伴随矩阵的性质及应用_第1页
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文档简介

一伴随矩阵的定义及符号伴随矩阵是在求非奇异矩阵的逆矩阵时提出来的，1. 代数余子式的定义为了定义伴随矩阵， 需要先定义一个矩阵某一元素的代数余子式： 在行列式精品资料a11.a1 j.a1nai1.aij.ain中划去元素aij所在的第 i 行与第 j 列，剩下的ani.anj.ann( n1)2 个元素按原来的排法构成一个n-1 级的行列式， 称为元素aij 的余子式，记为 ma(1)ij maij ，称2. 伴随矩阵的定义ijij为元素ij的代数余子式。设 aij是矩阵a11.a1 j.a1naai1.aij.ainani.anj.ann中元素aij的代数余子式，矩阵a11*a12aa1na21 a22a2n.an1 an2ann称为 a 的伴随矩阵。二伴随矩阵的性质*1. 伴随矩阵的基本公式：aaa aa e由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：d00aa*a* a0d0a e00d其中 da 。这是伴随矩阵的一个基本公式，我们可以从该等式出发推导出一 些有关方阵的伴随矩阵的性质， 使我们对伴随矩阵有一个更加全面的认识和理解。*2. 在公式 aaa aa e 基础上推导出的其他性质（ 1）a 可逆当且仅当a* 可逆。证明：若 a 可逆，则 a0.由a*aeaaa*a* aa e 知*故 a 1a a*两边取行列式得a 1aan即 11a* aa*故 a0 ，从而a* 可逆（ 2） a*n 1*a，其中 a 是 nn 矩阵*证明：由 aaa aa e ,知aa*a n.当 时，有及，故当 a且秩（ a）时，知，则秩（ ）由引理得秩（ a）+秩（ ）
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