数列试题(附答案)

阶段性测试题五(数列 )本试卷分第 卷(选择题 ) 和第 卷(非选择题 )两部分。满分150 分。考试时间120 分钟。第 卷(选择题共 60 分)一、选择题 (本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)1 (理 )(2011 江西南昌市调研)已知等差数列an的前 n 项和为 sn，且满足s3s232 1 ，则数列 an的公差是 ()1a.b 0c 2d 32 答案c 解析设an的公差为d，则 sn na1 n n1d，2sn是首项为a1 ，公差为nd的等差数列，2s3s232d 1，2 1，d2.2 (2011 辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列 an满足 log 3an 1 log 3an1(nn *)且 a2 a4 a6 9，则 log1(a5 a7 a9)的值是 ()311a 5b c 5d.55 答案a 分析根据数列满足log 3an 1 log 3 an1 (nn *)由对数的运算法则，得出an 1 与 an的关系，判断数列的类型，再结合a2 a4 a69 得出 a5 a7 a9 的值 解析由 log 3an 1 log 3an 1(nn *)得， an 1 3an，an0 ，数列an是公比等于3的等比数列，a5 a7 a9 (a2 a4a6) 33 35，log1(a5 a7 a9) log 335 5.33 (理)(2011 安徽百校论坛联考)已知 a0 ，b0 ，a 为 a， b 的等差中项，正数g 为 a， b 的等比中项，则ab 与 ag 的大小关系是 ()a ab agb ab agc ab agd不能确定 答案c 解析由条件知， ab 2 a，ab g2，aa b2ab g0 ，ag g2，即 ag ab，故选 c. 点评 在知识交汇点处命题是常见命题方式，不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比 )数列的公式及性质的运用14 (2011 潍坊一中期末 )各项都是正数的等比数列an的公比 q 1，且 a2，2a3，a1 成等差数列，则a3 a4a4 a5的值为 ()1 5a.b.25 125 1c.25 1d.或25 12 答案c 解析a2，1a3， a1 成等差数列， a3 a2 a1，2an是公比为q 的等比数列， a1q2 a1q a1，q2 q 1 0 ，q0 ，q5 1.25 (2011 北京日坛中学月考) 已知数列 an满足 a1 1，a2 1 ，an1 |an an1 |( n 2) ， 则该数列前2011 项的和 s2011 等于 ()a 1341b 669c 1340d 1339 答案a 解析列举数列各项为：1,1,0,1,1,0 ，.2011 3 670 1，s2011 2 670 1 1341.433b22334或32d或436 (理)(2011 安徽皖南八校联考)设an是公比为 q 的等比数列， 令bn an 1( n 1,2 ， )， 若数列 bn有连续四项在集合 53， 23,19,37,82 中，则 q 等于 ()a c 答案c 解析集合 53， 23,19,37,82中的各元素减去1 得到集合 54 ， 24,18,36,81 ，32其中 24,36 ， 54,81 或 81 ， 54,36 ， 24 成等比数列， q或.237 (理)(2010 西南师大附中月考)在等差数列 an中，其前 n 项和是 sn，若 s150 ，s160 ， s16 16 a1 a162 8( a8 a9)0 ，a90 ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，12891015s1s2s15s8而 0 s1s2a2 a80 ，所以在a1 ， a2 ， a15 中最大的是，故选 b.a88. (2011 江西新余四中期末)在abc 中，sin a2cos c cos aacos 2sin c sin a是角 a、b、c 成等差数列的 ()a 充分非必要条件b 充要条件c 必要非充分条件d 既不充分也不必要条件 答案a 解析sin acos a2cos c cos a2sin c sin a? 2sin asin c sin 2a 2cos acos c cos 2a? 2cos( a c) 1 0? cos b1? b2? a c 2b? a、b、c 成等差数列 但当 a、b、c 成等差数列时，3sin acos a2cos c cos a2sin c sin a不一定成立，如a、b2、c3.