3.8函数的最大值与最小值

3 8函数的最大值与最小值 第2课时 2020年4月16日星期四 函数的最大值与最小值 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 比较 最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 注意 开区间 a b 内连续函数f x 不一定有最大值与最小值 一 复习引入 1 如果函数f x 在 a b 上单调增加 减少 则f a 是f x 在 a b 上的最小值 最大值 f b 是f x 在 a b 上的最大值 最小值 函数的最值一般分为两种特殊情况 二 讲授新课 2 如果连续函数在区间 a b 内有且仅有一个极大 小 值 而没有极小 大 值 则此极大 小 值就是函数在区间 a b 上的最大 小 值 2 求最大 最小 值应用题的一般方法 1 分析实际问题中各量之间的关系 把实际问题化为数学问题 建立函数关系式 这是关键一步 2 确定函数定义域 并求出极值点 3 比较各极值与定义域端点函数的大小 结合实际 确定最值或最值点 1 实际应用问题的表现形式 常常不是以纯数学模式反映出来 首先 通过审题 认识问题的背景 抽象出问题的实质 其次 建立相应的数学模型 将应用问题转化为数学问题 再解 解 设箱底边长为xcm 箱子容积为V x2h 例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 做成一个无盖的方底箱子 箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 箱高 V 60 x 3x 2 令V 0 得x 40 x 0 舍去 得V 40 16000 当x过小 接近于0 或过大 接近于60 时 V 0 即箱子容积很小 当x 40时 容积最大为16000 在实际问题中 如果函数f x 在某区间内只有一个x0使f x0 0 而且从实际问题本身又可以知道函数在这点有极大 小 值 那么不必与端点比较 f x0 就是所求的最大值或最小值 所说区间的也适用于开区间或无穷区间 例2 要生产一批带盖的圆柱形铁桶 要求每个铁桶的容积为定值V 怎样设计桶的底面半径才能使材料最省 此时高与底面半径比为多少 解 设桶底面半径为R 因为S R 只有一个极值 所以它是最小值 例3 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C 100 4q 价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时 利润L最大 分析 利润L等于收入R减去成本C 而收入R等于产量乘价格 由此可得出利润L与产量q的函数关系式 再用导数求最大利润 求得唯一的极值点 因为L只有一个极值点 所以它是最大值 答 产量为84时 利润L最大 例4 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比 已知在速度为10km h时 燃料费是6元 h 而其他与速度无关的费用为96元 h 问以何种速度航行时 能使行驶每公里的费用总和最少 例5 如图 扇形AOB中 半径0A 1 AOB 900 在OA的延长线上有一动点C 过C作CD与弧AB相切于点E 且与过点B所作的OB的垂线交于点D 当点C在什么位置时 直角梯