 为何值时才会有x2 .xx（ 3 ）若抛物线先向上平移4 个单位， 再向左平移1 个单位后得到抛物线c2 ，设a(m,y )1， b(n, y2 ) 是 c2上的两个不同点，且满足：aob900 ，m0 ，n0 .请你用含有m 的表达式表示出aob 的面积 s ，并求出 s 的最小值及s 取最小值时一次函数oa的函数解析式。解析：（ 1 ）抛物线过（ ,）点， 3 aax2 bx x2bx = 的两根为x1 ,x2 且x1 - x 2 x1x2(x1x )24x1 x2且 b 2b x2 x（ x） 抛物线 的顶点坐标为（，）（ 2 ）x， x12(xx1 ) 20xx12, 显然当 x时，才有x12, xx（ 3 ）方法一：由平移知识易得的解析式为： yx 2 (m ，m )， b（ n ， n ）aob 为 rt oa +ob =ab m m n n （ m n ） （ m n ）化简得： m n 1aob=oa2124ob =mm 2n 2n4m n 122121aob221(mmn21 ) 21m2mm211212m2m2aob 的最小值为，此时m ,( , )直线 oa 的一次函数解析式为 x方法提炼：已知一元二次方程两个根x 1 ,x2 ,求|x 1 -x 2|。因为 |x 1-x 2 |=(x1x )24x1x2根据一元二次方程的求根公式 x1bb 22a4ac; x2bb 22a4ac2; 可得到：xxb ; x xc .12a12a11 m2, (m mo); 当m1时， mm2，取得最小值。例 3 ：如图，已知抛物线经过点a （ 1 ， 0）、b（3 ，0 ）、c（ 0 ， 3 ）三点（ 1 ）求抛物线的解析式（ 2 ）点 m 是线段 bc 上的点（不与b， c 重合），过 m 作 mn y 轴交抛物线于n ，若点 m 的横坐标为m ，请用 m 的代数式表示mn的长（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，连接nb 、nc ，是否存在m ，使bnc 的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由解析：（ 1）设抛物线的解析式为：y=a （ x+1 ）（ x 3），则： a（ 0+1 ）（ 0 3 ） =3 ，a= 1 ；抛物线的解析式：y= （ x+1 ）（ x3 ） = x2 +2x+3（ 2 ）设直线 bc 的解析式为： y=kx+b，则有：，解得；故直线 bc 的解析式： y= x+3 已知点 m 的横坐标为m ，则 m （ m ， m+3 ）、n （m ， m 2+2m+3）；故 mn= m 2+2m+3（ m+3 ） = m 2 +3m （ 0 m 3 ）（ 3 ）如图；sbnc =s mnc +s mnb =mn （ od+db ） =mn ob，sbnc =（ m 2 +3m ）3= （ m ） 2 +（ 0 m 3 ）；当 m=时，bnc 的面积最大，最大值为方法提炼：因为 bnc 的面积不好直接求，将bnc 的面积分解为 mnc和mnb的面积和。 然后将bnc 的面积表示出来，得到一个关于m 的二次函数。此题利用的就是二次函数求最值的思想，当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值；当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值。题型二：二次函数与三角形的综合问题例 4 ：如图，已知：直线y（ 1 ，0 ）三点 .x3 交 x 轴于点 a ，交 y 轴于点 b，抛物线y=ax 2+bx+c经过 a 、b、 c（ 1 ）求抛物线的解析式;（ 2 ）若点 d 的坐标为（ -1 ， 0），在直线y的坐标；x3 上有一点p,使 abo 与 adp 相似，求出点p（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点e，使 ade 的面积等于四边形apce的面积？