第二讲-数学问题研究.ppt

第二章数学问题研究 问题1 八字眉 问题 除了 8点又分 还有没有其它时刻时针与分针也处于对称位置 如果有 共有几次 它们分别在哪一时刻 八字眉 问题实际上是求钟表上时针与分针的相对位置是哪一时刻的问题 诸如此类的问题还有很多 比如 在哪一时刻时针与分针重合 垂直 成30度角等等 典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变 不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同 求若干头牛吃这片草地可以吃多少天 牧场上有一片青草 可供27头牛吃6周 或者供23头牛吃9周 如果草每周生长速度相同 那么这片青草可供21头牛吃几周 问题3 牛吃草问题 方法一每天的长草量 23 9 27 6 9 6 15 单位量 牧场原有草量 27 15 6 72 单位量 或 23 15 9 72 单位量 21头牛去吃 可吃天数 72 21 15 12牧场原有草量 21头牛每天实际消耗原有草量 可吃天数 解决牛吃草问题常用到四个基本公式 分别是 草的生长速度 对应的牛头数 吃的较多天数 相应的牛头数 吃的较少天数 吃的较多天数 吃的较少天数 原有草量 牛头数 吃的天数 草的生长速度 吃的天数 吃的天数 原有草量 牛头数 草的生长速度 牛头数 原有草量 吃的天数 草的生长速度 方法二设而不求法设这片青草可供21头牛吃x周 每头牛每周吃草量为a 每周新长出的草量为b 牧场原有的草量为m 练习 一只船发现漏水时 已经进了一些水 现在水匀速地进入船内 如果10人舀水 3小时可以舀完 5人舀水 8小时可以舀完 如果要求2小时舀完 要安排多少人舀水 解 设1人1小时的舀水量为 1 每小时进入船内的水量为 5 8 10 3 8 3 40 30 5 10 5 2 份 船内原有的水量为 10 3 2 3 30 6 24 份 2小时船内的总水量为 24 2 2 28 份 2小时舀完水需要的人数是 28 2 14 人 某火车站的检票口 在检票开始前已有人排队 检票开始后每分钟有10人前来检票 一个检票口每分钟能让25人检票进站 如果只开一个检票口 检票开始8分钟后就没有人排队了 如果开2个检票口 那么检票开始后多少分钟就没有人排队了 解 8分钟时 检票口共检票 25 8 200 人 8分钟时 车站新进来的检票人数为 10 8 80 人 车站原来等待检票的人数为 200 80 120 人 同时开两个检票口需要的时间是 120 25 2 10 120 40 3 分钟 现在父母年龄的和是子女年龄和的6倍 2年前 父母年龄的和是子女年龄和的10倍 6年后 父母年龄的和是子女年龄和的3倍 问共有子女几人 解 设现在父母年龄的和为x岁 子女年龄和为y岁 子女共有z人 由题意得 一水库存水量一定 河水均匀入库 5台抽水机连续20天可抽干 6台同样的抽水机连续15天可抽干 若要求6天抽干 需要多少台同样的抽水机 解 5台抽20天相当于1台抽多少天 5 20 1006台抽15天相当于1台抽多少天 6 15 90 20 15 天流入水库的水相当于1台抽多少天 100 90 101天流入水库的水相当于1台抽多少天 10 5 2水库原有的水相当于1台抽多少天 100 2 20 60或90 2 15 606天流入水库的水相当于1台抽多少天 2 6 126天抽完需要多少台抽水机 60 12 6 12 问题3 鸡兔同笼问题 大约在1500年前 孙子算经 中就记载了这个有趣的问题 折半法 去足法 增头法 二元一次方程组 公式法 推算法 一元一次方程 翅膀当足 面积法 图像法 折半法 去足法 增头法 二元一次方程组 公式法 推算法 一元一次方程 翅膀当足 面积法 图像法 列表推算假设若笼中全是鸡或兔 足将分别是70只或140只 