故是充分非必要条件故选a.69. (理 )(2010 海口调研 )已知 f1、f2 分别是双曲线x2 y2 1 的左、右焦点，p 是双曲24线上的一点，若|pf 2|、|pf1|、|f1f2|是公差为正数的等差数列，则f1pf2 的面积为 ()a 24b 22c 18d 12 答案a 解析由题意可知 |pf 2|1 ，两边取对数得：lg(1 an 1)2lg(1 an)，即lg 1 an 1lg 1 an 2.lg(1 an) 是公比为2 的等比数列(2) 由(1) 知 lg(1 an) 2 n 1 lg(1 a1) 2 n1 lg3 lg32 n11 an 32 n1 (*)tn (1 a1)(1 a2)(1 an) 32 032 1 32 n 1 31 222 2n 1 32 n 1.由(*) 式得 an 32n 1 1.20 (理)(2011 安徽河历中学月考)设曲线 y x2 x 2 lnx 在 x 1 处的切线为l，数列an的首项 a1 m， (其中常数m 为正奇数 )且对任意nn ，点 (n 1， an 1 an a1) 均在直线 l 上(1) 求出an的通项公式；(2) 令 bn nan(nn )，当 an a5 恒成立时，求出n 的取值范围，使得bn 1 bn 成立 解析(1) 由 y x2 x2 lnx， 知 x 1 时， y 4，1又 y |x 12 x 1 xx 1 2，直线 l 的方程为y 42( x 1) ，即 y 2x2 ， 又点 (n 1， an1 ana1)在 l 上， a1 m，an 1 an m 2n.即 an 1 an 2 n m(nn )，a2 a1 2 m， a3 a2 2 2m，an an12 (n 1) m.各项迭加得，an2(1 2 n1) (n 1) m a1 n2 (m 1) n.通项 an n2 (m 1) n( nn)(2) m 为奇数，m1 2为整数，由题意知， a5 是数列 an中的最小项，m 12 5，m 9 ，令 f(n) bn n3 (m 1) n2 n310 n2 ，则 f (n) 3n2 20n，20由 f (n)0 得， n3(nn )，20即 n3(nn )时， f(n)单调递增，即bn 1bn 成立，n 的取值范围是n 7 ，且 nn .n21 (理)(2011 辽宁丹东四校协作体联考)数列an满足 a1 1 ，a2 2 ，an 2 1 cos 22nansin 22， n1,2,3 ，.(1) 求 a3， a4，并求数列 an的通项公式；(2) 设 bna2n 11， sn b1 b2 bn. 证明：当n 6 时， | sn 2|.a2nn 分析考虑到递推关系式中的sinn和 cos2n，可以对 n 分偶数和奇数进行讨论，从而2求得数列 an的通项公式，然后再求出数列bn的前 n 项和公式，用数学归纳法进行证明)a 解析(1) 因为 a1 1， a2 2，所以 a3 (1 cos 2 221 sin2a1 1 2 ，a4 (1 cos 2 )a2 sin 2 2a2 4.当 n 2k 1( kn*)时， a2k 1 1 cos 22 k 1 a2k 1 sin 222k 1 a2 k 1 1，2即 a2 k 1 a2 k 1 1.所以 a2k 1 k.当 n 2k(kn *)时， a2k 2 1 cos 22 k2a2k sin 22 k 2a2k.2所以 a2k 2k .故数列 an的通项公式为ann 12n22n2 k 1 kn *n2 k kn*(2) 由(1) 知， bna2 n 1a2nn2n，123nsn2 22 23 2n，1123n2 sn22 23 24 2 n 1，11111n得，2 sn 2 22 23 2n2n 1n112 1 2n1n12 n 1 1 2n 2n1 .121nn 2所以 sn 2 2 n 1 2 n 22 n .1要证明当n 6 时， |sn2|成立，只需证明当n 6 时，nn n22n1 成立(1) 当 n 6 时，6 6 2264836441 成立(2) 假设当n k(k 6) 时不等式成立，即k k