如果存在，请求出点e 的坐标；如果不存在，请说明理由解：（ 1）：由题意得，a（ 3 ，0 ）， b（ 0， 3）抛物线经过 a 、b、c 三点，把 a（ 3，0 ），b（ 0 ，3）， c（ 1 ，0 ）三点分别代入方程组y = ax 2 +bx + c 得9a3bc0c3abc0a1解得：b4c3抛物线的解析式为2y =x-4 x + 3（ 2 ）由题意可得：为ab等o腰三角形,如图所示，ao若abo 1dap，则ad dp1 =ad=4,ob dp1p1 (- 1,4)若aboa2d，p 过点 p2 作 p2 mx 轴于 m ， ad=4,abo为等腰三角形,2 是a等d腰p三角形,由三线合一可得：dm=am=2= p2 m ，即点 m 与点 c 重合p2（ 1， 2 ）（ 3 ）如图设点e( x, y) ，则s ade1ad 2| y |2 | y |当 p1(-1,4) 时，s 四边形 ap1ce=s acp1 +s ace124212 | y |2=4 +y2 y = 4 +y y = 4点e 在 x 轴下方y = - 4代入得：2x-4 x +3 = -24 ,即x4x70=(-4) 2 -4 7=-120此方程无解当 p2（ 1 ， 2 ）时， s 四边形 ap2ce=s 三角形 acp2 +s 三角形 ace =2 +y2 y = 2 +y y = 2点e 在 x 轴下方y = - 2代入得：x2 -4x +3 = - 2即x 24 x50 ，=(-4) 2 -4 5=-40此方程无解综上所述，在 x 轴下方的抛物线上不存在这样的点 e。方法提炼：求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况， 需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。要求一个动点使两个图形面积相等，我们一般是设出这个动点的坐标，然后根据两个图形面积相等来求这个动点的坐标。如果图形面积直接求不好求的时候，我们要考虑将图形面积分割成几个容易求解的图形。例 5 ：如图，点 a 在 x 轴上， oa=4 ，将线段 oa 绕点 o 顺时针旋转 120 至ob 的位置（ 1 ）求点 b 的坐标；（ 2 ）求经过点 a o 、 b 的抛物线的解析式；（ 3 ）在此抛物线的对称轴上，是否存在点p，使得以点p、o 、b 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在， 求点 p 的坐标；若不存在，说明理由解析：（ 1）如图，过b 点作 bcx轴，垂足为c，则bco=90 ，aob=120 ，boc=60 ， 又oa=ob=4， oc= ob= 4=2 ， bc=ob?sin60 =4 =2，点b 的坐标为（2， 2）；（ 2 ）抛物线过原点o 和点 a b，可设抛物线解析式为y=ax 2+bx ，将 a （ 4 ， 0 ）， b（ 2 2）代入，得，解得，此抛物线的解析式为y= x 2+x（ 3 ）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2 ，直线 x=2与 x 轴的交点为d ，设点 p 的坐标为（ 2 ，y ），若 ob=op ， 则 2 2+|y| 2 =4 2 ， 解得 y= 2，当 y=2时，在 rt pod中，pdo=90 s，in pod=，pod=60 ，pob= pod+ aob=60 +120 =180 ，即 p、o、b 三点在同一直线上， y=2不符合题意，舍去，点p 的坐标为（ 2， 2）若 ob=pb ，则 42 +|y+2|2 =4 2 ， 解得 y= 2，故点 p 的坐标为（ 2 ， 2），若 op=bp ，则 22 +|y| 2=4 2+|y+2|2， 解得 y= 2，故点 p 的坐标为（ 2 ， 2），综上所述，符合条件的点p 只有一个，其坐标为（2 ， 2），方法提炼：求一动点使三角形成为等腰三角形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想。因为要使一个三角形成为等腰三角形，只要三角形的任意两个边相等就可以，所以应该分三种情况来讨论。