可见鸡多兔少 设鸡34只 兔1只 则有72足 若鸡33只 兔2只 则有74足 这样鸡逐一减少 兔逐一增加 最后必能推算出鸡23只 兔12只 计算推算假设若笼中全是兔子 相当于每只鸡增加2条腿 鸡的数量是 4 35 94 4 2 23 只 假设若笼中全是鸡 相当于每只兔子减少2条腿 兔子的数量是 94 2 35 4 2 12 只 折半法 去足法 增头法 二元一次方程组 公式法 推算法 一元一次方程 翅膀当足 面积法 图像法 金鸡独立 波利亚笼中鸡独足立地 兔双足站立 则触地足是原足数的一半 兔子的数量是94 2 35 12 只 鸡的数量是35 12 23 只 折半法 去足法 增头法 二元一次方程组 公式法 推算法 一元一次方程 翅膀当足 面积法 图像法 去足法 周沛耕假象鸡兔都受过专门训练 具有特异功能 听到哨声 鸡就展翅飞翔 兔子前腿离地站立起来 兔子的数量是 94 35 2 2 12 只 鸡的数量是35 12 23 只 折半法 去足法 增头法 二元一次方程组 公式法 推算法 一元一次方程 翅膀当足 面积法 图像法 假设笼中每个小动物都再长出一个头来兔子的数量是 94 35 2 2 12 只 鸡的数量是35 12 23 只 假设兔子再长出一个头来 然后把它劈开 变成 一头两腿 的兔子 单墫兔子的数量是94 2 35 12 只 鸡的数量是35 12 23 只 折半法 去足法 增头法 二元一次方程组 公式法 推算法 一元一次方程 翅膀当足 面积法 图像法 把鸡的两个翅膀当成双脚 张景中鸡的数量是35 4 94 2 23 只 兔子的数量是35 23 12 只 折半法 去足法 增头法 推算法 翅膀当足 公式 二元一次方程组 公式法 一元一次方程 面积法 图像法 折半法 去足法 增头法 二元一次方程组 公式法 推算法 一元一次方程 翅膀当足 面积法 图像法 一元一次方程设鸡的数量为x 则兔子的数量为35 x2x 4 35一x 94 折半法 去足法 增头法 二元一次方程组 公式法 推算法 一元一次方程 翅膀当足 面积法 图像法 二元一次方程设鸡的数量为x 兔子的数量为y 折半法 去足法 增头法 二元一次方程组 公式法 推算法 一元一次方程 翅膀当足 面积法 图像法 图像法 1 先画头和身 2 再按鸡生足 3 补足差数 4 鸡兔见分晓 兔12只 鸡23只 折半法 去足法 增头法 二元一次方程组 公式法 推算法 一元一次方程 翅膀当足 面积法 图像法 长方形的长表鸡 兔 的数量 宽表示每只鸡 兔 腿的数量 面积则分别表示鸡 兔 腿的总数 化归思想枚举思想数形结合思想假设思想方程思想建模思想 鸡兔同笼 中的数学思想方法 100名师生绿化校园 老师每人栽3棵树 学生每两人栽1棵树 总共栽树100棵 求老师和学生各栽树多少棵 某小学举行一次数学竞赛 共15道题 每做对一题得8分 每做错一题倒扣4分 小明共得72分 他做对了多少道题 小明运送25个花瓶 规定运送一个运费4元 损伤一个 不但不得运费 还得倒赔10元 如果小明共获运费44元 那么在运输途中他损伤了几只花瓶 有2角 5角和1元的人民币20张 共计12元 三种票子各多少张 鸡兔同笼 问题变形 问题4 七桥问题 在18世纪的哥尼斯堡 当时属德国东普鲁士 的省会 1944年后变成前苏联的加里宁格勒 有一条普雷格尔 Pregel 河横穿哥尼斯堡城 河里有两个小岛 岛与岛之间有7座桥 当地居民热衷于一个流传很广的难题 一个人能否设计一次散步 从两岸或两个小岛的某处出发 经过每座桥一次且仅一次 再回到出发点 1736年 年仅29岁的瑞士数学家欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题 开创了数学研究的新领域 图论 1736年被数学界公认为 图论元年 欧拉创立了一门新的几何学 即拓扑学 数学的一个十分奇特的分支 不抬笔 不重复 基本知识偶 奇 顶点 从顶点出发的边的条数为偶 奇 数的顶点 这里的边可以是曲线 欧拉图 不重复地走遍每一边再返回原点 构成一条欧拉回路 有欧拉回路的图称为欧拉图 一笔画 下笔后 笔不理纸 一次可以重复地走遍每一边 连通图 若图中任意两点都有连接它们的边存在 则这个图称为连通图 否则称为不连通图 判断下列图形能否一笔画 不连通的图形不能一笔画 连通的图形有可能一笔画 不连通的图形不能一笔画 连通的图形有可能一笔画 全都是偶点的连通图可以一笔画 奇点个数超过两个的连通图形不能一笔画 画时以任一点为起点 最后仍回到该点 画时以一个奇点为起点 另一个奇点为终点 有两个奇点的连通图可以一笔画 欧拉解决 七桥问题 的方法在数学上叫做数学模型方法 哥尼斯堡七桥问题 反映七桥问题的一笔画问题 无解一次不重复地通过七桥不可能 与七桥问题相应的图不可能一笔画出 数学抽象 一笔画的特征分析 返回原型 现实原型 数学模型 现实原型的解 数学模型的解 数学抽象 数学处理 返回原型 判断下列图形能否一笔画 a 图2 下图是某展馆的平面图 那么一个参观者能否不重复地穿过每一扇门呢 一笔画 问题变形 下图是某地区街道的平面图 图上的数字表示那条街道的长度清晨 清洁队用一辆洒水车从A出发 要洒遍所有的街道最后再回到A 问怎样设计洒水路线最合理 全程要走多少千米 单位 千米 如何把1 2 3 4 5 6 7 8 9这9个不重复的数字填入下图 使每一横行 竖列 对角线上的三个数字的和都相等 问题5 三阶幻方 如何把1 2 3 4 5 6 7 8 9这9个不重复的数字填入下图 使每一横行 竖列 对角线上的三个数字的和都相等 四二为肩 八六为足 左三右七 五居中央 问题5 三阶幻方 三阶幻方据传说最早出现在夏禹时代的 洛书 我国南宋时期数学家杨辉将它命名为 纵横图 又名 九宫图 并在 续古摘奇算法 中 总结出了洛书幻方构造的方法 国外最早的幻方 是印度加泰苏立神庙碑文上的四阶纵横图 欧洲人直到14世纪才开始研究幻方 比我国迟了将近2000年 幻方出现之后 曾使不少人为之入迷 古今中外许多大数学家 大学者如欧拉 富兰克林等对幻方都很感兴趣 并且逐步研究出了不少独特的构造方法 幻方和 中间数 3 与中间数对应的上下 左右 对角两个数字的和 中间数 2 角上的数字 对角相邻的两数字和的一半 三阶幻方规律 三阶幻方基本解法 计算法杨辉法 三阶幻方练习6 7 8 9 10 11 12 13 143 6 9 12 15 18 21 24 27 图中的六个圆圈内分别填写上1 6这六个数字 每个数字用且仅用一次 使得三角形每条边上的三个数字之和都相等 三角形 问题6 填图问题 1 5 6 4 3 2 图中的六个圆圈内分别填写上1 6这六个数字 每个数字用且仅用一次 使得三角形每条边上的三个数字之和都相等 三角形 问题6 填图问题 三角形每条边上的三个数字之和可以有多少种不同的取值 对应每一种取值的填法分别是什么样的 每边之和10 每边之和11 每边之和12 解决问题的方法 利用求和找到每条边上三个数之和与三个顶点上数字之和的关系 发现三个顶点上数字之和应满足的条件 根据三个顶点上数字之和确定每条边上的三个数字之和 四边形 图中的八个圆圈内分别填写上1 8这八个数字 每个数字用且仅用一次 使得四边形每条边上的三个数字之和都相等 四边形 图中的八个圆圈内分别填写上1 8这八个数字 每个数字用且仅用一次 使得四边形每条边上的三个数字之和都相等 1 8 3 5 4 7 2 6 四边形每条边上的三个数字之和可以有多少种不同的取值 对应每一种取值的填法分别是什么样的 每边之和13 每边之和14 每边之和15 因数 素数 完美数 完美数 n的因数之和恰为n 1 即n n 1 问题7 对数的审视 一 对整数的审视 1 100的自然数中 因数个数最多 最少 