题型三：二次函数与四边形的综合问题例 6 ：综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x 2+2x+3与 x 轴交于 a b 两点，与y 轴交于点 c，点 d 是该抛物线的顶点（ 1 ）求直线 ac 的解析式及b，d 两点的坐标；（ 2 ）点 p 是 x 轴上一个动点，过p 作直线 l ac交抛物线于点q ，试探究：随着p 点的运动，在抛物线上是否存在点q ，使以点 ap、q、c 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点q 的坐标；若不存在，请说明理由（ 3 ）请在直线ac 上找一点m ，使bdm的周长最小，求出m 点的坐标解析：（ 1）当 y=0时， x2 +2x+3=0，解得 x1 = 1 ，x 2 =3 点a 在点 b 的左侧，a b 的坐标分别为（1 ，0 ），（ 3 ， 0 ）当 x=0时， y=3 c 点的坐标为（ 0 ， 3 ）设直线 ac 的解析式为y=k 1 x+b 1 （ k 1 0 ）， 则，解得，直线 ac 的解析式为y=3x+3y= x 2+2x+3=（ x 1 ）2 +4 ，顶点 d 的坐标为（ 1 ， 4）（ 2 ）抛物线上有三个这样的点q，当点 q 在 q 1 位置时， q 1 的纵坐标为3，代入抛物线可得点q 1 的坐标为（ 2 ，3 ）；当点 q 在点 q 2 位置时，点q 2 的纵坐标为 3 ， 代入抛物线可得点q 2 坐标为（ 1+， 3）；当点 q 在 q 3 位置时，点q3 的纵坐标为3 ，代入抛物线解析式可得，点q3 的坐标为（ 1 ， 3）；综上可得满足题意的点q 有三个，分别为：q 1 （2 ，3 ）， q 2 （ 1+， 3 ）， q 3（ 1 ， 3 ）（ 3 ）点 b 作 bb ac 于点 f，使 bf=bf ，则 b为点b 关于直线ac的对称点连接 bd 交直线 ac 与点 m ，则点 m 为所求，过点 b作be x 轴于点 e1 和2 都是3 的余角，1= 2rt aoc rt afb ，由 a （ 1 ， 0 ）， b（3 ，0 ）， c（ 0 ，3 ）得 oa=1， ob=3 ， oc=3 ，ac=， ab=4 ，bf=，bb=2bf=，由1= 2 可得 rt aoc rt beb，即be=， be=，oe=be ob= 3=b点的坐标为（，）设直线 bd 的解析式为y=k 2x+b 2 （ k2 0 ），解得，直线 bd 的解析式为： y=x+，联立 bd 与 ac 的直线解析式可得：，解得，m 点的坐标为（，）方法提炼：求一动点使四边形成为平行四边形成立的条件，这种题型要用分类讨论的思想，一般需要分三种情况来讨论。题型四：二次函数与圆的综合问题例 7 ：如图，半径为 2 的c 与 x 轴的正半轴交于点a ，与 y 轴的正半轴交于点b，点 c 的坐标为（ 1，0 ）若32抛物线yxbxc 过 a 、b 两点3（ 1 ）求抛物线的解析式；（ 2 ）在抛物线上是否存在点p，使得pbo= pob？若存在，求出点p 的坐标；若不存在说明理由；（ 3 ）若点 m 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，的面积为masb，求 s 的最大（小）值解析：（ 1）如答图1 ，连接 ob bc=2 ，oc=1 ob=413 b（0 ，3 ）将 a （ 3 ， 0 ）， b（ 0 ，3 ）代入二次函数的表达式393bc得3c3230b，解得：3，c33223 yxx3 33（ 2 ）存在如答图 2 ，作线段ob 的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点p b（0 ，3 ）， o （0 ，0 ），3直线 l 的表达式为y代入抛物线的表达式，232233得 yxx3；33210解得 x1，2 p（1103，）22（ 3 ）如答图 3 ，作 mhx 轴于点 h 设 m （ xm， ym），111则 s mab=s 梯形 mboh +s mhas oab=111（ mh+ob） ?oh+2ha?mh2oa?ob2=( ym3) xm(3xm ) ym33222333=xmym3222 ym323x23 ，mxm3333322333smabxm(xmxm3)22332323333 293=xmxm( xm)22228当xm3 时， s取得最大值，最大值为93 2mab8题型五：二次函数中的证明问题 例 8 ：如图 11 ，已知二次函数y（ 1 ）求二次函数的解析式：1 (x482)( axb) 的图像过点a(-4 ，3 ）， b(4 ， 4).（ 2 ）求证： acb 是直角三角形；（ 3 ）若点 p 在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点p 作 ph 垂直 x 轴于点 h ，是否存在以p、h 、d 、为顶点的三角形与abc 相似？若存在，求出点p 的坐标；若不存在，请说明理由。