的自然数有多少个 1 100的自然数中恰有3个因数的自然数是哪些 1 100的自然数中是否存在具有11个因数的自然数 1 因数的个数 表中可以看出 1 100的自然数中 因数个数为奇数的自然数都是平方数 从而提出问题 所有因数个数为奇数的自然数一定是平方数 平方数的因数个数必为奇数 计算因数个数先把数分解质因数则因数的个数 正因数的总和 例如则60的因数有 2 1 1 1 1 1 12个因数之和为168 因数个数的练习题72的全部因数有多少个 4500共有多少个因数 已知自然数A只有两个因数 那么5A有多少个因数 自然数A的所有因数两两求和 又得到若干个自然数 在这些自然数中 最小的是4 最大的是900 那么数A是多少 144的全部因数之和是多少 360的全部因数之和是多少 A B两数都只含有质因数3和5 它们的最大公因数是75 已知A数有12个因数 B数有10个因数 那么 A B两数的和等于多少 第一个完美数是6 第二个完美数是28 第三个完美数是496 2 完美数 第四个完美数是8128 1000多年前 第五个完美数是33 5550 336 1538年 第六个完美数是8 589 869 056 1588年 完美数有许多有趣的性质 它们都能写成连续自然数之和 6 1 2 328 1 2 3 4 5 6 7496 1 2 3 4 318128 1 2 3 4 127它们的尾数都是6或8 它们的全部因数的倒数之和都是2物以稀为贵 虽然未找到实际中的特别用途 但完美数的奇异和美丽吸引了许多人 如 2位数的回文素数有4对 13 17 37 97三位数的回文素数共13对 如113 347 769四位数的回文素数共102对 五位数共684对 3 1415926 前两位数 31 13前六位数 314159 9514131 4 1 6 1 4 1 5 9 2 6 28 3 回文素数 相连出现的一对素数为孪生素数 当p与p 2同为素数时 称p与p 2为一对孪生素数 4 孪生素数 例如3 5 5 7 11 13 17 19 29 31 41 43 59 61 71 73 三位数101 103 107 109 137 139 四位数3389 3391 4967 4969 十位数99999999959 99999999961 1000000009649 1000000009651 十万以内的孪生素数有一千多对 一亿以内的孪生素数有十万对以上 德国数学家兰道猜想有无穷多对 四生素数 在n 10与 n 1 10之间 四个素数的尾数为1 3 7 9 11 13 17 19 101 103 107 109 191 193 197 199 821 823 827 829 1481 1483 1487 1489 5 素数的分布 素数渐渐稀疏 2 4之间有素数3 3 6之间有素数5 4 8之间有素数7 5 10之间有素数7 9 6 12之间有素数7 11 7 14之间有素数11 13 8 16之间有素数11 13 有位先生一直观察到600000 发现正整数n和它的两倍2n之间至少有一个素数 此猜想证明了素数的分布是越来越稀疏 提出此猜想9年后 被俄国数学家证明猜测是对的 自已和自己相乘以后得到的数 尾数不变 自然数中凡末尾数是1 5和6的数 不论自乘多少次 尾数仍然是1 5 6 例如 21 21 42121 21 21 9261325 325 1056256 6 6 6 1296末尾是25和76的数也是自守数 三位数以上也有 6 自守数 奇数 偶数 2 1 22 4 6 2 32 4 6 12 3 42 4 6 8 20 4 5 2 4 6 8 n n n 1 7 自然数中的奇数和偶数 对所有的自然数 1 黄金分割 是正五边形对角线与边之比 二 对无理数的审视 2 e与 e与 产生的背景不同 与几何相联系 e与某种数量增减相联系 e与 都是无理数 但可以用有理数表示 e与 小数表示不同 3 141592653589793238462643383279502884197 e 2 718281828459045235360287471352662497757 e与 的小数表示中 第13位数字都是9 第17位都是2 第18位都是3 第21位都是6 第34位都是2 有人猜测每隔10位数就会出现一个相同的数 还有人猜测在 的数字中必有e的前n位数 在e的数字中必有 的前n位数 e与 的联系 1是实数的基本单位 i是虚数的基本单位 0是唯一的中性数 或者说i来源于代数 来源于几何 e来源于分析 5个看似不相干的数 和谐的统一在一个式子中 对无限的最早感受是正整数 区分有限与无限的方法 数数 把握无限的方法 反证法 三 在无限的世界里 多少的比较 方法之一 数数 6 6 方法之二 比较 少多 映射 自然数集是无限集 正偶数集是无限集 这两个无限集的个数谁多 一个集合比它的真子集元素的个数多 自然数的比较 1 2 2 4 3 6 n 2n 正整数与偶数一样多 1 f 1 2 f 2 3 f 3 n f n 把表明两集合元素个数相等与否的关系称为一一对应关系 一个集合比它的真子集元素的个数多 在有限集的情形下是正确的 但在无限集的情形下 就不一定 平方数集与正整数集的元素个数哪个多 正整数集与有理数集的元素个数哪个多 对每个有理数 既约 称P Q为它的高 高为3的有理数有2个 即 正整数集的元素可以一个一个排列出来 可排性或可数性 但是有理数集的元素无法排列 如何找对应关系 高为2的有理数有1个 即 高为5的有理数有4个 即 高为4的有理数有2个 即 按照高 从小到大无遗漏 无重复地排列有理数 密密麻麻的有理数集的元素个数与稀稀疏疏的正整数集的元素个数一样多 推广 推广 我们先来做一个游戏 问题8 斐波那契数列 十秒钟 加数 请计算出左边一列数的和 时间到 答案是231 十秒钟 加数 再来一次 时间到 答案是6710 一 兔子问题和斐波那契数列 1 兔子问题1 问题 取自意大利数学家斐波那契的 算盘书 1202年 L Fibonacci 1170 1250 兔子问题 假设一对初生兔子要一个月才到成熟期 而一对成熟兔子每月会生一对兔子 那么 由一对初生兔子开始 12个月后会有多少对兔子呢 解答 1月1对 解答 1月1对 2月1对 解答 1月1对 2月1对 3月2对 解答 1月1对 2月1对 3月2对 4月3对 解答 1月1对 2月1对 3月2对 4月3对 5月5对 解答 1月1对 2月1对 3月2对 4月3对 5月5对 6月8对 解答 1月1对 2月1对 3月2对 4月3对 5月5对 6月8对 7月13对 解答 可以将结果以列表形式给出 1月 2月 3月 5月 4月 6月 7月 8月 9月 11月 10月 12月 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 因此 斐波那契问题的答案是144对 以上数列 即 斐波那契数列 兔子问题的另外一种提法 第一个月是一对大兔子 类似繁殖 到第十二个月时 共有多少对兔子 月份 大兔对数小兔对数 规律 兔子问题的另外一种提法 第一个月是一对大兔子 类似繁殖 到第十二个月时 共有多少对兔子 月份 大兔对数1小兔对数0 规律 兔子问题的另外一种提法 第一个月是一对大兔子 类似繁殖 到第十二个月时 共有多少对兔子 月份 大兔对数11小兔对数01 规律 兔子问题的另外一种提法 第一个月是一对大兔子 类似繁殖 到第十二个月时 共有多少对兔子 月份 大兔对数112小兔对数011 规律 兔子问题的另外一种提法 第一个月是一对大兔子 类似繁殖 到第十二个月时 共有多少对兔子 月份 大兔对数1123小兔对数0112 规律 兔子问题的另外一种提法 第一个月是一对大兔子 类似繁殖 