解：（ 1）将 a(-4 ，3 ）， b(4 ，4) 代人 y1 ( x482)( axb) 中，整理得：4a - b72a13解得4ab32b-201二次函数的解析式为：y(x2)(13x - 20)，48整理得：（ 2）由y13 x 24813 x2481 x -815x -865 0整理613x 26 x - 400x120202, x213c （ -2 ，0 ） d （，0）13从而有： ac 2=4+9bc 2=36+16ac 2 + bc 2=13+52=65ab 2=64+1=65 ac 2+ bc 2=ab 2故acb 是直角三角形（3 ）设p( x 13 x2，4813211 x - 5 )865（x0 ）20ph=x 48x -hd=- x 8613ac=13bc= 213phhd当phd acb 时有：acbc13 x2即 ： 481 x - 58620 - x13整理13 x 25 x - 1250x1132- 50x13213244392035（舍去）此时，y11313p1 (-5035，）1313dhph当dhp acb 时有：acbc20 - x即： 1313 x2481 x - 586整理13 x217 x -30501312221320488y78284x-x（舍去）此时，11p2 (-1221321313284，）13503513122284综上所述，满足条件的点有两个即p1 (-， ）1313p 2 (-，）1313例 9 ： 在平面直角坐标系 xoy 中，点 p 是抛物线： y=x 2 上的动点（点在第一象限内） 连接 op ，过点 0 作 op 的垂线交抛物线于另一点 q 连接 pq ，交 y 轴于点 m 作 pa 丄 x 轴于点 a ，qb 丄 x 轴于点 b设点 p 的横坐标为 m （ 1 ）如图 1 ，当 m= 时，求线段 op 的长和 tan pom的值；在 y 轴上找一点c，使oc是q以 oq 为腰的等腰三角形，求点c 的坐标；（ 2 ）如图 2 ，连接 am 、bm ，分别与 op 、oq 相交于点d 、e用含 m 的代数式表示点q 的坐标；求证：四边形odme是矩形解析：（ 1）把 x=代入y=x 2 ，得 y=2 ，p（， 2 ），op= pa丄 x 轴，pa motan p0m=tan 0p=a= 设q（ n， n 2 ），tan qob=tan pom，n= q（，），oq=当 oq=oc时，则 c1（0 ，）， c2 （ 0 ，）；当 oq=cq时，则c3 （ 0， 1）（ 2 ）pm（， m 2），设q （ n， n 2 ），apoboq，得 n=，q（，）设直线 po 的解析式为： y=kx+b，把 p（ m ， m 2 ）、q（，）代入，得：解得 b=1 ，m（0， 1），qbo= moa=90 ，qbomoamao= qob， qo ma同理可证：em od又eod=90 ，四边形 odme是矩形 题型六：自变量取值范围问题例 10 ：如图， 在平面直角坐标系xoy中，四边形 abcd是菱形， 顶点 a cd 均在坐标轴上， 且 ab=5 ，sinb=（ 1 ）求过 a c d 三点的抛物线的解析式；（ 2 ）记直线 ab 的解析式为y 1 =mx+n，（ 1 ）中抛物线的解析式为y 2=ax 2+bx+c，求当 y 1 y 2 时，自变量 x 的取值范围；（ 3 ）设直线 ab 与（ 1 ）中抛物线的另一个交点为e，p 点为抛物线上a e 两点之间的一个动点，当p点在何处时，的pa面e积最大？并求出面积的最大值解析：（ 1）四边形 abcd 是菱形， ab=ad=cd=bc=5， sinb=sind=；rt ocd中，oc=cd?sind=4，od=3；oa=ad od=2 ，即：a （ 2， 0）、b（ 5 ，4 ）、c（ 0 ， 4 ）、d（ 3 ， 0 ）；设抛物线的解析式为：y=a （x+2 ）（ x 3 ），得：2 （3 ） a=4 ， a= ；抛物线： y= x 2 +x+4 （ 2 ）由 a （ 2 ，0 ）、b（ 5 ， 4 ）得直线ab ： y 1= x； 由（ 1 ）得： y 2= x 2+x+4 ，则：，解得：，；由图可知：当y1 y 2 时， 2 x5 （ 3 ）s ape=ae?h ，当p 到直线 ab 的距离最远时，s abc最大；若设直线l ab，则直线l 与抛物线有且只有一个交点时，该交点为点p；设直线 l： y= x+b ，当直线l 与抛物线有且只有一个交点时，