到第十二个月时 共有多少对兔子 月份 大兔对数11235小兔对数01123 规律 兔子问题的另外一种提法 第一个月是一对大兔子 类似繁殖 到第十二个月时 共有多少对兔子 月份 大兔对数112358小兔对数011235 规律 兔子问题的另外一种提法 第一个月是一对大兔子 类似繁殖 到第十二个月时 共有多少对兔子 月份 大兔对数11235813小兔对数0112358 规律 兔子问题的另外一种提法 第一个月是一对大兔子 类似繁殖 到第十二个月时 共有多少对兔子 月份 大兔对数1123581321小兔对数011235813 规律 兔子问题的另外一种提法 第一个月是一对大兔子 类似繁殖 到第十二个月时 共有多少对兔子 月份 大兔对数112358132134小兔对数01123581321 规律 兔子问题的另外一种提法 第一个月是一对大兔子 类似繁殖 到第十二个月时 共有多少对兔子 月份 大兔对数11235813213455小兔对数0112358132134 规律 兔子问题的另外一种提法 第一个月是一对大兔子 类似繁殖 到第十二个月时 共有多少对兔子 月份 大兔对数1123581321345589小兔对数011235813213455 规律 兔子问题的另外一种提法 第一个月是一对大兔子 类似繁殖 到第十二个月时 共有多少对兔子 月份 大兔对数1123581321345589144小兔对数01123581321345589到十二月时有大兔子144对 小兔子89对 共有兔子144 89 233对 规律 2 斐波那契数列1 公式用表示第个月大兔子的对数 则有二阶递推公式 2 斐波那契数列令n 1 2 3 依次写出数列 就是1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 这就是斐波那契数列 其中的任一个数 都叫斐波那契数 3 用斐波那契数列及其推广变魔术 从写出的斐波那契数列中任意选定连续的十个数 你能很快说出这些数的和 其实有公式 这个和 就是所选出的十个数中第七个数的11倍 112358132134 5589144233377610987 十秒钟加数 的秘密 数学家发现 连续10个斐波那契数之和 必定等于第7个数的11倍 所以右式的答案是 21 11 231 十秒钟加数 的秘密 右式的答案是 610 11 6710 二 斐波那契数列应用 斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的 如果它在其它方面没有应用 它就不会有强大的生命力 发人深省的是 斐波那契数列确实在许多问题中出现 有人比喻说 有关斐波那契数列的论文 甚至比斐波那契的兔子增长得还快 以致1963年成立了斐波那契协会 还出版了 斐波那契季刊 自然界中的斐波那契数斐波那契数列中的任一个数 都叫斐波那契数 斐波那契数是大自然的一个基本模式 它出现在许多场合 1 花瓣数中的斐波那契数大多数植物的花 其花瓣数都恰是斐波那契数 例如 兰花 茉利花 百合花有3个花瓣 毛茛属的植物有5个花瓣 翠雀属植物有8个花瓣 万寿菊属植物有13个花瓣 紫菀属植物有21个花瓣 雏菊属植物有34 55或89个花瓣 花瓣中的斐波那契数花瓣的数目 海棠 2 铁兰 3 洋紫荊 5 蝴蝶兰 5 黃蝉 5 花瓣中的斐波那契数花瓣的数目 花瓣中的斐波那契数花瓣的数目 雏菊 13 雏菊 13 2 树杈的数目 13853211 3 向日葵花盘内葵花子排列的螺线数 向日葵花盘内 种子是按对数螺线排列的 有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线 两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数 一般是34和55 大向日葵是89和144 还曾发现过一个更大